Løsningsforslag – Matematikk R1 Vår 2025

Eksamen REA3056

Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no. Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.

DEL 1 – Uten hjelpemidler

Oppgave 1 (2 poeng)

Deriver funksjonen \( f \) gitt ved \[ f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi \]

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: \( e^{-2x} \) er en sammensatt funksjon. Den ytre funksjonen er \( e^u \) og den indre er \( u = -2x \). Ved kjerneregelen:

\[ \frac{d}{dx}\left(e^{-2x}\right) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x} \]

Andre ledd: \( \frac{1}{5}x^5 \) deriveres med potensregelen:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{5}x^5\right) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4 \]

Tredje ledd: \( 2\pi \) er en konstant, og den deriverte av en konstant er 0.

\[ f'(x) = -2e^{-2x} + x^4 \]

Vanlig feil: Mange glemmer den indre deriverte ved kjerneregelen. Når du deriverer \( e^{f(x)} \), må du huske at svaret er \( f'(x) \cdot e^{f(x)} \), ikke bare \( e^{f(x)} \). Tilsvarende for \( \ln(f(x)) \) – den deriverte er \( \frac{f'(x)}{f(x)} \), ikke \( \frac{1}{f(x)} \).

Oppgave 2 (5 poeng)

En funksjon \( g \) er gitt ved \( g(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 \).
a) Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen \( g \).
b) Vis at \( g'(x) = \frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) \).
c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \( g \).

a) Nullpunkter

Vi setter \( g(x) = 0 \):

\[ \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 = 0 \]

Siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \), og \( \frac{1}{2} \neq 0 \), må vi ha:

\[ (2x-1)^2 = 0 \] \[ 2x - 1 = 0 \] \[ x = \frac{1}{2} \]

Funksjonen \( g \) har ett nullpunkt: \( x = \dfrac{1}{2} \), dvs. punktet \( \left(\dfrac{1}{2},\, 0\right) \).

b) Vis at \( g'(x) = \frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) \)

Vi bruker produktregelen på \( g(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 \).

La \( u(x) = \frac{1}{2}e^x \) og \( v(x) = (2x-1)^2 \). Da er:

\[ u'(x) = \frac{1}{2}e^x \] \[ v'(x) = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1) \]

Produktregelen gir:

\[ g'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x) \] \[ = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 + \frac{1}{2}e^x \cdot 4(2x-1) \] \[ = \frac{1}{2}e^x(2x-1)\Big[(2x-1) + 4\Big] \] \[ = \frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) \]

Vi har vist at \( g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) \).

Vanlig feil: Mange glemmer å bruke produktregelen og deriverer i stedet hvert ledd for seg, dvs. skriver \( (u \cdot v)' = u' \cdot v' \). Husk at produktregelen krever \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \). Denne feilen fører ofte til at svaret mangler ett av de to leddene, og det endelige uttrykket blir feil.

c) Topp- og bunnpunkter

Vi setter \( g'(x) = 0 \):

\[ \frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) = 0 \]

Siden \( e^x > 0 \) for alle \( x \), får vi:

\[ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] \[ 2x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2} \]

Vi undersøker fortegnet til \( g'(x) \). Siden \( \frac{1}{2}e^x > 0 \) alltid, er fortegnet bestemt av \( (2x-1)(2x+3) \):

\( x \)	\( x < -\frac{3}{2} \)	\( x = -\frac{3}{2} \)	\( -\frac{3}{2} < x < \frac{1}{2} \)	\( x = \frac{1}{2} \)	\( x > \frac{1}{2} \)
\( g'(x) \)	\( + \)	\( 0 \)	\( - \)	\( 0 \)	\( + \)

\( g'(x) \) skifter fra positiv til negativ i \( x = -\frac{3}{2} \), altså er dette et toppunkt.

\( g'(x) \) skifter fra negativ til positiv i \( x = \frac{1}{2} \), altså er dette et bunnpunkt.

Vi beregner funksjonsverdiene:

\[ g\!\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{-3/2}\cdot\left(2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)-1\right)^2 = \frac{1}{2}e^{-3/2}\cdot(-4)^2 = 8e^{-3/2} \]

\[ g\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{1/2}\cdot(2\cdot\frac{1}{2}-1)^2 = \frac{1}{2}e^{1/2}\cdot 0 = 0 \]

Toppunkt: \( \left(-\dfrac{3}{2},\; 8e^{-3/2}\right) \)
Bunnpunkt: \( \left(\dfrac{1}{2},\; 0\right) \)

Vanlig feil: Når du klassifiserer topp- og bunnpunkter, holder det ikke å finne hvor \( g'(x) = 0 \). Du må også undersøke fortegnsskiftet til \( g'(x) \) rundt hvert nullpunkt. Skifter \( g'(x) \) fra \( + \) til \( - \), er det et toppunkt; skifter den fra \( - \) til \( + \), er det et bunnpunkt. Skifter den ikke fortegn, er det verken topp- eller bunnpunkt (et terrassepunkt).

Oppgave 3 (4 poeng)

Løs likningene:
a) \( 3^{3x+2} - 5 = 76 \)
b) \( 3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2 \)

a)

\[ 3^{3x+2} - 5 = 76 \] \[ 3^{3x+2} = 81 \]

Vi vet at \( 81 = 3^4 \), så:

\[ 3^{3x+2} = 3^4 \] \[ 3x + 2 = 4 \] \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \]

\( x = \dfrac{2}{3} \)

b)

Vi forenkler venstre side ved hjelp av logaritmeregler. Husk at \( \lg x^n = n \lg x \):

\[ 3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\frac{1}{x^9} = 2 \] \[ 3\lg x + 4\lg x + (-9)\lg x = 2 \] \[ (3 + 4 - 9)\lg x = 2 \] \[ -2\lg x = 2 \] \[ \lg x = -1 \] \[ x = 10^{-1} = \frac{1}{10} \]

Vi sjekker at \( x > 0 \): \( x = \frac{1}{10} > 0 \). OK.

\( x = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 \)

Oppgave 4 (4 poeng)

Bestem grenseverdiene:
a) \( \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{3(x^2 - 3)}{x - 3} \)
b) \( \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \)

a)

Her er telleren \( 3(x^2-3) \) ikke delelig med \( (x-3) \), så vi kan ikke forkorte bort nullpunktet i nevneren. Innsetting av \( x = 3 \) gir \( \frac{3(9-3)}{3-3} = \frac{18}{0} \) — altså ikke den ubestemte formen \( \frac{0}{0} \).

Vi undersøker de to ensidige grensene:

Telleren \( 3(x^2-3) \to 3(9-3) = 18 \) når \( x \to 3 \).
Nevneren \( x - 3 \to 0 \) når \( x \to 3 \).

Siden telleren nærmer seg 18 (en verdi ulik 0) og nevneren nærmer seg 0, divergerer brøken. Fra høyre side er nevneren positiv, fra venstre side negativ, så grensen fra de to sidene er ulike.

Grenseverdien \( \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{3(x^2 - 3)}{x - 3} \) eksisterer ikke.

Vanlig feil: Når telleren nærmer seg en verdi ulik null mens nevneren nærmer seg null, divergerer brøken mot \( \pm\infty \). Mange forveksler dette med formen \( \frac{0}{0} \), der man kan forkorte. Her kan man ikke forkorte, og grenseverdien eksisterer ikke som et endelig tall.

b)

Innsetting gir \( \frac{0}{0} \), så vi multipliserer med den konjugerte:

\[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \]

Nå kan vi sette inn \( x = 4 \):

\[ \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \]

\( \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{1}{4} \)

Vanlig feil: Når du får formen \( \frac{0}{0} \), betyr det ikke at grenseverdien er 0 eller at den ikke eksisterer. Du må faktorisere eller rasjonalisere (gange med den konjugerte) og forkorte fellesfaktoren før du setter inn. Mange prøver å sette inn verdien direkte uten å forenkle, og konkluderer feilaktig med at svaret er udefinert.

Oppgave 5 (2 poeng)

Funksjonen \( f \) er gitt ved \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & x < 0 \\ 2e^x, & x \geq 0 \end{cases} \] a) Avgjør om \( f \) er kontinuerlig i \( x = 0 \).
b) Avgjør om \( f \) er deriverbar i \( x = 0 \).

Grafen til den stykkevis definerte funksjonen: parabelen kommer vannrett inn i (0, 2), og eksponentialkurven forlater punktet med stigningstall 2.

De to grenene møtes i (0, 2) uten hopp — derfor er f kontinuerlig. Men den venstre tangenten er vannrett (stigningstall 0) og den høyre stiger med 2, så grafen har en knekk i x = 0. Da kan f ikke være deriverbar der.

a) Kontinuitet i \( x = 0 \)

For at \( f \) skal være kontinuerlig i \( x = 0 \), må grenseverdien fra venstre og høyre være like, og lik funksjonsverdien.

Funksjonsverdi:

\[ f(0) = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2 \]

Grenseverdi fra venstre:

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x^2 + 2) = 0 + 2 = 2 \]

Grenseverdi fra høyre:

\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2e^0 = 2 \]

Siden \( \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 2 \), er \( f \) kontinuerlig i \( x = 0 \).

Vanlig feil: Mange sjekker bare at funksjonsverdien eksisterer i overgangspunktet, men glemmer å sjekke at grenseverdiene fra venstre og høyre er like. For kontinuitet kreves det at \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \). Alle tre verdiene må stemme overens.

b) Deriverbarhet i \( x = 0 \)

For at \( f \) skal være deriverbar i \( x = 0 \), må den deriverte fra venstre og fra høyre være like.

