VG2
Løsningsforslag Matematikk R1Høst 2025
PDF Løsningsforslag
Bidrag fra OpenMath
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
Løsningsforslag – Matematikk R1 Høst 2025
Eksamen REA3056
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (5 poeng)
a)
Deriver funksjonen \( f \) gitt ved
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2 \]
Vi skriver om \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) og deriverer ledd for ledd:
\[ f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = x^2 + \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
\[ f'(x) = x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Vanlig feil: Mange glemmer at den deriverte av en konstant er 0, eller at \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) også gjelder for brøkeksponenter som \( \sqrt{x} = x^{1/2} \). Skriv alltid om røtter og brøker til potensform før du deriverer.
b)
Funksjonen \( g \) er gitt ved \( g(x) = \dfrac{2x - 3}{e^x} \). Bestem \( g'(2) \) og \( g'(3) \).
Vi bruker kvotientregelen. Med \( u = 2x - 3 \) og \( v = e^x \) får vi \( u' = 2 \) og \( v' = e^x \):
\[ g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2 \cdot e^x - (2x-3) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(2 - (2x-3))}{e^{2x}} = \frac{5 - 2x}{e^x} \]
Vi setter inn \( x = 2 \) og \( x = 3 \):
\[ g'(2) = \frac{5 - 4}{e^2} = \frac{1}{e^2} > 0 \]
\[ g'(3) = \frac{5 - 6}{e^3} = \frac{-1}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0 \]
\[ g'(2) = \frac{1}{e^2} \approx 0{,}135 \qquad \text{og} \qquad g'(3) = -\frac{1}{e^3} \approx -0{,}050 \]
Vanlig feil: I kvotientregelen er det lett å bytte om rekkefølgen i telleren. Husk at formelen er \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), ikke \( \frac{uv' - u'v}{v^2} \). Feil fortegn i telleren gir et svar med feil fortegn, noe som kan gi helt gale nullpunkter for den deriverte.
c)
Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til \( g \) når \( x \in [2, 3] \)?
Vi har at:
- \( g'(2) = \dfrac{1}{e^2} > 0 \), som betyr at \( g \) er voksende i \( x = 2 \).
- \( g'(3) = -\dfrac{1}{e^3} < 0 \), som betyr at \( g \) er avtagende i \( x = 3 \).
Siden \( g \) er kontinuerlig og deriverbar, og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ på intervallet \([2, 3]\), må \( g \) ha et toppunkt et sted mellom \( x = 2 \) og \( x = 3 \).
(Toppunktet ligger i \( x = \frac{5}{2} \), der \( g'(x) = 0 \).)
Grafen til \( g \) er voksende i \( x = 2 \) og avtagende i \( x = 3 \). Dermed har \( g \) et toppunkt
på intervallet \( [2, 3] \).
Vanlig feil: Ved logaritmelikninger glemmer mange å sjekke at løsningen gir positive argumenter til logaritmen. Siden \( \ln x \) og \( \lg x \) bare er definert for \( x > 0 \), må du alltid verifisere at løsningene dine oppfyller dette kravet. Forkast eventuelle løsninger der argumentet blir null eller negativt.
Oppgave 2 (3 poeng)
a)
Løs likningen \( (\lg x)^2 - 2\lg x = 8 \)
Vi innfører substitusjonen \( u = \lg x \). Da blir likningen:
\[ u^2 - 2u = 8 \]
\[ u^2 - 2u - 8 = 0 \]
Vi faktoriserer:
\[ (u - 4)(u + 2) = 0 \]
Dette gir \( u = 4 \) eller \( u = -2 \).
Tilbakesubstitusjon:
- \( \lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10\,000 \)
- \( \lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0{,}01 \)
\[ x = 10\,000 \quad \text{eller} \quad x = 0{,}01 \]
Vanlig feil: Ved substitusjon (f.eks. \( u = e^x \) eller \( u = \lg x \)) glemmer mange å sjekke hvilke verdier den nye variabelen kan ta. Siden \( e^x > 0 \) alltid, må man forkaste negative løsninger for \( u \) ved tilbakesubstitusjon. Tilsvarende kan \( 10^x \) aldri bli negativt.
