Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Vår 2023

Eksamen MAT1151

Oppgave 1

a)

Vi beregner den prosentvise endringen:

b)

Når prisen stiger med et fast beløp (2 kr) hvert år, blir den prosentvise økningen stadig mindre fordi grunnlaget (prisen) øker.

La oss se på de neste årene:

• Fra 2022 til 2023: Prisen går fra 40 til 42 kr. Økning: \(\frac{2}{40} \cdot 100\,\% = 5{,}0\,\%\)
• Fra 2023 til 2024: Prisen går fra 42 til 44 kr. Økning: \(\frac{2}{42} \cdot 100\,\% \approx 4{,}76\,\%\)
• Fra 2024 til 2025: Prisen går fra 44 til 46 kr. Økning: \(\frac{2}{44} \cdot 100\,\% \approx 4{,}55\,\%\)

Vi ser at den prosentvise økningen blir mindre og mindre for hvert år, fordi vi deler det faste beløpet 2 kr på en stadig høyere pris.

Oppgave 2

Solveig har 6 kg deig som skal fordeles likt mellom alle personene (inkludert henne selv). Hvis det totalt er \(x\) personer som skal bake, får hver person:

Vi setter opp en tabell med mulige verdier:

Vi kan tegne et stolpediagram eller plotte punktene i et koordinatsystem:

• Langs \(x\)-aksen: antall personer
• Langs \(y\)-aksen: kg deig per person

Punktene som plottes er: \((1,\; 6)\), \((2,\; 3)\), \((3,\; 2)\), \((4,\; 1{,}5)\), \((5,\; 1{,}2)\), \((6,\; 1)\).

Grafen viser en omvendt proporsjonal sammenheng: jo flere personer, desto mindre deig til hver.

Oppgave 3

a)

Svar til Truls:

Den relative frekvensen for to søsken er 0,4. Det betyr at 40 % av elevene i klassen har to søsken. Med andre ord har 4 av 10 elever (eller tilsvarende andel) to søsken.

Svar til Thea:

Den kumulative frekvensen for to søsken er 16. Det betyr at 16 elever har to søsken eller færre (altså 0, 1 eller 2 søsken). Den kumulative frekvensen er summen av alle frekvensene opp til og med to søsken.

b)

Vi vet at:

• Den relative frekvensen for to søsken er 0,4.
• Den kumulative frekvensen for to søsken er 16.
• Alle elevene har søsken (ingen har 0 søsken).
• To elever har nøyaktig 1 søsken (én bror, ingen søstre).
• To elever har nøyaktig 1 søsken (én søster, ingen brødre).

Altså er det totalt \(2 + 2 = 4\) elever som har nøyaktig 1 søsken.

Den kumulative frekvensen for to søsken er summen av elever med 0, 1 og 2 søsken. Siden ingen har 0 søsken, får vi:

Den relative frekvensen for to søsken er 0,4. La \(N\) være totalt antall elever i klassen:

Oppgave 4

a)

Ved å telle sirklene i figurene fra eksamen ser vi at de danner et kryss-/T-mønster:

• Figur 1: 5 sirkler
• Figur 2: 9 sirkler
• Figur 3: 13 sirkler

Mønsteret viser at antall sirkler øker med 4 for hver nye figur:

Sjekk: \(a_1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5\), \(a_2 = 4 \cdot 2 + 1 = 9\), \(a_3 = 4 \cdot 3 + 1 = 13\). Stemmer!

b)

Fra tabellen ser vi at antall sirkler øker med 4 for hver figur. Dette er en lineær sammenheng. Med \(a_1 = 5\) og differanse \(d = 4\):

Oppgave 1

Vi regner ut totalt risforbruk per år:

Over 10 år:

Oppgave 2

Vi har 12 svar, men ett er uleselig. De 11 lesbare verdiene er:

Summen av de 11 lesbare verdiene:

Dersom gjennomsnittet skal være mer enn 4 med 12 svar, må totalsummen være:

Den ukjente verdien \(x\) må altså oppfylle:

Altså må den uleselige verdien være større enn 2 (dvs. minst 3) for at gjennomsnittet skal være mer enn 4.

Dersom \(x = 3\), blir gjennomsnittet: \(\frac{46 + 3}{12} = \frac{49}{12} \approx 4{,}08\)

Dersom \(x = 0\), blir gjennomsnittet: \(\frac{46 + 0}{12} = \frac{46}{12} \approx 3{,}83\)

Siden typiske verdier i datasettet er mellom 0 og 7, og de fleste verdier er 4 eller 5, er det rimelig at den manglende verdien er minst 3. Det er derfor sannsynlig at Tore har rett i sin antakelse, men det kan ikke fastslås med sikkerhet.

Oppgave 3

La oss kalle prisen i mai for \(P\) for begge varene.

Vare A: Prisen øker med 7 % per måned, dvs. den multipliseres med 1,07 hver måned.

Prisen for vare A om tre måneder (i august):

Vare B: Prisen går ned med 7 % per måned, dvs. den multipliseres med 0,93 hver måned.

Prisen for vare B for tre måneder siden (i februar):

Siden \(B_{\text{mai}} = P\), får vi:

Sammenligning:

Disse er ikke like. Vare A om tre måneder koster ca. \(1{,}225P\), mens vare B for tre måneder siden kostet ca. \(1{,}243P\).

Oppgave 4

Totalt antall syklister og syklister med hjelm:

Andel syklister med hjelm totalt:

Andel syklister med hjelm per dag:

Gjennomsnittlig antall syklister per dag:

Gjennomsnittlig antall med hjelm per dag:

Dobbelt stolpediagram:

Sektordiagram:

Oppgave 5

a)

Forutsetning: Vi antar at alle verdiene i hvert intervall er jevnt fordelt, og bruker midtpunktet i hvert intervall som representant.