Derivert fra venstre: For \( x < 0 \) er \( f(x) = x^2 + 2 \), slik at \( f'(x) = 2x \):

\[ \lim_{x \to 0^-} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} 2x = 0 \]

Derivert fra høyre: For \( x \geq 0 \) er \( f(x) = 2e^x \), slik at \( f'(x) = 2e^x \):

\[ \lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^+} 2e^x = 2e^0 = 2 \]

Siden \( 0 \neq 2 \), er den deriverte fra venstre ulik den deriverte fra høyre. Dermed er \( f \) ikke deriverbar i \( x = 0 \).

Vanlig feil: Mange tror at kontinuitet automatisk innebærer deriverbarhet. Det stemmer ikke – en funksjon kan være kontinuerlig i et punkt uten å være deriverbar der (for eksempel \( |x| \) i \( x = 0 \)). Deriverbarhet krever at den deriverte fra venstre og høyre er like, i tillegg til at funksjonen er kontinuerlig.

Oppgave 6 (6 poeng)

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. \( J(0,0) \), \( N(-1,2) \), \( A(1,1) \).
a) Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.
b) En basketball ligger i punktet \( (-1, a) \). Vektoren fra Jelena til ballen er parallell med vektoren fra Nils til Ahmad. Bestem \( a \).
c) Nils flytter seg til et nytt punkt \( M \). \( M \) er det nærmeste punktet slik at avstanden mellom Jelena og M er \( \sqrt{10} \) meter. Vinkelen \( \angle MAJ = 90° \). Bestem koordinatene til \( M \).

a) Avstand mellom Nils og Ahmad

\[ |NA| = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Avstanden mellom Nils og Ahmad er \( \sqrt{5} \) meter.

b) Bestem \( a \)

Vektoren fra Jelena \( J(0,0) \) til ballen \( B(-1, a) \):

\[ \vec{JB} = [-1, a] \]

Vektoren fra Nils \( N(-1,2) \) til Ahmad \( A(1,1) \):

\[ \vec{NA} = [1-(-1),\; 1-2] = [2, -1] \]

For at vektorene skal være parallelle, må \( \vec{JB} = k \cdot \vec{NA} \):

\[ [-1,\; a] = k \cdot [2,\; -1] \] \[ -1 = 2k \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{2} \] \[ a = -k = \frac{1}{2} \]

\( a = \dfrac{1}{2} \)

c) Bestem koordinatene til \( M \)

Sirkelen med radius kvadratrot 10 om J, linja x + y = 2 gjennom A, og de to skjæringspunktene M(−1, 3) og M₁(3, −1).

De to kravene tegner hver sin figur: ∠MAJ = 90° legger M på linja x + y = 2 gjennom A, og |JM| = √10 legger M på sirkelen om J. Ei linje skjærer en sirkel i høyst to punkter, og begge oppfyller kravene — derfor trengs det tredje kravet. Utregningen under kaller de to punktene M₁(3, −1) og M₂(−1, 3): M₁ ligger 5 meter fra N, mens M₂ ligger bare 1 meter unna og derfor er punktet M.

Vi har kravene:

\( |JM| = \sqrt{10} \), altså \( M \) ligger på sirkelen \( x^2 + y^2 = 10 \).
\( \angle MAJ = 90° \), altså \( \vec{AM} \perp \vec{AJ} \).
\( M \) er det nærmeste punktet til Nils' opprinnelige posisjon \( N(-1,2) \).

Vi finner \( \vec{AJ} \):

\[ \vec{AJ} = J - A = (0-1, 0-1) = [-1, -1] \]

La \( M = (m_1, m_2) \). Da er \( \vec{AM} = [m_1 - 1, m_2 - 1] \).

Krav 1: \( \vec{AM} \perp \vec{AJ} \):

\[ \vec{AM} \cdot \vec{AJ} = 0 \] \[ (m_1-1)\cdot(-1) + (m_2-1)\cdot(-1) = 0 \] \[ -(m_1-1) - (m_2-1) = 0 \] \[ m_1 + m_2 = 2 \quad \Rightarrow \quad m_2 = 2 - m_1 \]

Krav 2: \( m_1^2 + m_2^2 = 10 \):

\[ m_1^2 + (2 - m_1)^2 = 10 \] \[ m_1^2 + 4 - 4m_1 + m_1^2 = 10 \] \[ 2m_1^2 - 4m_1 + 4 = 10 \] \[ 2m_1^2 - 4m_1 - 6 = 0 \] \[ m_1^2 - 2m_1 - 3 = 0 \] \[ (m_1 - 3)(m_1 + 1) = 0 \]

Altså \( m_1 = 3 \) eller \( m_1 = -1 \).

Tilsvarende \( m_2 \)-verdier:

\( m_1 = 3 \Rightarrow m_2 = 2 - 3 = -1 \), gir \( M_1 = (3, -1) \)
\( m_1 = -1 \Rightarrow m_2 = 2 - (-1) = 3 \), gir \( M_2 = (-1, 3) \)

Vi velger det punktet som er nærmest \( N(-1, 2) \):

\[ |M_1 N| = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \] \[ |M_2 N| = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1 \]

\( M_2 = (-1, 3) \) er nærmest \( N \), så \( M = (-1, 3) \).

DEL 2 – Med hjelpemidler

Oppgave 1 (6 poeng)

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. Modellen er \[ S(t) = \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} \] a) Hvor lang tid tar det før halvparten av husstandene har batteriet?
b) Bestem \( S'(52) \). Gi en praktisk tolkning.
c) Finn en ny logistisk modell \( F \) med kapasitet 1 500 000, \( F(0) = 500 \), og maks vekst i uke 60.

a) Tid før halvparten har batteriet

Halvparten av 3 000 000 er 1 500 000. Vi setter \( S(t) = 1\,500\,000 \):

\[ \frac{2\,500\,000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} = 1\,500\,000 \]

Merk: Kapasiteten til \( S \) er 2 500 000 (ikke 3 000 000), men oppgaven sier «halvparten av husstandene i byen», dvs. 1 500 000.

\[ 1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t} = \frac{2\,500\,000}{1\,500\,000} = \frac{5}{3} \] \[ 2500 \cdot e^{-0{,}08t} = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} \] \[ e^{-0{,}08t} = \frac{2}{3 \cdot 2500} = \frac{2}{7500} = \frac{1}{3750} \] \[ -0{,}08t = \ln\!\left(\frac{1}{3750}\right) = -\ln(3750) \] \[ t = \frac{\ln(3750)}{0{,}08} \approx \frac{8{,}230}{0{,}08} \approx 102{,}9 \]

Det tar omtrent 103 uker (ca. 2 år) før halvparten av husstandene i byen har batteriet.

Vanlig feil: I logistiske modeller \( \frac{K}{1 + ae^{-bt}} \) forveksler mange kapasiteten \( K \) med startverdien. Startverdien finner du ved å sette \( t = 0 \): \( f(0) = \frac{K}{1+a} \). Vendepunktet (raskest vekst) inntreffer alltid når \( f(t) = \frac{K}{2} \), uavhengig av parametrene \( a \) og \( b \).

b) \( S'(52) \) med praktisk tolkning

Modellen \( S(t) = \frac{2\,500\,000}{1 + 2500\cdot e^{-0{,}08t}} \) kan skrives \( S(t) = 2\,500\,000 \cdot (1 + 2500\cdot e^{-0{,}08t})^{-1} \).

Vi deriverer med kjerneregelen:

\[ S'(t) = \frac{2\,500\,000 \cdot 2500 \cdot 0{,}08 \cdot e^{-0{,}08t}}{(1 + 2500\cdot e^{-0{,}08t})^2} = \frac{500\,000\,000 \cdot e^{-0{,}08t}}{(1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t})^2} \]

For \( t = 52 \):

\[ e^{-0{,}08 \cdot 52} = e^{-4{,}16} \approx 0{,}01561 \] \[ 2500 \cdot e^{-4{,}16} \approx 39{,}03 \] \[ S'(52) = \frac{500\,000\,000 \cdot 0{,}01561}{(1 + 39{,}03)^2} = \frac{7\,805\,000}{(40{,}03)^2} \approx \frac{7\,805\,000}{1602{,}4} \approx 4872 \]

\( S'(52) \approx 4873 \).

Praktisk tolkning: 52 uker (ett år) etter lanseringen øker antall husstander som har batteriet med omtrent 4870 nye husstander per uke.

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

Definer modellen: S(t) := 2500000 / (1 + 2500 · e^(-0.08t))
Beregn vekstraten etter ett år: Numerisk(S'(52)) → gir \(\approx 4873\)
Kontroller antall etter ett år: Numerisk(S(52)) → gir \(\approx 62\,470\)

GeoGebra CAS: S(t) = 2500000/(1+2500·e^(-0.08t)), S'(52) ≈ 4873, S(52) ≈ 62470

c) Ny logistisk modell \( F \)

En logistisk modell har formen:

\[ F(t) = \frac{K}{1 + b \cdot e^{-ct}} \]

Der \( K \) er kapasiteten. Vi bruker opplysningene:

Kapasitet: \( K = 1\,500\,000 \).

Startverdi \( F(0) = 500 \):

\[ \frac{1\,500\,000}{1 + b} = 500 \] \[ 1 + b = \frac{1\,500\,000}{500} = 3000 \] \[ b = 2999 \]

Maks vekst i uke 60: For en logistisk modell er veksten størst når \( F(t) = \frac{K}{2} \), dvs. når \( 1 + b\cdot e^{-ct} = 2 \), altså \( b\cdot e^{-ct} = 1 \). Vi setter \( t = 60 \):

\[ 2999 \cdot e^{-60c} = 1 \] \[ e^{-60c} = \frac{1}{2999} \] \[ -60c = \ln\!\left(\frac{1}{2999}\right) = -\ln(2999) \] \[ c = \frac{\ln(2999)}{60} \approx \frac{8{,}006}{60} \approx 0{,}1334 \]

Den nye logistiske modellen er: \[ F(t) = \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-\frac{\ln 2999}{60}\,t}} \] Med desimalverdier: \[ F(t) \approx \frac{1\,500\,000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334\,t}} \]

Oppgave 2 (6 poeng)

Funksjonen \( f \) er gitt ved \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1 \), med definisjonsmengde \( I = [a, b] \).
a) Bestem det største intervallet \( I \) slik at \( f \) har en omvendt funksjon \( g \) når \( 2 \in I \).
b) Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til \( g \) i punktet \( (-10, 3) \).
c) Grafen til \( g \) har en annen tangent med samme stigningstall. Bestem tangeringspunktet.

Grafen til f med det strengt minkende partiet fra (0, −1) til (4, −35/3) og de to tangentene med stigningstall −3 i x = 1 og x = 3.

f er strengt minkende nøyaktig mellom de to nullpunktene til f′, altså på [0, 4] — og det er det største intervallet som inneholder 2 og gir f en omvendt funksjon. Tangentene til f har stigningstall −3 i to punkter, x = 1 og x = 3. Det er derfor grafen til g har to tangenter med stigningstall −1/3.

a) Største intervall

For at \( f \) skal ha en omvendt funksjon, må \( f \) være strengt monoton på \( I \). Vi finner \( f'(x) \):

\[ f'(x) = x^2 - 4x = x(x - 4) \]

\( f'(x) = 0 \) for \( x = 0 \) og \( x = 4 \).

Fortegnskjema for \( f'(x) \):

\( x < 0 \): \( f'(x) > 0 \) (strengt voksende)
\( 0 < x < 4 \): \( f'(x) < 0 \) (strengt avtagende)
\( x > 4 \): \( f'(x) > 0 \) (strengt voksende)

Siden \( 2 \in I \) og \( f \) er strengt avtagende på \( [0, 4] \), er det største intervallet der \( f \) er monoton og som inneholder \( 2 \):

\( I = [0, 4] \)

b) Stigningstall til tangenten til \( g \) i \( (-10, 3) \)

Siden \( g \) er den omvendte funksjonen til \( f \), betyr punktet \( (-10, 3) \) på grafen til \( g \) at \( g(-10) = 3 \), altså \( f(3) = -10 \).

Vi verifiserer: \( f(3) = \frac{1}{3}\cdot 27 - 2\cdot 9 - 1 = 9 - 18 - 1 = -10 \). Stemmer!

For omvendte funksjoner gjelder:

\[ g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} = \frac{1}{f'(3)} \]

\[ f'(3) = 9 - 12 = -3 \]

\[ g'(-10) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \]

Stigningstallet til tangenten til grafen til \( g \) i punktet \( (-10, 3) \) er \( -\dfrac{1}{3} \).

c) Annet tangeringspunkt med samme stigningstall

Vi skal finne et annet punkt der \( g'(y_0) = -\frac{1}{3} \).

Vi trenger \( g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = -\frac{1}{3} \), altså \( f'(x_0) = -3 \), der \( x_0 = g(y_0) \) og \( x_0 \in [0,4] \).

\[ x_0^2 - 4x_0 = -3 \] \[ x_0^2 - 4x_0 + 3 = 0 \] \[ (x_0 - 1)(x_0 - 3) = 0 \]

\( x_0 = 1 \) eller \( x_0 = 3 \). Vi har allerede brukt \( x_0 = 3 \), så det andre punktet er \( x_0 = 1 \).

\[ y_0 = f(1) = \frac{1}{3} - 2 - 1 = -\frac{8}{3} \]

Punktet på grafen til \( g \) er \( (y_0, x_0) = \left(-\frac{8}{3},\, 1\right) \).

Det andre tangeringspunktet er \( \left(-\dfrac{8}{3},\, 1\right) \).

Oppgave 3 (3 poeng)

En funksjon \( f \) er gitt ved en delt forskrift, men det midterste uttrykket er dekket av en blekkflekk på arket:

Det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom. \( f \) er kontinuerlig og deriverbar for alle \( x \in \mathbb{R} \). Bestem hele funksjonsuttrykket.

De tre delene av funksjonen tegnet sammen: den rette linja, tredjegradsstykket og parabelen møtes uten knekk i x = −2 og x = 1.

Slik ser svaret ut. Fordi f skal være både kontinuerlig og deriverbar, må tredjegradsstykket treffe nabostykkene både i verdi og i stigningstall — det er de fire kravene som bestemmer de fire koeffisientene. Legg merke til at overgangene i (−2, 3) og (1, −4) er helt glatte: ingen knekk, ingen hopp.

La det midterste uttrykket være \( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \).

Vi trenger fire betingelser (fire ukjente). Kontinuitet og deriverbarhet i grensepunktene \( x = -2 \) og \( x = 1 \) gir fire likninger.

Verdier i \( x = -2 \):

\[ f(-2) = -9(-2) - 15 = 18 - 15 = 3 \]

Derivert fra venstre i \( x = -2 \):

\[ f'(x) = -9 \text{ for } x \leq -2 \]

Verdier i \( x = 1 \):

\[ f(1) = \frac{1}{2} - 1 - \frac{7}{2} = -4 \]

Derivert fra høyre i \( x = 1 \):

\[ f'(x) = x - 1 \text{ for } x \geq 1, \quad f'(1) = 0 \]

Vi setter opp fire likninger:

1. Kontinuitet i \( x = -2 \): \( p(-2) = 3 \)

\[ -8a + 4b - 2c + d = 3 \quad \text{...(I)} \]

2. Deriverbarhet i \( x = -2 \): \( p'(-2) = -9 \)

\[ p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] \[ 12a - 4b + c = -9 \quad \text{...(II)} \]

3. Kontinuitet i \( x = 1 \): \( p(1) = -4 \)

\[ a + b + c + d = -4 \quad \text{...(III)} \]

4. Deriverbarhet i \( x = 1 \): \( p'(1) = 0 \)

\[ 3a + 2b + c = 0 \quad \text{...(IV)} \]

Vi løser likningssystemet. Fra (IV): \( c = -3a - 2b \).

Setter inn i (II):

\[ 12a - 4b + (-3a - 2b) = -9 \] \[ 9a - 6b = -9 \] \[ 3a - 2b = -3 \quad \text{...(V)} \]

Fra (I) og (III):

(III) \(-\) (I): \( (a + b + c + d) - (-8a + 4b - 2c + d) = -4 - 3 \)

\[ 9a - 3b + 3c = -7 \quad \text{...(VI)} \]

Setter \( c = -3a - 2b \) inn i (VI):

\[ 9a - 3b + 3(-3a - 2b) = -7 \] \[ 9a - 3b - 9a - 6b = -7 \] \[ -9b = -7 \] \[ b = \frac{7}{9} \]

Fra (V): \( 3a - 2 \cdot \frac{7}{9} = -3 \Rightarrow 3a = -3 + \frac{14}{9} = \frac{-27 + 14}{9} = -\frac{13}{9} \Rightarrow a = -\frac{13}{27} \)

\( c = -3\left(-\frac{13}{27}\right) - 2\cdot\frac{7}{9} = \frac{39}{27} - \frac{14}{9} = \frac{13}{9} - \frac{14}{9} = -\frac{1}{9} \)

Fra (III): \( d = -4 - a - b - c = -4 + \frac{13}{27} - \frac{7}{9} + \frac{1}{9} \)

\[ d = -4 + \frac{13}{27} - \frac{6}{9} = -4 + \frac{13}{27} - \frac{18}{27} = -4 - \frac{5}{27} = -\frac{108 + 5}{27} = -\frac{113}{27} \]

Det midterste uttrykket er: \[ p(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27} \] Hele funksjonsuttrykket: \[ f(x) = \begin{cases} -9x - 15, & x \leq -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}, & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}, & x \geq 1 \end{cases} \]

Oppgave 4 (8 poeng)

Posisjonen \( \vec{r} \) til en fiskebåt \( t \) timer etter avgang er \( \vec{r}(t) = [1 + 5t,\; 4 + 8t] \). Enhetene er km.
a) Bestem farten i knop (1 knop = 1852 m/t).
b) Et fyr er i \( (4, 7) \). Bestem minste avstand mellom fiskebåten og fyret.
c) En fiskestim er i \( (1, -3) \) ved \( t = 0 \) og svømmer med hastighet \( \vec{v}(t) = [4, 11] \). Vil fiskebåten treffe stimen?
d) En annen fiskebåt er i \( (-2, 0) \) ved \( t = 0 \) og seiler i retning \( \vec{u} = [6, 4] \). Bestem farten den må holde for å treffe stimen.

a) Fart i knop

Hastighetsvektoren til fiskebåten er:

\[ \vec{r}'(t) = [5, 8] \]

Farten (i km/t) er lengden av hastighetsvektoren:

\[ |\vec{r}'(t)| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \text{ km/t} \]

Vi regner om til knop. 1 knop = 1,852 km/t, så:

\[ \text{Fart i knop} = \frac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx \frac{9{,}434}{1{,}852} \approx 5{,}09 \text{ knop} \]

Farten til fiskebåten er \( \dfrac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx 5{,}1 \) knop.

b) Minste avstand til fyret

Fyret er i \( F = (4, 7) \). Fiskebåtens posisjon er \( \vec{r}(t) = (1+5t,\; 4+8t) \).

Vektoren fra fyret til fiskebåten:

\[ \vec{d}(t) = (1+5t - 4,\; 4+8t - 7) = (-3+5t,\; -3+8t) \]

Avstanden i kvadrat:

\[ D(t) = (-3+5t)^2 + (-3+8t)^2 \] \[ = 9 - 30t + 25t^2 + 9 - 48t + 64t^2 \] \[ = 89t^2 - 78t + 18 \]

Minste avstand finner vi ved å derivere og sette lik null:

\[ D'(t) = 178t - 78 = 0 \] \[ t = \frac{78}{178} = \frac{39}{89} \]

Vi sjekker at \( t > 0 \) (båten har dratt): \( \frac{39}{89} \approx 0{,}438 \). OK.

\[ D\!\left(\frac{39}{89}\right) = 89\cdot\frac{39^2}{89^2} - 78\cdot\frac{39}{89} + 18 = \frac{39^2}{89} - \frac{78\cdot 39}{89} + 18 \] \[ = \frac{1521 - 3042}{89} + 18 = \frac{-1521}{89} + 18 = -\frac{1521}{89} + \frac{1602}{89} = \frac{81}{89} \]

\[ d_{\min} = \sqrt{\frac{81}{89}} = \frac{9}{\sqrt{89}} = \frac{9\sqrt{89}}{89} \approx 0{,}954 \text{ km} \]

Den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret er \( \dfrac{9}{\sqrt{89}} = \dfrac{9\sqrt{89}}{89} \approx 0{,}95 \) km.

c) Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

Banen til fiskebåten og banen til fiskestimen krysser hverandre i punktet (7,09 ; 13,74).

Banene krysser hverandre — men det er ikke det samme som at båten treffer stimen. Båten passerer krysningspunktet etter 1,22 timer, mens stimen først er der etter 1,52 timer. Båten er altså rundt 18 minutter for tidlig ute.

Fiskestimens posisjon ved tid \( t \): Startposisjon \( (1, -3) \) med hastighet \( [4, 11] \):

\[ \vec{s}(t) = [1 + 4t,\; -3 + 11t] \]

Fiskebåtens posisjon: \( \vec{r}(t) = [1+5t,\; 4+8t] \).

For at de skal treffes, må \( \vec{r}(t) = \vec{s}(t) \) for en \( t \geq 0 \):

\[ 1 + 5t = 1 + 4t \quad \Rightarrow \quad t = 0 \] \[ 4 + 8t = -3 + 11t \quad \Rightarrow \quad 7 = 3t \quad \Rightarrow \quad t = \frac{7}{3} \]

De to likningene gir ulike verdier for \( t \) (\( t = 0 \) og \( t = \frac{7}{3} \)), så det finnes ingen tid der begge koordinatene stemmer samtidig.

Banene krysser likevel hverandre. Vi lar fiskebåten ha tidsparameter \( t \) og fiskestimen sin egen tidsparameter \( s \), og løser \( \vec{r}(t) = \vec{s}(s) \):

\[ 1 + 5t = 1 + 4s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{5t}{4} \] \[ 4 + 8t = -3 + 11s = -3 + \frac{55t}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{23t}{4} = 7 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{28}{23} \]

Da er \( s = \frac{35}{23} \), og skjæringspunktet mellom banene er

\[ \left(\frac{163}{23},\; \frac{316}{23}\right) \approx (7{,}09;\; 13{,}74) \]

Fiskebåten passerer dette punktet etter \( \frac{28}{23} \approx 1{,}22 \) timer, mens fiskestimen først er der etter \( \frac{35}{23} \approx 1{,}52 \) timer. Båten er altså cirka 18 minutter for tidlig ute i krysset.

Nei, fiskebåten vil ikke treffe fiskestimen.

d) Farten til den andre fiskebåten

Den andre fiskebåten starter i \( (-2, 0) \) og seiler i retning \( \vec{u} = [6, 4] \) med en ukjent konstant fart \( v \).

Enhetsvektoren i retning \( \vec{u} \):

\[ |\vec{u}| = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \] \[ \hat{u} = \frac{1}{2\sqrt{13}}[6, 4] = \left[\frac{3}{\sqrt{13}},\; \frac{2}{\sqrt{13}}\right] \]

Posisjon til denne fiskebåten:

\[ \vec{q}(t) = \left[-2 + \frac{3v}{\sqrt{13}}\,t,\;\; \frac{2v}{\sqrt{13}}\,t\right] \]

Fiskestimens posisjon: \( \vec{s}(t) = [1+4t,\; -3+11t] \).

For treff: \( \vec{q}(t) = \vec{s}(t) \):

x-koordinat:

\[ -2 + \frac{3v}{\sqrt{13}}\,t = 1 + 4t \] \[ \frac{3v}{\sqrt{13}}\,t - 4t = 3 \] \[ t\left(\frac{3v}{\sqrt{13}} - 4\right) = 3 \quad \text{...(i)} \]

y-koordinat:

\[ \frac{2v}{\sqrt{13}}\,t = -3 + 11t \] \[ \frac{2v}{\sqrt{13}}\,t - 11t = -3 \] \[ t\left(\frac{2v}{\sqrt{13}} - 11\right) = -3 \quad \text{...(ii)} \]

Vi deler (i) på (ii):

\[ \frac{\frac{3v}{\sqrt{13}} - 4}{\frac{2v}{\sqrt{13}} - 11} = \frac{3}{-3} = -1 \]

\[ \frac{3v}{\sqrt{13}} - 4 = -\left(\frac{2v}{\sqrt{13}} - 11\right) \] \[ \frac{3v}{\sqrt{13}} - 4 = -\frac{2v}{\sqrt{13}} + 11 \] \[ \frac{5v}{\sqrt{13}} = 15 \] \[ v = \frac{15\sqrt{13}}{5} = 3\sqrt{13} \]

Vi sjekker at \( t > 0 \). Fra (i): \( t\left(\frac{3 \cdot 3\sqrt{13}}{\sqrt{13}} - 4\right) = t(9-4) = 5t = 3 \), altså \( t = \frac{3}{5} > 0 \). OK.

Fiskebåten må holde en fart på \( 3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \) km/t.
Omregnet til knop: \( \dfrac{3\sqrt{13}}{1{,}852} \approx 5{,}8 \) knop.

Oppgave 5 (4 poeng)

Funksjonen \( f(x) = \ln x \). Et punkt \( B \) på grafen er slik at tangenten i \( B \) går gjennom \( A(0,0) \). Punktet \( C \) er på linja \( y = x \) slik at \( \angle ACB = 90° \).
a) Bestem eksakte verdier for koordinatene til \( B \).
b) Bestem det eksakte arealet av trekant \( ABC \).

Grafen til ln x med tangenten gjennom A(0, 0), punktet B(e, 1), linja y = x og punktet C med rett vinkel markert.

Tangenten i B = (b, ln b) har stigningstall 1/b og treffer y-aksen i ln b − 1. Den går gjennom A(0, 0) bare når ln b = 1, altså b = e. Punktet C ligger på y = x der ∠ACB er rett; da er trekanten rettvinklet i C, og arealet blir ½·|CA|·|CB| = (e² − 1)/4.

a) Koordinater til \( B \)

La \( B = (b, \ln b) \) for en \( b > 0 \).

Tangentens stigningstall i \( B \) er \( f'(b) = \frac{1}{b} \).

Tangentlinjen gjennom \( B \):

\[ y - \ln b = \frac{1}{b}(x - b) \] \[ y = \frac{1}{b}x - 1 + \ln b \]

Denne skal gå gjennom \( A(0, 0) \):

\[ 0 = \frac{1}{b}\cdot 0 - 1 + \ln b \] \[ \ln b = 1 \] \[ b = e \]

\( B = (e, 1) \)

b) Arealet av trekant \( ABC \)

Vi kjenner \( A = (0, 0) \), \( B = (e, 1) \), og \( C \) ligger på linja \( y = x \), dvs. \( C = (c, c) \) for en \( c \).

Kravet er at \( \angle ACB = 90° \), dvs. \( \vec{CA} \perp \vec{CB} \).

\[ \vec{CA} = A - C = (-c, -c) \] \[ \vec{CB} = B - C = (e - c, 1 - c) \]

Krav: \( \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0 \):

\[ (-c)(e - c) + (-c)(1 - c) = 0 \] \[ -c(e - c) - c(1 - c) = 0 \] \[ -c\big[(e - c) + (1 - c)\big] = 0 \] \[ -c(e + 1 - 2c) = 0 \]

Siden \( C \neq A \) (trekanten er ikke degenerert), er \( c \neq 0 \), slik at:

\[ e + 1 - 2c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{e+1}{2} \]

Altså \( C = \left(\frac{e+1}{2},\; \frac{e+1}{2}\right) \).

Nå beregner vi arealet. Vi bruker formelen \( \text{Areal} = \frac{1}{2}|\vec{CA}||\vec{CB}| \) (siden vinkelen i \( C \) er 90 grader).

\[ \vec{CA} = \left(-\frac{e+1}{2},\; -\frac{e+1}{2}\right) \] \[ |\vec{CA}| = \frac{e+1}{2}\sqrt{2} \]

\[ \vec{CB} = \left(e - \frac{e+1}{2},\; 1 - \frac{e+1}{2}\right) = \left(\frac{e-1}{2},\; \frac{1-e}{2}\right) = \left(\frac{e-1}{2},\; -\frac{e-1}{2}\right) \] \[ |\vec{CB}| = \frac{e-1}{2}\sqrt{2} \]

\[ \text{Areal} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2(e+1)(e-1)}{4} = \frac{(e+1)(e-1)}{4} = \frac{e^2 - 1}{4} \]

Det eksakte arealet av trekant \( ABC \) er \( \dfrac{e^2 - 1}{4} \).