Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Vår 2025

Eksamen MAT1151

Oppgave 1 (1 poeng)

Når 88 % deltar, betyr det at 12 % ikke deltar (siden \(100\,\% - 88\,\% = 12\,\%\)).

Vi vet at 12 % av elevene utgjør 3 elever. Vi setter opp likningen:

Vi løser for \(x\):

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Median og gjennomsnitt

Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge:

Medianen: Vi har 10 observasjoner (partall). Medianen er gjennomsnittet av de to midterste verdiene (den 5. og den 6.):

Gjennomsnittet:

b) Kumulativ frekvens for 6 personer

Den kumulative frekvensen for 6 personer er antall observasjoner som er lik 6 eller mindre.

Vi teller fra den sorterte listen: \(2, 2, 3, 4, 4, 6, 6\). Det er 7 vogner med 6 eller færre personer.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er altså 7 (av 10 vogner).

Praktisk tolkning: 7 av de 10 vognene som kjørte forbi hadde 6 eller færre personer i seg.

Oppgave 3 (2 poeng)

a) Pris per elev ved 20 elever

Vi ser at grafen viser en omvendt proporsjonal sammenheng. Vi kan lese av at:

• \(2 \cdot 4000 = 8000\)
• \(4 \cdot 2000 = 8000\)
• \(10 \cdot 800 = 8000\)
• \(16 \cdot 500 = 8000\)

Produktet av antall elever og pris per elev er konstant og lik 8000. Det betyr at totalkostnaden for lokalet er 8000 kroner.

Med 20 elever:

b) Funksjonsuttrykket

Sammenhengen er omvendt proporsjonal. Totalkostnaden er 8000 kroner, som deles likt på \(x\) elever:

Oppgave 4 (1 poeng)

Begge partiene har økt med 4 prosentpoeng. Vi beregner den prosentvise framgangen for hvert parti:

Høyre: Fra 24 % til 28 %.

Fremskrittspartiet: Fra 16 % til 20 %.

Fremskrittspartiet hadde lavere utgangspunkt, så den samme økningen i prosentpoeng gir en større prosentvis økning.

Oppgave 5 (1 poeng)

Vi ønsker å gjøre \(a \cdot 10^b - c \cdot 10^d\) størst mulig, der \(a\), \(b\), \(c\) og \(d\) er fire forskjellige tall fra 1 til 9.

For å maksimere uttrykket vil vi ha:

• Det første leddet \(a \cdot 10^b\) så stort som mulig, altså stor eksponent \(b\) og stor base \(a\).
• Det andre leddet \(c \cdot 10^d\) så lite som mulig, altså liten eksponent \(d\) og liten base \(c\).

Vi velger \(b = 9\) (størst mulig eksponent) og \(a = 8\) (nest størst), slik at det første leddet blir:

For det andre leddet velger vi \(c = 1\) (minst) og \(d = 2\) (nest minst blant de gjenværende tallene):

Da blir svaret:

Oppgave 6 (3 poeng)

Vi undersøker mønsteret:

Vi ser at:

• Antall rader = \(n + 1\)
• Antall kolonner = \(2n + 1\)
• Totalt antall ruter = \((n+1)(2n+1)\)
• Antall hvite = \(n\)
• Antall grønne = \((n+1)(2n+1) - n\)

a) Antall grønne kvadrater i figur 5

For \(n = 5\):

b) Formel for antall hvite kvadrater

Fra tabellen ser vi at antall hvite kvadrater i figur \(n\) er:

c) Formel for antall grønne kvadrater

Antall grønne kvadrater er totalt antall ruter minus antall hvite:

Vi regner ut:

Kontroll:

• \(n = 1\): \(2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 = 5\) ✓
• \(n = 2\): \(2 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 1 = 13\) ✓
• \(n = 3\): \(2 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 1 = 25\) ✓

Oppgave 7 (4 poeng)

Antakelse: Trine har antatt at alle medlemmene i hvert aldersintervall har en alder lik midtpunktet av intervallet. Dette er en vanlig antakelse når vi regner med grupperte data.

Vi beregner midtpunktene for hvert intervall:

Gjennomsnitt:

Gjennomsnittsalderen er ca. 38 år. Dette stemmer med Trines påstand.

Median:

Vi har 100 observasjoner, så medianen ligger mellom observasjon nr. 50 og nr. 51.

Kumulativ frekvens:

• Etter [16, 20): 20 medlemmer
• Etter [20, 40): 20 + 40 = 60 medlemmer

Observasjon nr. 50 og nr. 51 ligger begge i intervallet [20, 40). Vi bruker lineær interpolasjon:

Det er 40 medlemmer i intervallet [20, 40), og vi trenger observasjon nr. 50 (30. observasjon i dette intervallet).

Medianalderen er ca. 35 år. Dette stemmer med Trines påstand.

Oppgave 8 (2 poeng)

matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Hva Sofie ønsker å finne ut:

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det vil ta før familien har halvert matsvinnet sitt, dersom de reduserer matsvinnet med 13 % hvert år (vekstfaktor 0,87).

Programmet fungerer slik:

• matsvinn = 160: Startverdien er 160 kg matsvinn per år.
• mål = matsvinn / 2 = 80: Målet er å halvere matsvinnet til 80 kg.
• vf = 0.87: Hvert år multipliseres matsvinnet med 0,87 (13 % reduksjon per år).
• år = 2025: Startåret er 2025.
• Løkken kjører så lenge matsvinnet er større enn målet, og teller opp år for hvert steg.

Hva verdiene forteller:

Programmet skriver ut 2030 og 79.75 (ca.). Det betyr at:

• I år 2030 (altså etter 5 år) vil matsvinnet for første gang være under 80 kg.
• Matsvinnet vil da være ca. 79,7 kg, som er rett under halvparten av 160 kg.

Oppgave 1 (7 poeng)

a) Hva modellen forteller

Modellen \(U(x) = 5000 \cdot 0{,}95^x + 1000\) består av to ledd:

• \(5000 \cdot 0{,}95^x\): Dette leddet representerer utslippet fra den ene prosessen. Vekstfaktoren 0,95 betyr at utslippet fra denne prosessen reduseres med 5 % hvert år. Startverdien er 5000 tonn.
• \(1000\): Dette leddet er konstant og representerer utslippet fra den andre prosessen, som ikke endres over tid.

b) Tid for å halvere utslippet

Det totale utslippet i dag (ved \(x = 0\)):

Vi vil finne når utslippet er halvert, dvs. når \(U(x) = 3000\):

Vi bruker logaritmer:

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer modellen: U(x) := 5000 · 0.95^x + 1000
• Finn når utslippet er 3000 tonn: NLøs(U(x) = 3000, x) → gir \(x \approx 17{,}9\), altså etter ca. 18 år
• Finn utslippet etter 10 år: U(10) → gir \(\approx 3994\) tonn

c) Prosentvis reduksjon etter 10 år

Utslippet etter 10 år:

Prosentvis reduksjon fra startverdi:

d) Stigningstall og praktisk tolkning

Vi beregner \(U(0)\) og \(U(30)\):

Stigningstallet til linjen gjennom \((0, 6000)\) og \((30, 2073{,}0)\):

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt reduseres det årlige utslippet med ca. 131 tonn per år i løpet av de 30 første årene.

e) Kan kravet om 800 tonn per år oppfylles?

Vi undersøker hva som skjer med \(U(x)\) når \(x\) blir veldig stor:

Når \(x\) vokser, nærmer \(0{,}95^x\) seg 0, slik at \(U(x)\) nærmer seg 1000.

Utslippet fra den ene prosessen kan aldri helt forsvinne (det nærmer seg bare 0), og utslippet fra den andre prosessen er konstant 1000 tonn per år.

Ifølge modellen vil det totale utslippet aldri komme under 1000 tonn per år.

Kravet er at utslippet skal ned til 800 tonn per år. Siden modellen gir et minimumsnivå på 1000 tonn, er dette ikke mulig ifølge modellen.

Oppgave 2 (2 poeng)

Vi må først sørge for at enhetene stemmer overens.

Høyden til Burj Khalifa i millimeter:

Antall kronestykker:

Vi skriver dette på standardform:

Oppgave 3 (3 poeng)

a) Påstand 1 – Medianen endres alltid

Vi sorterer aldrene i stigende rekkefølge:

Med 10 personer er medianen gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:

Dersom en ny person (person nr. 11) kommer inn, vil medianen bli den 6. verdien i den sorterte listen (midterste av 11).

Eksempel der medianen endres: Hvis en person på 50 år kommer inn, blir listen: \(5, 5, 12, 14, 28, 30, 40, 42, 50, 67, 70\). Medianen er den 6. verdien = 30 (som er forskjellig fra 29).

Eksempel der medianen ikke endres: Hvis en person på 29 år kommer inn, blir listen: \(5, 5, 12, 14, 28, 29, 30, 40, 42, 67, 70\). Medianen er den 6. verdien = 29 (samme som den opprinnelige medianen).

b) Påstand 2 – Gjennomsnittet kan bli 30 år

Vi beregner summen av aldrene til de 10 personene:

Dersom gjennomsnittsalderen til 11 personer skal bli 30 år, må summen være:

Den nye personen må altså ha alder:

17 år er en helt realistisk alder.

Oppgave 4 (2 poeng)

Først finner vi literpris (pris per ml) ut fra 600 ml-flasken:

Den store kannen (4 liter = 4000 ml):

Den lille sprayflasken (100 ml):

Oppgave 5 (3 poeng)

a) Modell for lengden av skjerfet

Skjerfet er 8 meter langt i dag og skal være 40 meter etter 25 uker. Lengden øker lineært (like mange centimeter per uke).

Total økning over 25 uker:

Økning per uke:

Modellen for lengden \(L(x)\) i meter etter \(x\) uker:

Kontroll: \(L(25) = 8 + 1{,}28 \cdot 25 = 8 + 32 = 40\) meter ✓

b) Antall uker til skjerfet er 17 meter

Vi setter \(L(x) = 17\) og løser:

Siden vi måler i hele uker, vil skjerfet være 17 meter langt etter omtrent 7 uker (etter 7,03 uker nøyaktig).

Oppgave 6 (5 poeng)

a) Vis at modellen er god

Bestanden halveres hvert 5. år. Det betyr at etter 5 år skal bestanden være:

Vi beregner \(F(5)\) med den oppgitte modellen:

Dette er svært nær 6000 fugler.

Alternativ tilnærming: Vi kan også vise at vekstfaktoren 0,87 gir en halvering etter ca. 5 år. Hvis bestanden halveres over 5 år, er den årlige vekstfaktoren:

Dette er svært nær 0,87, som bekrefter at modellen er god.

b) Bestanden etter 7 år

c) Antall år til 35 % reduksjon

En reduksjon på 35 % betyr at 65 % av bestanden gjenstår:

Vi løser likningen:

Vi bruker logaritmer:

Oppgave 7 (4 poeng)

Her presenterer vi relevante beregninger og analyser av datamaterialet.

Prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Antall fødte:

Antall døde:

Fødselsrate:

Fødselsraten har sunket med ca. 22,3 %.

Dødsrate:

Dødsraten har sunket med ca. 22,5 %.

Samlet fruktbarhetstall:

Samlet fruktbarhetstall har sunket med ca. 15,7 %.

Sammendrag av prosentvise endringer

Naturlig folketilvekst (fødte minus døde)

Viktige observasjoner

• Fødselsrate og dødsrate har begge sunket med ca. 22-23 %. Selv om antall fødte og døde i absolutte tall er omtrent likt, har ratene sunket fordi befolkningen har vokst i perioden.
• Fruktbarhetstallet har sunket fra 1,66 til 1,40. Begge verdier er godt under reproduksjonsnivået på 2,1 barn per kvinne.
• Naturlig folketilvekst økte fra 1983 til 2013, men falt kraftig mot 2023. Tilveksten i 2023 (8 177) er nær nivået i 1983 (7 713).
• Toppåret for fødsler var 1993 med 59 678 fødte. Siden da har antall fødte falt til 51 980 i 2023.
• Den lave fødselsraten og det lave fruktbarhetstallet i 2023 kan tyde på utfordringer med å opprettholde befolkningsvekst uten innvandring.