Løsningsforslag – Matematikk R1 Vår 2023

Oppgave 1

Vi deriverer hvert ledd for seg.

Den deriverte av \( e^x \) er \( e^x \), og den deriverte av \( \ln x \) er \( \dfrac{1}{x} \).

Oppgave 2

Direkte innsetting gir \( \frac{0}{0} \), så vi må faktorisere.

Vi faktoriserer teller og nevner. Telleren er en differanse mellom to kubikktall, \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) med \( a = x \) og \( b = 2 \), og nevneren faktoriseres med konjugatsetningen:

Vi forkorter \( (x - 2) \) (som er tillatt når \( x \neq 2 \)):

Nå setter vi inn \( x = 2 \):

Oppgave 3

Oppgave 3a

Vi finner vektorene \( \vec{BA} \) og \( \vec{BC} \):

Vi regner ut skalarproduktet:

Sammenhengen mellom skalarproduktet og vinkelen \( \angle CBA \) er:

Siden \( |\vec{BA}| > 0 \) og \( |\vec{BC}| > 0 \), og skalarproduktet er negativt, må \( \cos(\angle CBA) < 0 \).

Oppgave 3b

Vi finner \( \vec{AB} \):

Siden \( P \) ligger på linjen gjennom \( B(4, 0) \) og \( C(9, 4) \), kan vi parametrisere:

Da blir:

Kravet \( \vec{AB} \perp \vec{AP} \) betyr at \( \vec{AB} \cdot \vec{AP} = 0 \):

Vi setter inn \( t = -6 \):

Oppgave 4

Oppgave 4a

Arealet av rektangelet er:

Programmet definerer arealfunksjonen \( A(t) = t(t^2-9)^4 \) og starter med \( t = 0 \).

I while-løkken sjekkes det om \( A(t+d) > A(t) \), altså om arealet øker når \( t \) økes med et lite steg \( d = 0{,}01 \). Så lenge arealet øker, flyttes \( t \) fremover med steglengde \( d \).

Når arealet ikke lenger øker (dvs. \( A(t+d) \leq A(t) \)), stopper løkken. Da har vi funnet en tilnærmet verdi for den \( t \)-verdien der \( A(t) \) har sitt maksimum.

Oppgave 4b

Arealfunksjonen er:

Vi deriverer ved hjelp av produktregelen og kjerneregelen:

Vi faktoriserer ut \( (t^2 - 9)^3 \):

Vi finner nullpunktene til \( A'(t) \) for \( t \in \langle 0, 3 \rangle \):

• \( (t^2 - 9)^3 = 0 \Rightarrow t = 3 \), som er utenfor det åpne intervallet.
• \( t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \) (vi ser bort fra \( t = -1 \) siden \( t > 0 \)).

Vi sjekker fortegnet til \( A'(t) \):

• For \( t \in \langle 0, 1 \rangle \): \( (t^2 - 9)^3 < 0 \) og \( (t^2 - 1) < 0 \), så \( A'(t) = 9 \cdot (\text{negativ}) \cdot (\text{negativ}) > 0 \).
• For \( t \in \langle 1, 3 \rangle \): \( (t^2 - 9)^3 < 0 \) og \( (t^2 - 1) > 0 \), så \( A'(t) = 9 \cdot (\text{negativ}) \cdot (\text{positiv}) < 0 \).

Siden \( A'(t) \) skifter fortegn fra positivt til negativt ved \( t = 1 \), har \( A(t) \) et maksimum her.

Arealet ved \( t = 1 \):

Oppgave 1

Oppgave 1a

Vi lar \( k \) være den årlige vekstfaktoren. Fra 2008 til 2022 er det 14 år, så:

Oppgave 1b

Vi bruker resultatet fra oppgave a) og setter opp en eksponentialfunksjon med startverdi i 2008:

der \( k = \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{1/14} \approx 1{,}0159 \).

Oppgave 1c

Amalies samlede lønn:

Amalies timelønn i år \( n \) etter 2008 er \( 272{,}55 \cdot 1{,}023^n \). Årslønnen er \( 1700 \cdot 272{,}55 \cdot 1{,}023^n \).