Totalt antall ansatte:

Beregning av gjennomsnitt:

Beregning av median:

Medianen er verdien til observasjon nummer \(\frac{146}{2} = 73\) og \(\frac{146}{2} + 1 = 74\) (gjennomsnittet av disse).

Vi finner kumulativ frekvens:

Observasjon 73 og 74 befinner seg begge i intervallet [450 – 500), siden den kumulative frekvensen går fra 50 til 90 i dette intervallet.

Vi bruker lineær interpolasjon for å finne medianen:

b)

Gjennomsnittet (ca. 575 000 kr) er betydelig høyere enn medianen (ca. 479 000 kr). Forskjellen skyldes at det er 15 ansatte med svært høy lønn (mellom 1 og 2 millioner kroner), noe som trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Gjennomsnittet gir et misvisende bilde av hva en «typisk» ansatt tjener, fordi de fleste ansatte tjener vesentlig mindre enn gjennomsnittet.

Medianen er et bedre sentralmål her fordi:

• Den er ikke påvirket av ekstremverdier (de svært høye lønningene).
• Den viser at halvparten av de ansatte tjener under ca. 479 000 kr og halvparten tjener over.
• Den gir et mer representativt bilde av lønnsnivået for en «typisk» ansatt.

Oppgave 6

a)

Modellen \(P(x) = 1600 \cdot 1{,}045^x\) er en eksponentialfunksjon med:

• \(P(0) = 1600 \cdot 1{,}045^0 = 1600\): I august (måned 0) planlegger elevene å samle inn 1600 kr.
• Vekstfaktoren er 1,045, som betyr at beløpet de planlegger å samle inn øker med 4,5 % for hver måned.
• Modellen gjelder for \(x = 0\) til \(x = 9\), dvs. fra august 2022 til mai 2023 (10 måneder).

Planen innebærer altså at elevene starter med å samle inn 1600 kr i august, og at beløpet de samler inn øker med 4,5 % for hver måned. De planlegger å øke innsatsen gradvis over tid.

b)

Mai 2023 tilsvarer \(x = 9\) (august = 0, september = 1, ..., mai = 9).

💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:

• Definer modellen: P(x) := 1600 · 1.045^x
• Finn beløpet i mai (\(x = 9\)): Numerisk(P(9)) → gir \(\approx 2378\) kr
• Finn totalbeløpet over 10 måneder: Numerisk(Sum(P(x), x, 0, 9)) → gir \(\approx 19\,661\) kr (under målet på 25 000 kr)

c)

def P(x):
    return 1600 * 1.045 ** x

sum_pant = 0
x = 0

while x <= 9:
    sum_pant = sum_pant + P(x)
    x = x + 1

print(sum_pant)
        

Hva programmet gjør: Det beregner summen av \(P(x)\) for \(x = 0, 1, 2, \ldots, 9\), altså det totale beløpet elevene planlegger å samle inn over alle 10 månedene.

Vi regner ut:

Dette er en geometrisk rekke med \(a = 1\), \(k = 1{,}045\) og 10 ledd:

Programmet gir ca. 19 661 kr, som er mindre enn målet på 25 000 kr. Elevene vil altså ikke nå målet.

Forslag til justeringer:

For å nå 25 000 kr kan elevene enten:

Alternativ 1: Øke startbeløpet. Vi løser:

Elevene må starte med ca. 2035 kr i stedet for 1600 kr.

Alternativ 2: Øke vekstfaktoren. Elevene kan øke den månedlige prosentvise økningen. Med startbeløp 1600 kr trenger de en vekstfaktor \(k\) slik at:

Ved utprøving finner vi at \(k \approx 1{,}10\) (10 % økning per måned) gir:

Oppgave 7

a)

Vi skal finne en potensmodell \(P(x) = a \cdot x^b\) som passer til datamaterialet.

Vi bruker regresjon (eller to datapunkter) for å finne \(a\) og \(b\). La oss bruke to punkter fra tabellen, f.eks. \((1,\; 2060)\) og \((20,\; 14\,000)\):

Fra \(P(1) = a \cdot 1^b = a = 2060\), får vi \(a = 2060\).

Fra \(P(20) = 2060 \cdot 20^b = 14\,000\):

Modellen blir:

Kontroll med noen verdier:

• \(P(5) = 2060 \cdot 5^{0{,}64} = 2060 \cdot 3{,}032 \approx 6246\) (tabell: 5770)
• \(P(10) = 2060 \cdot 10^{0{,}64} = 2060 \cdot 4{,}365 \approx 8992\) (tabell: 8992 — stemmer godt!)
• \(P(15) = 2060 \cdot 15^{0{,}64} = 2060 \cdot 5{,}475 \approx 11\,279\) (tabell: 11 656)

Merk: Med regresjonsverktøy (CAS/GeoGebra) kan man få en mer nøyaktig modell, f.eks. \(P(x) \approx 2060 \cdot x^{0{,}64}\) eller noe lignende avhengig av verktøyet.

b)

Vi har:

• \(P(1) = 2060\)
• \(P(20) = 14\,000\)

Stigningstallet til linjen gjennom disse to punktene:

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antall registrerte porsjoner med ca. 628 porsjoner per uke i perioden fra uke 1 til uke 20.

c)

Vi har \(P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}\).

Vi deriverer:

Vi setter inn \(x = 6\):

Vi beregner \(6^{0{,}36}\):

Praktisk tolkning: I uke 6 økte antall registrerte porsjoner med ca. 692 porsjoner per uke. Dette er den momentane vekstraten — altså hastigheten på økningen akkurat i uke 6.