b)
Bestem \( a \) slik at \( \log_a \dfrac{1}{64} = -3 \)
Vi bruker definisjonen av logaritme. Likningen \( \log_a \frac{1}{64} = -3 \) betyr at:
\[ a^{-3} = \frac{1}{64} \]
Vi snur begge sider:
\[ a^3 = 64 \]
Dermed:
\[ a = \sqrt[3]{64} = 4 \]
\[ a = 4 \]
Oppgave 3 (3 poeng)
a)
Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8} \]
Vi undersøker telleren og nevneren for \( x = -2 \):
- Teller: \( (-2)^2 - 4(-2) + 2 = 4 + 8 + 2 = 14 \)
- Nevner: \( (-2)^2 - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \)
Telleren gir 14 (forskjellig fra 0), mens nevneren gir 0. Brøken går da mot \( \pm\infty \) når \( x \to -2 \).
Grenseverdien eksisterer ikke, fordi telleren nærmer seg 14 mens nevneren nærmer seg 0.
Vanlig feil: Når telleren nærmer seg en verdi ulik null mens nevneren nærmer seg null, divergerer brøken mot \( \pm\infty \). Mange forveksler dette med formen \( \frac{0}{0} \), der man kan forkorte. Her kan man ikke forkorte, og grenseverdien eksisterer ikke som et endelig tall.
b)
1) Bestem \( a \) slik at grenseverdien eksisterer:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8} \]
2) Bestem grenseverdien for denne verdien av \( a \).
Del 1)
Vi faktoriserer nevneren:
\[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) \]
Nevneren er 0 for \( x = -2 \). For at grenseverdien skal eksistere, må også telleren være 0 for \( x = -2 \), slik at vi kan forkorte faktoren \( (x + 2) \).
Krav: telleren er 0 for \( x = -2 \):
\[ (-2)^2 + a(-2) + 2 = 0 \]
\[ 4 - 2a + 2 = 0 \]
\[ 6 - 2a = 0 \]
\[ a = 3 \]
\( a = 3 \)
Del 2)
Med \( a = 3 \) blir telleren \( x^2 + 3x + 2 \). Vi faktoriserer:
\[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \]
Nå kan vi forkorte:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+1}{x-4} = \frac{-2+1}{-2-4} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \]
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 - 2x - 8} = \frac{1}{6} \]
Oppgave 4 (6 poeng)
a)
I et koordinatsystem har vi punktene \( A(-2, 3) \) og \( B(3, 2) \). Bestem lengden av linjestykket \( AB \).
Vi bruker avstandsformelen:
\[ |AB| = \sqrt{(3-(-2))^2 + (2-3)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \]
\[ |AB| = \sqrt{26} \approx 5{,}10 \]
b)
Linja gjennom \( A \) og \( B \) skjærer \( x \)-aksen i punktet \( C \). Bestem koordinatene til \( C \).
Vi finner stigningstallet til linja gjennom \( A(-2,3) \) og \( B(3,2) \):
\[ a = \frac{2 - 3}{3 - (-2)} = \frac{-1}{5} \]
Linjens likning med punktet \( B(3, 2) \):
\[ y - 2 = -\frac{1}{5}(x - 3) \]
\[ y = -\frac{1}{5}x + \frac{3}{5} + 2 = -\frac{1}{5}x + \frac{13}{5} \]
Skjæring med \( x \)-aksen (\( y = 0 \)):
\[ 0 = -\frac{1}{5}x + \frac{13}{5} \]
\[ \frac{1}{5}x = \frac{13}{5} \]
\[ x = 13 \]
\[ C = (13,\; 0) \]
c)
Et punkt \( D \) er gitt ved \( D(2, t) \) der \( t \in \mathbb{R} \).
Bestem \( t \) slik at \( \angle ABD = 90° \).
Vinkel \( ABD \) har toppunkt i \( B \). Vi finner vektorene \( \overrightarrow{BA} \) og \( \overrightarrow{BD} \):
\[ \overrightarrow{BA} = A - B = (-2-3,\; 3-2) = (-5,\; 1) \]
\[ \overrightarrow{BD} = D - B = (2-3,\; t-2) = (-1,\; t-2) \]
For at \( \angle ABD = 90° \) må vektorene stå vinkelrett, altså \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 \):
\[ (-5)(-1) + (1)(t-2) = 0 \]
\[ 5 + t - 2 = 0 \]
\[ t + 3 = 0 \]
\[ t = -3 \]
\[ t = -3 \]
Oppgave 5 (4 poeng)
a)
En funksjon \( f \) er gitt ved \( f(x) = 4x^2 \cdot \ln x \).
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til \( f \).
Definisjonsmengden er \( x > 0 \) (krav fra \(\ln x\)).
Vi deriverer med produktregelen. La \( u = 4x^2 \) og \( v = \ln x \):
\[ f'(x) = 8x \cdot \ln x + 4x^2 \cdot \frac{1}{x} = 8x\ln x + 4x = 4x(2\ln x + 1) \]
Setter \( f'(x) = 0 \). Siden \( x > 0 \) er \( 4x \neq 0 \), så vi løser:
\[ 2\ln x + 1 = 0 \]
\[ \ln x = -\frac{1}{2} \]
\[ x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \]
Vi finner funksjonsverdien:
\[ f\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)^2 \cdot \ln\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = 4 \cdot \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{2}{e} \]
Vi kontrollerer med den andrederiverte:
\[ f''(x) = 8\ln x + 8 + 4 = 8\ln x + 12 \]
\[ f''\!\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 12 = -4 + 12 = 8 > 0 \]
Siden \( f'' > 0 \) i dette punktet, er det et bunnpunkt.
Grafen til \( f \) har et bunnpunkt i \( \left(\dfrac{1}{\sqrt{e}},\; -\dfrac{2}{e}\right) \approx (0{,}607;\; -0{,}736) \).
b)
En elev har skrevet et Python-program (vist i oppgaven) med funksjonen \( f(x) = 4x^2 \cdot \ln x \)
og intervallet \([0{,}1;\; 3]\). Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva programmet gjør i linje 11–20. Bestem verdien som blir skrevet ut.
Hva ønsker eleven å finne ut?
Eleven ønsker å finne et nullpunkt til funksjonen \( f(x) = 4x^2 \ln x \) i intervallet \([0{,}1;\; 3]\).
Forklaring av linje 11–20 (halveringsmetoden):
Programmet bruker halveringsmetoden (bisection method) for å finne nullpunktet.
- Linje 11: Beregner midtpunktet \( m = \frac{a+b}{2} \) av intervallet \([a, b]\).
- Linje 13: Sjekker om \( |f(m)| \) er mindre enn maksimalt tillatt avvik (0,0001). Hvis ikke, fortsetter løkken.
- Linje 15–16: Hvis \( f(a) \cdot f(m) < 0 \), har \( f \) ulikt fortegn i \( a \) og \( m \), og nullpunktet ligger i \([a, m]\). Da settes \( b = m \).
- Linje 17–18: Ellers ligger nullpunktet i \([m, b]\), og vi setter \( a = m \).
- Linje 20: Beregner nytt midtpunkt for det innsnevrede intervallet.
Slik halveres intervallet i hver iterasjon inntil \( |f(m)| < 0{,}0001 \).
Verdien som skrives ut:
\( f(x) = 4x^2 \ln x = 0 \) gir enten \( x = 0 \) (utenfor intervallet) eller \( \ln x = 0 \), dvs. \( x = 1 \).
Programmet konvergerer mot dette nullpunktet.
Programmet skriver ut \( m \approx 1 \) (nærmere bestemt en verdi svært nær 1, med nøyaktighet bedre enn 0,0001).
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
a)
Tabellen viser folketallet på et tettsted i perioden 1960–1980. Lag en modell
\[ F(t) = \frac{B}{1 + a \cdot e^{-kt}} \]
for antall personer \( t \) år etter 1960. Vurder gyldighetsområdet.
| År | 1960 | 1961 | 1963 | 1965 | 1967 | 1971 | 1975 | 1977 | 1980 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Folketall | 500 | 604 | 852 | 1043 | 1510 | 2163 | 2544 | 2639 | 2715 |
Vi bruker regresjon (for eksempel i GeoGebra eller CAS) med datasettet \((t, F)\) der \( t \) er antall år etter 1960.
Datapunktene er:
| \(t\) | 0 | 1 | 3 | 5 | 7 | 11 | 15 | 17 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F\) | 500 | 604 | 852 | 1043 | 1510 | 2163 | 2544 | 2639 | 2715 |
Logistisk regresjon gir tilnærmet:
\[ B \approx 2841, \quad a \approx 5{,}07, \quad k \approx 0{,}247 \]
Altså:
\[ F(t) \approx \frac{2841}{1 + 5{,}07 \cdot e^{-0{,}247t}} \]
Vanlig feil: I logistiske modeller \( \frac{K}{1 + ae^{-bt}} \) forveksler mange kapasiteten \( K \) med startverdien. Startverdien finner du ved å sette \( t = 0 \): \( f(0) = \frac{K}{1+a} \). Vendepunktet (raskest vekst) inntreffer alltid når \( f(t) = \frac{K}{2} \), uavhengig av parametrene \( a \) og \( b \).
Vurdering av gyldighetsområde:
Modellen er en logistisk vekstkurve som gir \( F(0) \approx 468 \) (nær 500) og nærmer seg en bærekapasitet \( B \approx 2841 \) for store \( t \). Modellen passer godt for perioden \( t \in [0, 20] \), altså 1960–1980. Utenfor dette intervallet bør man være forsiktig, da modellen for \( t < 0 \) kan gi urealistisk lave verdier, og for \( t \gg 20 \) antar den at folketallet stabiliserer seg ved omtrent 2841, noe vi ikke kan vite om stemmer.
Merk: Parametervariasjoner avhengig av verktøy er naturlig. De eksakte verdiene kan variere noe fra verktøy til verktøy.
b)
Bestem \( F'(12) \) og \( F''(12) \). Gi en praktisk tolkning av svarene.
Med modellen fra oppgave a) bruker vi CAS eller GeoGebra til å beregne de deriverte numerisk.
Den deriverte av den logistiske funksjonen er:
\[ F'(t) = \frac{B \cdot a \cdot k \cdot e^{-kt}}{(1 + a \cdot e^{-kt})^2} \]
Den dobbeltderiverte er:
\[ F''(t) = \frac{B \cdot k^2 \cdot a \cdot e^{-kt}(a \cdot e^{-kt} - 1)}{(1 + a \cdot e^{-kt})^3} \]
Med parameterverdiene \( B \approx 2841 \), \( a \approx 5{,}07 \), \( k \approx 0{,}247 \):
\[ F'(12) \approx 115 \]
\[ F''(12) \approx -17 \]
Praktisk tolkning:
- \( F'(12) \approx 115 \) betyr at i 1972 (12 år etter 1960) økte folketallet med omtrent 115 personer per år.
- \( F''(12) \approx -17 \) betyr at vekstraten var avtagende i 1972. Folketallet økte fortsatt, men økningen ble mindre for hvert år (veksten bremset opp).
\( F'(12) \approx 115 \): Folketallet økte med ca. 115 personer per år i 1972.
\( F''(12) \approx -17 \): Vekstraten avtok, dvs. økningen per år ble stadig mindre.
\( F''(12) \approx -17 \): Vekstraten avtok, dvs. økningen per år ble stadig mindre.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
F(t) := 2841 / (1 + 5.07 · e^(-0.247t)) - Beregn den deriverte i 1972:
Numerisk(F'(12))→ gir \(\approx 115{,}35\) - Beregn den dobbeltderiverte:
Numerisk(F''(12))→ gir \(\approx -16{,}67\)
c)
Når økte folketallet med mer enn 150 personer per år ifølge modellen?
Vi skal løse ulikheten \( F'(t) > 150 \).
Vi bruker digitalt verktøy til å finne når \( F'(t) = 150 \). Maksimum av \( F'(t) \) inntreffer ved vendepunktet til \( F \), dvs. når \( F''(t) = 0 \). Dette skjer når \( a \cdot e^{-kt} = 1 \), altså \( t = \frac{\ln a}{k} \approx \frac{\ln 5{,}07}{0{,}247} \approx 6{,}6 \).
Den maksimale vekstraten er \( F'(6{,}6) \approx 175 \) personer per år.
Vi løser \( F'(t) = 150 \) numerisk og finner to løsninger:
\[ t_1 \approx 3{,}3 \qquad \text{og} \qquad t_2 \approx 9{,}8 \]
Folketallet økte med mer enn 150 personer per år i perioden \( t \in (3{,}3;\; 9{,}8) \),
altså omtrent fra 1963 til 1970.
Oppgave 2 (4 poeng)
a)
Funksjonen \( f \) er gitt ved
\[
f(x) = \begin{cases} ax + b & x \leq -2 \\ 2x^3 + 2x^2 - 2x & -2 < x < k \\ c & x \geq k \end{cases}
\]
der \( a, b, c \in \mathbb{R} \) og \( k \in \langle -2, \;\to\rangle \).
Avgjør om \( f \) er kontinuerlig i \( x = -2 \) dersom \( a = 2 \) og \( b = -2 \).
For at \( f \) skal være kontinuerlig i \( x = -2 \), må grenseverdien fra venstre være lik grenseverdien fra høyre og lik funksjonsverdien.
Fra venstre (\( x \leq -2 \)):
\[ f(-2) = 2 \cdot (-2) + (-2) = -4 - 2 = -6 \]
Fra høyre (\( -2 < x < k \)):
\[ \lim_{x \to -2^+} (2x^3 + 2x^2 - 2x) = 2(-8) + 2(4) - 2(-2) = -16 + 8 + 4 = -4 \]
Siden \( -6 \neq -4 \), er grenseverdiene fra venstre og høyre ulike.
\( f \) er ikke kontinuerlig i \( x = -2 \) når \( a = 2 \) og \( b = -2 \).
Vanlig feil: Mange sjekker bare at funksjonsverdien eksisterer i overgangspunktet, men glemmer å sjekke at grenseverdiene fra venstre og høyre er like. For kontinuitet kreves det at \( \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \). Alle tre verdiene må stemme overens.
b)
Bestem \( a, b, c \) og \( k \) slik at \( f \) er kontinuerlig og deriverbar i \( x = -2 \) og i \( x = k \).
Betingelser i \( x = -2 \):
Kontinuitet: Vi trenger at \( f(-2) \) fra den lineære delen er lik verdien fra den kubiske delen:
\[ a(-2) + b = 2(-2)^3 + 2(-2)^2 - 2(-2) \]
\[ -2a + b = -16 + 8 + 4 = -4 \qquad \cdots (1) \]
Deriverbarhet: Den deriverte fra venstre må være lik den deriverte fra høyre:
\[ (ax + b)' = a \]
\[ (2x^3 + 2x^2 - 2x)' = 6x^2 + 4x - 2 \]
I \( x = -2 \):
\[ a = 6(-2)^2 + 4(-2) - 2 = 24 - 8 - 2 = 14 \qquad \cdots (2) \]
Fra (1) og (2):
\[ -2(14) + b = -4 \implies -28 + b = -4 \implies b = 24 \]
Betingelser i \( x = k \):
Kontinuitet:
\[ 2k^3 + 2k^2 - 2k = c \qquad \cdots (3) \]
Deriverbarhet: Den deriverte av den kubiske delen i \( x = k \) må være lik den deriverte av den konstante delen (som er 0):
\[ 6k^2 + 4k - 2 = 0 \]
\[ 3k^2 + 2k - 1 = 0 \]
\[ (3k - 1)(k + 1) = 0 \]
Dette gir \( k = \frac{1}{3} \) eller \( k = -1 \). Begge verdiene ligger i \( \langle -2, \;\to\rangle \).
For \( k = \frac{1}{3} \):
\[ c = 2\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{27} + \frac{2}{9} - \frac{2}{3} = \frac{2 + 6 - 18}{27} = -\frac{10}{27} \]
For \( k = -1 \):
\[ c = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 2(-1) = -2 + 2 + 2 = 2 \]
Løsning 1: \( a = 14,\; b = 24,\; k = \dfrac{1}{3},\; c = -\dfrac{10}{27} \)
Løsning 2: \( a = 14,\; b = 24,\; k = -1,\; c = 2 \)
Løsning 2: \( a = 14,\; b = 24,\; k = -1,\; c = 2 \)
Oppgave 3 (4 poeng)
a)
Sammenhengen mellom luktverdien \( C \) (i \( OU/m^3 \)) og luktintensiteten \( I \) er gitt ved
\[ I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3 \]
Luktverdier er mellom 500 \( OU/m^3 \) og 1400 \( OU/m^3 \). Har beboerne grunnlag for å klage?
Vi beregner luktintensiteten for de to ytterverdiene:
For \( C = 500 \):
\[ I = 1{,}4 \cdot \lg(500) - 0{,}3 = 1{,}4 \cdot 2{,}699 - 0{,}3 \approx 3{,}78 - 0{,}3 = 3{,}48 \]
For \( C = 1400 \):
\[ I = 1{,}4 \cdot \lg(1400) - 0{,}3 = 1{,}4 \cdot 3{,}146 - 0{,}3 \approx 4{,}40 - 0{,}3 = 4{,}10 \]
Luktintensiteten varierer altså mellom \( I \approx 3{,}48 \) og \( I \approx 4{,}10 \).
Ifølge tabellen:
- \( I = 3{,}48 \) faller i kategorien 3–4: «plagsom lukt, bør begrenses»
- \( I = 4{,}10 \) faller i kategorien > 4: «plagsomt, tiltak kreves»
Ja, beboerne har grunnlag for å klage. Luktverdiene gir luktintensitet i kategoriene
«plagsom lukt» og «plagsomt, tiltak kreves».
b)
Hvilken luktverdi \( C \) må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?
Akseptabelt betyr \( I \leq 2 \) ifølge tabellen. Vi løser:
\[ 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3 \leq 2 \]
\[ 1{,}4 \cdot \lg(C) \leq 2{,}3 \]
\[ \lg(C) \leq \frac{2{,}3}{1{,}4} = \frac{23}{14} \approx 1{,}643 \]
\[ C \leq 10^{23/14} \approx 43{,}9 \]
Nye prøver må vise en luktverdi \( C \leq 44 \; OU/m^3 \) (omtrent) for at luktintensiteten
skal være akseptabel (\( I \leq 2 \)).
Oppgave 4 (6 poeng)
a)
Ina følger en sti fra hytta \( H(0, 300) \) til utsiktspunktet \( U(1200, 400) \).
Forklar at parameterframstillingen
\[
I:\; \begin{cases} x = 1200s \\ y = 300 + 100s \end{cases} \quad s \in [0, 1]
\]
gir den rette linja mellom \( H \) og \( U \).
Vi setter inn endepunktene:
- For \( s = 0 \): \( (x, y) = (0, 300) = H \) ✓
- For \( s = 1 \): \( (x, y) = (1200, 400) = U \) ✓
Både \( x \) og \( y \) er lineære (førstegrads) funksjoner av \( s \). En parameterframstilling der begge koordinatene er lineære i parameteren, beskriver en rett linje.
Når \( s \) varierer fra 0 til 1, beveger punktet \((x, y)\) seg langs en rett linje fra \( H \) til \( U \).
Parameterframstillingen gir en rett linje fra \( H(0, 300) \) til \( U(1200, 400) \)
fordi \( x \) og \( y \) er lineære i \( s \), og endepunktene stemmer overens med \( H \) og \( U \).
Vanlig feil: Mange glemmer at to objekter som følger ulike parameterframstillinger, bare møtes dersom de er på samme sted til samme tid. Det holder ikke at banene krysser hverandre – man må løse for samme tidsparameter i begge likninger. Sjekk alltid at den felles \( t \)-verdien gir konsistente koordinater.
b)
Hele turen tar 20 minutter. Bestem posisjonen til Ina etter 5 minutter.
Ina går med konstant fart, så parameteren \( s \) er proporsjonal med tiden. Etter 5 av 20 minutter:
\[ s = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Vi setter inn \( s = \frac{1}{4} \):
\[ x = 1200 \cdot \frac{1}{4} = 300 \]
\[ y = 300 + 100 \cdot \frac{1}{4} = 300 + 25 = 325 \]
Etter 5 minutter er Ina i punktet \( (300,\; 325) \).
c)
Regn ut farten til Ina. Gi svaret i \( m/s \).
Avstanden fra \( H \) til \( U \):
\[ |HU| = \sqrt{1200^2 + 100^2} = \sqrt{1\,440\,000 + 10\,000} = \sqrt{1\,450\,000} \]
\[ = \sqrt{10\,000 \cdot 145} = 100\sqrt{145} \;\text{m} \]
Tiden er 20 minutter \( = 1200 \) sekunder.
\[ v = \frac{100\sqrt{145}}{1200} = \frac{\sqrt{145}}{12} \;\text{m/s} \approx 1{,}00 \;\text{m/s} \]
\[ v = \frac{\sqrt{145}}{12} \;\text{m/s} \approx 1{,}00 \;\text{m/s} \]
d)
Jonas sin posisjon \( t \) minutter etter at han startet, er gitt ved
\[
j:\; \begin{cases} x = 520 - 20t \\ y = 310 + 5t \end{cases}
\]
Hvor langt har Ina gått når hun møter Jonas?
Inas posisjon \( T \) minutter etter at hun startet (med \( s = T/20 \)):
\[ x_I = 1200 \cdot \frac{T}{20} = 60T, \qquad y_I = 300 + 100 \cdot \frac{T}{20} = 300 + 5T \]
Jonas sin posisjon \( t_J \) minutter etter at han startet:
\[ x_J = 520 - 20t_J, \qquad y_J = 310 + 5t_J \]
De møtes når posisjonene er like:
\[ 60T = 520 - 20t_J \qquad \cdots (1) \]
\[ 300 + 5T = 310 + 5t_J \qquad \cdots (2) \]
Fra likning (2):
\[ 5T - 5t_J = 10 \implies T - t_J = 2 \implies t_J = T - 2 \]
Setter inn i likning (1):
\[ 60T = 520 - 20(T - 2) = 520 - 20T + 40 = 560 - 20T \]
\[ 80T = 560 \]
\[ T = 7 \]
Ina har altså gått i 7 minutter. Hennes parameter er \( s = \frac{7}{20} \).
Avstanden Ina har gått:
\[ d = s \cdot |HU| = \frac{7}{20} \cdot 100\sqrt{145} = 35\sqrt{145} \;\text{m} \approx 421{,}5 \;\text{m} \]
Vi kan kontrollere møtepunktet: \( (60 \cdot 7,\; 300 + 5 \cdot 7) = (420,\; 335) \). Fra Jonas med \( t_J = 5 \): \( (520 - 100,\; 310 + 25) = (420,\; 335) \). ✓
Ina har gått \( 35\sqrt{145} \approx 422 \) meter når hun møter Jonas.
Oppgave 5 (4 poeng)
a)
For \( \vec{a} \) og \( \vec{b} \) er \( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 2\sqrt{3} \), og vinkelen mellom
\( \vec{a} \) og \( \vec{b} \) er \( 30° \). Det er gitt at \( \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} \).
Regn ut den eksakte lengden av \( \vec{p} \).
Vi bruker formelen for lengden av en sum av vektorer:
\[ |\vec{p}|^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \]
Først beregner vi skalarproduktet:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 30° = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 3 = 12 \]
Nå setter vi inn:
\[ |\vec{p}|^2 = 4^2 + 2 \cdot 12 + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 24 + 12 = 52 \]
\[ |\vec{p}| = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \]
\[ |\vec{p}| = 2\sqrt{13} \]
b)
Det er gitt at \( \vec{q} = t \cdot \vec{a} + \vec{b} \), der \( t \in \mathbb{R} \).
Bestem \( t \) slik at \( \vec{p} \) og \( \vec{q} \) blir ortogonale.
For at \( \vec{p} \perp \vec{q} \) må \( \vec{p} \cdot \vec{q} = 0 \).
Vi regner ut:
\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (t\vec{a} + \vec{b}) \]
\[ = t \cdot |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 \]
\[ = t(|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) \]
Setter inn kjente verdier:
\[ = t(16 + 12) + (12 + 12) = 28t + 24 \]
Setter lik 0:
\[ 28t + 24 = 0 \implies t = -\frac{24}{28} = -\frac{6}{7} \]
\[ t = -\frac{6}{7} \]
Oppgave 6 (6 poeng)
a)
Åtte grafer (A–H) er gitt. En er grafen til \( a^x \) (der \( a \) er et positivt helt tall),
tre er grafer til \( x^b - c \) (der \( b \) og \( c \) er positive hele tall), og fire er grafene til
den dobbeltderiverte av disse funksjonene. Sorter grafene i par (funksjon og dobbeltderivert).
Vi identifiserer de fire funksjonstypene og deres dobbeltderiverte:
Type 1: \( f(x) = a^x \)
\[ f'(x) = a^x \ln a, \qquad f''(x) = (\ln a)^2 \cdot a^x \]
Den dobbeltderiverte har samme form som funksjonen selv (eksponentiell), bare skalert med \((\ln a)^2\).
Type 2: \( f(x) = x^2 - c \)
\[ f''(x) = 2 \qquad \text{(konstant)} \]
Type 3: \( f(x) = x^3 - c \)
\[ f''(x) = 6x \qquad \text{(rett linje gjennom origo)} \]
Type 4: \( f(x) = x^4 - c \)
\[ f''(x) = 12x^2 \qquad \text{(parabel med bunnpunkt i origo)} \]
Identifisering av grafene:
Graf G: Bratt voksende kurve, alltid positiv, passerer gjennom \((0, 1)\). Dette er typisk for en eksponentialfunksjon. → \( f(x) = 2^x \)
Graf A: Lignende form som G, men slakere og lavere (skalert ned). Grafen passerer gjennom \((0,\; (\ln 2)^2) \approx (0,\; 0{,}48)\). Siden \( f''(x) = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \approx 0{,}48 \cdot 2^x \), har den samme eksponentielle form som G, men er lavere. → \( f''(x) = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \)
Graf B: S-formet kurve (kubisk), strengt voksende, går fra negative til positive verdier. → \( f(x) = x^3 - c \)
Graf C: Tilnærmet rett linje som passerer gjennom origo, fra negative verdier (venstre) til positive (høyre). → \( f''(x) = 6x \)
Graf F: U-form med tilnærmet flat bunn og bratte sider — typisk for en fjerdegradsfunksjon. → \( f(x) = x^4 - c \)
Graf D: Smal parabel med bunnpunkt i origo, alltid \(\geq 0\). → \( f''(x) = 12x^2 \)
Graf E: Bred U-form (parabel) med bunnpunkt under \( x \)-aksen. → \( f(x) = x^2 - c \)
Graf H: Tilnærmet horisontal linje nær \( y = 2 \). → \( f''(x) = 2 \)
Par 1: G (\( f(x) = 2^x \), funksjon) og A (\( f''(x) = (\ln 2)^2 \cdot 2^x \), dobbeltderivert)
Par 2: B (\( f(x) = x^3 - c \), funksjon) og C (\( f''(x) = 6x \), dobbeltderivert)
Par 3: F (\( f(x) = x^4 - c \), funksjon) og D (\( f''(x) = 12x^2 \), dobbeltderivert)
Par 4: E (\( f(x) = x^2 - c \), funksjon) og H (\( f''(x) = 2 \), dobbeltderivert)
Par 2: B (\( f(x) = x^3 - c \), funksjon) og C (\( f''(x) = 6x \), dobbeltderivert)
Par 3: F (\( f(x) = x^4 - c \), funksjon) og D (\( f''(x) = 12x^2 \), dobbeltderivert)
Par 4: E (\( f(x) = x^2 - c \), funksjon) og H (\( f''(x) = 2 \), dobbeltderivert)
b)
Hvilke av de åtte grafene er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon (invers)?
En funksjon har en omvendt funksjon (invers) hvis og bare hvis den er strengt monoton (enten strengt voksende eller strengt avtagende på hele definisjonsmengden).
Vi vurderer alle åtte:
- A (\( (\ln 2)^2 \cdot 2^x \)): Strengt voksende for alle \( x \). → Har invers
- B (\( x^3 - c \)): Strengt voksende for alle \( x \). → Har invers
- C (\( 6x \)): Strengt voksende for alle \( x \). → Har invers
- D (\( 12x^2 \)): Ikke monoton (avtar for \( x < 0 \), vokser for \( x > 0 \)). → Har ikke invers
- E (\( x^2 - c \)): Ikke monoton (avtar for \( x < 0 \), vokser for \( x > 0 \)). → Har ikke invers
- F (\( x^4 - c \)): Ikke monoton (avtar for \( x < 0 \), vokser for \( x > 0 \)). → Har ikke invers
- G (\( 2^x \)): Strengt voksende for alle \( x \). → Har invers
- H (\( 2 \), konstant): Ikke injektiv (alle \( x \) gir samme verdi). → Har ikke invers
Grafene A, B, C og G er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon,
fordi disse funksjonene er strengt monotone.