Den samlede lønnen fra 2008 til 2022 (år \( n = 0 \) til \( n = 14 \), altså 15 år):

Pers samlede lønn:

Pers lønnsutvikling følger modellen fra oppgave b). Vi regner med den uavrundede vekstfaktoren \( k = \left(\dfrac{340{,}10}{272{,}55}\right)^{1/14} \approx 1{,}015941 \). Tilsvarende:

Oppgave 1d

Amalies timelønn i 2025 (\( n = 17 \) år etter 2008):

Pers timelønn i 2022 er 340,10 kr. La \( p \) være den årlige vekstfaktoren Per trenger fra 2022 til 2025 (3 år):

Oppgave 2

Oppgave 2a

Vi bruker at \( \vec{AB} = \vec{u} \) og \( \vec{AD} = \vec{v} \):

Oppgave 2b

I et parallellogram halverer diagonalene hverandre. Skjæringspunktet er altså midtpunktet av diagonalen \( AC \):

Setter dette lik \( P(8, 11) \):

Fra \( x \)-koordinaten:

Kontroll med \( y \)-koordinaten:

Oppgave 3

Oppgave 3a

Påstanden er usann.

Vi sjekker med et moteksempel. La \( x = e \):

Siden \( 1 \neq 4 \), er påstanden usann.

Merk: Eleven kan ha forvekslet \( (\ln x)^4 \) med \( \ln(x^4) \). Det er \( \ln(x^4) = 4\ln x \), men \( (\ln x)^4 \neq 4 \ln x \) generelt.

Oppgave 3b

Påstanden er sann.

En fjerdegradsfunksjon har formen \( p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \) der \( a \neq 0 \).

Den deriverte er \( p'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d \), som er et tredjegradspolynom.

Ethvert tredjegradspolynom har minst ett reelt nullpunkt (fordi tredjegradspolynomer har odde grad, så de går mot \( +\infty \) og \( -\infty \)). Dermed har \( p'(x) \) minst ett nullpunkt.

Siden \( p(x) \to +\infty \) når \( x \to \pm\infty \) (for \( a > 0 \)) eller \( p(x) \to -\infty \) når \( x \to \pm\infty \) (for \( a < 0 \)), må funksjonen ha et globalt minimum (for \( a > 0 \)) eller et globalt maksimum (for \( a < 0 \)). Dette er et ekstremalpunkt.

Oppgave 3c

Påstanden er usann.

En funksjon har en omvendt funksjon (invers funksjon) hvis og bare hvis den er injektiv (en-til-en), det vil si at forskjellige \( x \)-verdier gir forskjellige funksjonsverdier. Streng monotoni er tilstrekkelig for injektivitet, men ikke nødvendig.

Moteksempel: \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) med \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Funksjonen er injektiv og har den omvendte funksjonen \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} \). Likevel er \( f \) verken strengt voksende eller strengt avtakende på hele definisjonsmengden: \( f(-1) = -1 \) og \( f(1) = 1 \), så \( f \) vokser fra \( x = -1 \) til \( x = 1 \), mens \( f \) avtar på hver av de to grenene.

Et moteksempel finnes også i oppgave 4 i denne delen: funksjonen \( h \) er satt sammen av et avtakende stykke med verdier i \( \langle 2, 3] \) og et voksende stykke med verdier i \( [-1, 2] \). Verdiområdene er disjunkte, så \( h \) er injektiv og har en omvendt funksjon – uten å være strengt monoton.

Påstanden blir derimot riktig hvis man legger til forutsetningen at funksjonen er kontinuerlig på et intervall: er \( f \) injektiv og kontinuerlig på et intervall, må \( f \) være strengt monoton. Denne forutsetningen står ikke i påstanden.

Oppgave 4

Oppgave 4a

En funksjon har en omvendt funksjon dersom den er injektiv (en-til-en). Grafisk betyr dette at enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.

Funksjon \( f \): Grafen til \( f \) går fra \( x = -4 \) til \( x = 4 \), med en loddrett asymptote i \( x = 0 \) (der \( f \) ikke er definert): den stiger mot \( +\infty \) når \( x \to 0^- \), og faller fra \( +\infty \) når \( x \to 0^+ \). I begge endene, \( x = -4 \) og \( x = 4 \), ligger grafen like over \( y = 0 \), og grafen er symmetrisk om \( y \)-aksen. En horisontal linje \( y = c \) med \( c \) større enn 0 skjærer derfor grafen i to punkter. Dermed er \( f \) ikke injektiv og har ikke en omvendt funksjon.

Funksjon \( g \): Grafen av \( g \) er strengt voksende (stiger hele tiden). Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt. Dermed har \( g \) en omvendt funksjon.

Funksjon \( h \): Grafen til \( h \) består av to stykker. Det første er en rett, avtakende linje fra \( (-5, 3) \), som er med, ned mot \( (-2, 2) \), som er markert med pilspiss og altså ikke er med. Det andre er et voksende stykke fra \( (-2, -1) \) opp til \( (4, 2) \), begge med. Verdiene på det første stykket ligger i \( \langle 2, 3] \), og verdiene på det andre ligger i \( [-1, 2] \). Disse to verdiområdene er disjunkte, så ingen \( y \)-verdi blir truffet to ganger, og en horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt. Dermed er \( h \) injektiv og har en omvendt funksjon – selv om \( h \) verken er strengt voksende eller strengt avtakende. (Legg merke til at \( y = 2 \) må høre til bare ett av stykkene: ellers ville \( h \) hatt to verdier i \( x = -2 \) og ikke vært en funksjon.)

Funksjon \( k \): Grafen til \( k \) er strengt avtakende fra \( (-4, 3) \), som er med, og ned til \( (4, -1) \), som er markert med pilspiss og ikke er med. Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt. Dermed har \( k \) en omvendt funksjon.

Oppgave 4b

Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.

For \( g^{-1} \): \( g \) vokser fra \( (-4, 1) \) til \( (4, 6) \), og begge endepunktene er med. Verdimengden er \( V_g = [1, 6] \), og dermed er \( D_{g^{-1}} = [1, 6] \).

For \( h^{-1} \): Det avtakende stykket gir verdiene \( \langle 2, 3] \) og det voksende stykket gir verdiene \( [-1, 2] \). Til sammen blir \( V_h = [-1, 2] \cup \langle 2, 3] = [-1, 3] \), og dermed er \( D_{h^{-1}} = [-1, 3] \).

For \( k^{-1} \): \( k \) avtar fra \( (-4, 3) \), som er med, til \( (4, -1) \), som er markert med pilspiss og ikke er med. Verdimengden er \( V_k = \langle -1, 3] \), og dermed er \( D_{k^{-1}} = \langle -1,\; 3] \).

Oppgave 5

Oppgave 5a

Vi setter \( L = 130 \) inn i formelen:

Oppgave 5b

La \( I_1 \) og \( I_2 \) være lydintensitetene ved lydstyrke \( L \) og \( L + 2 \):

Trekker vi den første likningen fra den andre:

Oppgave 5c

Først finner vi effekten \( E \). Ved \( r = 50 \) m og \( L = 140 \) dB:

Vi vil finne \( r \) slik at \( L = 130 \) dB. Fra oppgave 5a vet vi at \( I = 10 \) W/m\(^2\) ved 130 dB:

Oppgave 6

Oppgave 6a

Vi finner retningsvektoren til \( \ell \):

Et punkt \( Q \) på \( \ell \):

Avstanden er lengden av \( \vec{PQ} \) når \( \vec{PQ} \perp \vec{AB} \):

Oppgave 6b

Likningen for \( \ell \) har stigningstall \( \frac{8}{2} = 4 \):

Grafen og \( \ell \) skjærer ikke hverandre:

Da ligger punktet på grafen som er nærmest \( \ell \), der tangenten er parallell med \( \ell \):

Avstanden fra \( R(1, 3) \) til \( \ell \). Et punkt \( Q = (4 + 2t,\; -2 + 8t) \) på \( \ell \):

Oppgave 7

Vi følger algoritmen: Velg \( N + 1 \) tall jevnt fordelt i \( [0, 1] \), og regn ut gjennomsnittet av funksjonsverdiene.

Program:

import math

def f(x):
    return math.sqrt(x)

a = 0
b = 1
N = 1000000

s = 0
for i in range(N + 1):
    x = a + i * (b - a) / N
    s = s + f(x)

gjennomsnitt = s / (N + 1)
print(gjennomsnitt)

Med \( N = 1\,000\,000 \) gir programmet: