VG2
Løsningsforslag Matematikk 2P-YHøst 2023
Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Høst 2023
Eksamen MAT1005 – 28.11.2023
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Selma er på ferie og vil bruke buss. Hun vurderer enkeltbillett til 25 kr per reise eller fleksikort med 20 reiser til 415 kr.
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
b) Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene. Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
a) Hvor mange reiser må hun ta med bussen for at det skal lønne seg å kjøpe et fleksikort med 20 reiser?
b) Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene. Hvor mange prosent sparer hun sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter?
a) Hvor mange reiser for at fleksikortet lønner seg?
Prisen per reise med enkeltbillett er 25 kroner. Med fleksikort koster 20 reiser 415 kroner.
For at fleksikortet skal lønne seg, må kostnaden med enkeltbilletter være minst like høy som fleksikortet. Vi setter opp ulikheten:
\[25 \cdot x \geq 415\]
Vi løser for \(x\):
\[x \geq \frac{415}{25} = 16{,}6\]
Siden antall reiser må være et helt tall, må hun ta minst 17 reiser.
Svar: Selma må ta minst 17 reiser for at det skal lønne seg å kjøpe fleksikortet.
Vanlig feil: Når du får et desimaltall (16,6 reiser) som svar på en oppgave der svaret må være et helt tall, må du vurdere om du skal runde opp eller ned. Siden du trenger mer enn 16,6 reiser for å spare, må du runde opp til 17.
b) Hvor mange prosent sparer hun?
Prisen for 20 enkeltbilletter:
\[20 \cdot 25 = 500 \text{ kr}\]
Med fleksikort betaler hun 415 kr. Besparelsen er:
\[500 - 415 = 85 \text{ kr}\]
Vi regner ut hvor mange prosent dette utgjør av prisen med enkeltbilletter:
\[\frac{85}{500} \cdot 100\,\% = 17\,\%\]
Svar: Selma sparer 17 % ved å kjøpe fleksikort sammenliknet med å kjøpe 20 enkeltbilletter.
Oppgave 2
Oppgave: Sola har en masse på ca. \(2{,}0 \cdot 10^{30}\) kg. Jorda har en masse på ca. \(6{,}0 \cdot 10^{24}\) kg. Massen til sola er omtrent ... ganger større enn massen til jorda. Gjør beregninger og finn ut hvilket tall som mangler. Skriv tallet på standardform.
Vi deler massen til sola på massen til jorda:
\[\frac{2{,}0 \cdot 10^{30}}{6{,}0 \cdot 10^{24}}\]
Vi deler tallene og bruker potensregler for eksponentene:
\[\frac{2{,}0}{6{,}0} \cdot 10^{30-24} = \frac{2{,}0}{6{,}0} \cdot 10^{6}\]
\[\approx 0{,}333 \cdot 10^{6}\]
Vi skriver dette på standardform (tallet foran skal være mellom 1 og 10):
\[0{,}333 \cdot 10^{6} = 3{,}33 \cdot 10^{5}\]
Vi runder av til to gjeldende siffer (samme nøyaktighet som oppgitte data):
\[\approx 3{,}3 \cdot 10^{5}\]
Svar: Massen til sola er omtrent \(3{,}3 \cdot 10^{5}\) ganger større enn massen til jorda (altså ca. 330 000 ganger).
Oppgave 3
Oppgave: Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km. Du skal sette opp to mulige alternativer som viser hvor mange kilometer han kan ha jogget hver av de ti dagene.
Krav:
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
Krav:
- I det første alternativet skal du bruke 8 km minst én dag.
- I det andre alternativet skal du ikke bruke 8 km noen av dagene, og minst halvparten av tallene du bruker, skal være tall du ikke brukte i det første alternativet.
Vi må finne 10 tall som oppfyller:
- Typetall = 5 (5 må forekomme oftest)
- Median = 8 (gjennomsnittet av de to midterste verdiene, altså verdi nr. 5 og nr. 6, må være 8)
- Gjennomsnitt = 9 (summen av alle 10 tall må være \(9 \cdot 10 = 90\))
Alternativ 1 (bruk 8 km minst én dag)
Vi prøver med tallene sortert i stigende rekkefølge. Typetallet 5 må forekomme flest ganger. Medianen er gjennomsnittet av verdi nr. 5 og nr. 6. Vi lar verdi nr. 5 og nr. 6 begge være 8.
Et forslag:
\[3, \; 5, \; 5, \; 5, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 20\]
Kontroll:
- Typetall: 5 (forekommer 3 ganger, som er flest)
- Median: \(\frac{8 + 8}{2} = 8\) ✔
- Sum: \(3 + 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 10 + 12 + 14 + 20 = 90\)
- Gjennomsnitt: \(\frac{90}{10} = 9\) ✔
Alternativ 2 (ikke bruk 8 km, og minst halvparten nye tall)
Medianen skal fortsatt være 8, men vi bruker ikke 8. Da må verdi nr. 5 og nr. 6 ha gjennomsnitt 8, for eksempel 7 og 9.
Vi må bruke minst 5 tall som ikke ble brukt i alternativ 1 (der vi brukte 3, 5, 8, 10, 12, 14, 20). Nye tall kan for eksempel være: 1, 7, 9, 11, 15, 16.
Et forslag:
\[1, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 15, \; 16, \; 16\]
Kontroll:
- Typetall: 5 (forekommer 3 ganger, 16 forekommer 2 ganger — 5 er fortsatt typetallet) ✔
- Median: \(\frac{7 + 9}{2} = 8\) ✔
- Sum: \(1 + 5 + 5 + 5 + 7 + 9 + 11 + 15 + 16 + 16 = 90\)
- Gjennomsnitt: \(\frac{90}{10} = 9\) ✔
- Bruker ikke 8: ✔
- Nye tall (ikke brukt i alternativ 1): 1, 7, 9, 11, 15, 16, 16 — det er 7 av de 10 tallene, altså minst halvparten ✔
Svar:
Alternativ 1: \(3, \; 5, \; 5, \; 5, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 20\)
Alternativ 2: \(1, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 15, \; 16, \; 16\)
Begge datasettene har typetall 5, median 8 og gjennomsnitt 9.
Alternativ 1: \(3, \; 5, \; 5, \; 5, \; 8, \; 8, \; 10, \; 12, \; 14, \; 20\)
Alternativ 2: \(1, \; 5, \; 5, \; 5, \; 7, \; 9, \; 11, \; 15, \; 16, \; 16\)
Begge datasettene har typetall 5, median 8 og gjennomsnitt 9.
Oppgave 4
Oppgave: Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen viser aldersfordelingen til de ansatte.
a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest? Husk å begrunne svaret ditt.
b) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B.
c) Lag et histogram som viser aldersfordelingen i bedrift B.
| Alder | Antall ansatte i bedrift A | Antall ansatte i bedrift B |
|---|---|---|
| \([20, 40\rangle\) | 52 | 40 |
| \([40, 60\rangle\) | 23 | 50 |
| \([60, 70\rangle\) | 25 | 10 |
b) Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B.
c) Lag et histogram som viser aldersfordelingen i bedrift B.
a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest?
Hver bedrift har 100 ansatte. Medianalderen er gjennomsnittet av alderen til ansatt nr. 50 og nr. 51 når de sorteres etter alder. Vi ser på hvilken aldersklasse disse to ansatte havner i.
Bedrift A: 52 ansatte er i klassen \([20, 40\rangle\). Ansatt nr. 50 og nr. 51 ligger derfor begge i denne klassen. Medianalderen i bedrift A er altså mellom 20 og 40 år.
Bedrift B: 40 ansatte er i klassen \([20, 40\rangle\). De neste 50 ansatte (nr. 41 til nr. 90) er i klassen \([40, 60\rangle\). Ansatt nr. 50 og nr. 51 ligger derfor begge i klassen \([40, 60\rangle\). Medianalderen i bedrift B er altså mellom 40 og 60 år.
Svar: Medianalderen er lavest i bedrift A. I bedrift A ligger de to midterste ansatte i klassen \([20, 40\rangle\), mens de i bedrift B ligger i klassen \([40, 60\rangle\).
b) Gjennomsnittsalderen i bedrift B
Vi bruker midtpunktet i hver aldersklasse som representativ alder, og veier med antall ansatte:
- \([20, 40\rangle\): midtpunkt 30 år, 40 ansatte
- \([40, 60\rangle\): midtpunkt 50 år, 50 ansatte
- \([60, 70\rangle\): midtpunkt 65 år, 10 ansatte
\[\bar{x} = \frac{30 \cdot 40 + 50 \cdot 50 + 65 \cdot 10}{100}\]
\[= \frac{1200 + 2500 + 650}{100} = \frac{4350}{100} = 43{,}5\]
Svar: Gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B er ca. 43,5 år.
c) Histogram for aldersfordelingen i bedrift B
Klassene har ulik bredde (20, 20 og 10 år). I et korrekt histogram skal arealet til hver søyle være proporsjonalt med antall ansatte. Derfor bruker vi frekvensdensitet (antall per år) på den loddrette aksen:
- \([20, 40\rangle\): \(\frac{40}{20} = 2{,}0\) ansatte per år
- \([40, 60\rangle\): \(\frac{50}{20} = 2{,}5\) ansatte per år
- \([60, 70\rangle\): \(\frac{10}{10} = 1{,}0\) ansatte per år
Søylenes areal blir da \(20 \cdot 2{,}0 = 40\), \(20 \cdot 2{,}5 = 50\) og \(10 \cdot 1{,}0 = 10\) ansatte — som stemmer med tabellen.
Svar: Histogrammet over viser aldersfordelingen i bedrift B med frekvensdensitet (ansatte per år) på den loddrette aksen, slik at arealet av hver søyle tilsvarer antall ansatte i klassen.
Oppgave 5
Oppgave: En gruppe forskere har observert en bakteriekultur. Fra de startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt slik grafen til funksjonen \(B\) viser (grafen starter i 10 000 ved \(x = 0\) og avtar mot 0).
a) Bestem \(B(x)\).
b) Forklar hvordan vi kan se av uttrykket \(B(x)\) at grafen vil nærme seg \(x\)-aksen når \(x\)-verdien øker.
b) Forklar hvordan vi kan se av uttrykket \(B(x)\) at grafen vil nærme seg \(x\)-aksen når \(x\)-verdien øker.
a) Bestem B(x)
En eksponentiell funksjon kan skrives som:
\[B(x) = b \cdot a^x\]
Vi leser av grafen. Startverdien (skjæring med \(y\)-aksen, \(x = 0\)) er 10 000 bakterier, så \(b = 10\,000\).
Vi leser av et nytt punkt på grafen, for eksempel at antallet er omtrent 6 400 etter 2 timer (\(x = 2\)). Da får vi:
\[10\,000 \cdot a^2 = 6\,400\]
\[a^2 = 0{,}64 \quad \Rightarrow \quad a = 0{,}8\]
Vekstfaktoren er altså \(a = 0{,}8\), som svarer til at antallet bakterier avtar med 20 % per time.
Svar: \(B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^{x}\), der \(x\) er antall timer etter at observasjonene startet.
b) Hvorfor nærmer grafen seg x-aksen?
Vekstfaktoren er \(a = 0{,}8\), som er et tall mellom 0 og 1. Når vi ganger med et tall mindre enn 1 gjentatte ganger, blir produktet stadig mindre:
\[0{,}8^1 = 0{,}8, \quad 0{,}8^2 = 0{,}64, \quad 0{,}8^{10} \approx 0{,}107, \quad 0{,}8^{20} \approx 0{,}012\]
Når \(x\) øker, blir \(0{,}8^x\) derfor stadig nærmere 0, men aldri helt lik 0. Dermed nærmer \(B(x) = 10\,000 \cdot 0{,}8^x\) seg 0, og grafen nærmer seg \(x\)-aksen uten å krysse den.
Svar: Fordi vekstfaktoren \(0{,}8\) er mindre enn 1, blir \(0{,}8^x\) mindre og mindre når \(x\) øker. \(B(x)\) går derfor mot 0, og grafen nærmer seg \(x\)-aksen.
Oppgave 6
Oppgave: Du ser tre figurer som er satt sammen av små sirkler. Figurene følger et mønster.
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 10?
b) Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur \(n\).
a) Hvor mange små sirkler vil det være i figur 4 og i figur 10?
b) Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur \(n\).
Vi teller sirklene i hver figur:
| Figur \(n\) | Antall sirkler |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 8 |
| 3 | 15 |
a) Antall sirkler i figur 4 og figur 10
Vi ser på strukturen. Figur \(n\) består av en øverste rad med \(n\) sirkler, og under den \(n\) rader med \((n+1)\) sirkler hver:
- Figur 1: øverst 1 sirkel, og 1 rad med 2 sirkler → \(1 + 2 = 3\)
- Figur 2: øverst 2 sirkler, og 2 rader med 3 sirkler → \(2 + 2 \cdot 3 = 8\)
- Figur 3: øverst 3 sirkler, og 3 rader med 4 sirkler → \(3 + 3 \cdot 4 = 15\)
Antall sirkler i figur \(n\) blir derfor:
\[S(n) = n + n \cdot (n+1) = n + n^2 + n = n^2 + 2n\]
Vi setter inn \(n = 4\) og \(n = 10\):
\[S(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 = 16 + 8 = 24\]
\[S(10) = 10^2 + 2 \cdot 10 = 100 + 20 = 120\]
Svar: Figur 4 har 24 små sirkler, og figur 10 har 120 små sirkler.
b) Mønster og uttrykk for figur n
Mønster: Figur \(n\) har øverst en rad med \(n\) sirkler. Under denne er det \(n\) rader, og hver av disse har \((n+1)\) sirkler. Til sammen \((n+1)\) rader.
Kontroll av uttrykket:
- \(S(1) = 1 + 2 = 3\) ✔
- \(S(2) = 4 + 4 = 8\) ✔
- \(S(3) = 9 + 6 = 15\) ✔
Uttrykket kan også skrives faktorisert:
\[S(n) = n^2 + 2n = n(n + 2)\]
Svar: Antall små sirkler i figur \(n\) er \(S(n) = n^2 + 2n = n(n+2)\).
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1
Oppgave: Funksjonen \(T\) er gitt ved
\[T(x) = -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028x^3 - x^2 + 25x - 3800\right), \quad 0 \leq x \leq 300\]
og er en modell for temperaturen \(T(x)\) grader celsius i sjøen et sted på Sørlandet \(x\) døgn etter 31. desember 2020.
a) Tegn grafen til \(T\).
b) Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.
c) Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?
d) Bestem \(T(100)\) og den momentane vekstfarten til \(T\) når \(x = 100\). Gi en praktisk tolkning av hvert av de to svarene.
a) Tegn grafen til \(T\).
b) Bruk modellen til å bestemme forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021.
c) Hvor mange grader steg temperaturen i sjøen i gjennomsnitt med hvert døgn i mars ifølge modellen?
d) Bestem \(T(100)\) og den momentane vekstfarten til \(T\) når \(x = 100\). Gi en praktisk tolkning av hvert av de to svarene.
a) Grafen til T
Vi tegner grafen til \(T\) på intervallet \([0, 300]\) ved hjelp av digitale hjelpemidler (for eksempel GeoGebra eller graftegner).
Vi forenkler først uttrykket (nyttig for beregningene under):
\[T(x) = -0{,}0000028x^3 + 0{,}001x^2 - 0{,}025x + 3{,}8\]
b) Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur
Vi finner ekstremalpunktene og sjekker endepunktene på intervallet \([0, 300]\). Vi beregner først verdiene i endepunktene:
\[T(0) = -\frac{1}{1000}(0 - 0 + 0 - 3800) = 3{,}8 \text{ °C}\]
\[T(300) = -\frac{1}{1000}(75\,600 - 90\,000 + 7\,500 - 3\,800) = -\frac{-10\,700}{1000} = 10{,}7 \text{ °C}\]
Vi tegner grafen i GeoGebra og finner ekstremalpunktene med Ekstremalpunkt(T, 0, 300):
\[(13{,}2\,;\ 3{,}6) \quad \text{og} \quad (224{,}9\,;\ 16{,}9)\]
Bunnpunktet \((13{,}2\,;\ 3{,}6)\) er et lokalt minimum, og toppunktet \((224{,}9\,;\ 16{,}9)\) er et lokalt maksimum.
Vi sammenligner alle verdiene: \(T(0) = 3{,}8\), \(T(13{,}2) \approx 3{,}6\), \(T(224{,}9) \approx 16{,}9\), \(T(300) = 10{,}7\). Laveste temperatur er ca. 3,6 °C og høyeste er ca. 16,9 °C.
\[16{,}9 - 3{,}6 = 13{,}3 \text{ °C}\]
Svar: Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur i sjøen de 300 første dagene i 2021 er ca. 13,3 °C.
c) Gjennomsnittlig temperaturstigning per døgn i mars
Januar har 31 dager og februar har 28 dager (2021 er ikke skuddår). Dermed er 1. mars = døgn 60 og 31. mars = døgn 90.
Gjennomsnittlig stigning per døgn i mars er gjennomsnittlig vekstfart:
\[\frac{T(90) - T(60)}{90 - 60}\]
Vi beregner \(T(60)\):
\[T(60) = -\frac{1}{1000}\left(604{,}8 - 3\,600 + 1\,500 - 3\,800\right) = -\frac{-5\,295{,}2}{1000} = 5{,}30 \text{ °C}\]
Vi beregner \(T(90)\):
\[T(90) = -\frac{1}{1000}\left(2\,041{,}2 - 8\,100 + 2\,250 - 3\,800\right) = -\frac{-7\,608{,}8}{1000} = 7{,}61 \text{ °C}\]
Gjennomsnittlig stigning per døgn:
\[\frac{T(90) - T(60)}{90 - 60} = \frac{7{,}61 - 5{,}30}{30} = \frac{2{,}31}{30} \approx 0{,}077 \text{ °C per døgn}\]
Svar: Temperaturen i sjøen steg i gjennomsnitt med ca. 0,077 °C per døgn i mars ifølge modellen.
d) T(100) og momentan vekstfart når x = 100
Vi beregner \(T(100)\):
\[T(100) = -\frac{1}{1000}\left(0{,}0028 \cdot 100^3 - 100^2 + 25 \cdot 100 - 3800\right)\]
\[= -\frac{1}{1000}\left(2\,800 - 10\,000 + 2\,500 - 3\,800\right) = -\frac{-8\,500}{1000} = 8{,}5 \text{ °C}\]
Den momentane vekstfarten er stigningstallet til tangenten i punktet \((100, T(100))\). I GeoGebra gir Tangent(100, T):
\[y = 0{,}091x - 0{,}6\]
Stigningstallet er 0,091, så den momentane vekstfarten er 0,091 °C per døgn.
Svar: \(T(100) = 8{,}5\) °C betyr at temperaturen i sjøen er 8,5 °C 100 døgn etter 31. desember 2020 (altså rundt 10. april 2021).
Den momentane vekstfarten \(0{,}091\) °C per døgn betyr at temperaturen på dette tidspunktet stiger med ca. 0,091 °C per døgn — det vil si at sjøen blir varmere på dette tidspunktet.
Den momentane vekstfarten \(0{,}091\) °C per døgn betyr at temperaturen på dette tidspunktet stiger med ca. 0,091 °C per døgn — det vil si at sjøen blir varmere på dette tidspunktet.
Oppgave 2
Oppgave: Petter har en eiendom. Eiendommen har i dag en verdi på 12 000 000 kroner. Verdien av eiendommen har økt med 4,5 % hvert år de siste fem årene.
a) Hvor mye var eiendommen verdt for fem år siden?
Petter antar at verdien av eiendommen vil fortsette å øke med en fast prosent hvert år, og at den vil dobles i løpet av de neste 10 årene.
b) Hvor mange prosent må verdien øke med hvert år dersom det skal gå slik Petter antar?
a) Hvor mye var eiendommen verdt for fem år siden?
Petter antar at verdien av eiendommen vil fortsette å øke med en fast prosent hvert år, og at den vil dobles i løpet av de neste 10 årene.
b) Hvor mange prosent må verdien øke med hvert år dersom det skal gå slik Petter antar?
a) Verdien for fem år siden
Verdien har økt med 4,5 % per år, så vekstfaktoren er \(1{,}045\). Vi kaller verdien for fem år siden \(V_0\). Etter fem år er verdien:
\[V_0 \cdot 1{,}045^5 = 12\,000\,000\]
Vi løser for \(V_0\):
\[V_0 = \frac{12\,000\,000}{1{,}045^5} = \frac{12\,000\,000}{1{,}24618} \approx 9\,629\,000 \text{ kr}\]
Svar: Eiendommen var verdt ca. 9 629 000 kroner for fem år siden.
b) Årlig prosentvis økning for å doble verdien på 10 år
La vekstfaktoren være \(k\). At verdien dobles i løpet av 10 år betyr:
\[k^{10} = 2\]
Vi løser for \(k\):
\[k = 2^{1/10} = \sqrt[10]{2} \approx 1{,}07177\]
Den årlige prosentvise økningen er:
\[1{,}07177 - 1 = 0{,}07177 \approx 7{,}18\,\%\]
Svar: Verdien må øke med ca. 7,2 % hvert år for at eiendommen skal dobles i løpet av 10 år.
Oppgave 3
Oppgave: En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett. Prisen er den samme for hvert handlenett. Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.
Elevene setter opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
Elevene setter opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.
Hvor mange prosent vil inntektene fra salget øke med dersom elevbedriften fremdeles vil selge tre ganger så mange grønne som blå og dobbelt så mange svarte som blå, etter at de setter opp prisene?
La oss kalle den opprinnelige prisen for hvert handlenett \(p\), og antall blå handlenett som selges \(n\).
Da selges:
- Blå: \(n\) stykk
- Svarte: \(2n\) stykk
- Grønne: \(3n\) stykk
Opprinnelig inntekt:
\[I_{\text{før}} = n \cdot p + 2n \cdot p + 3n \cdot p = 6np\]
Nye priser etter økning:
- Grønt: \(1{,}05p\)
- Svart: \(1{,}10p\)
- Blå: \(1{,}15p\)
Ny inntekt (med samme antall av hver):
\[I_{\text{etter}} = 3n \cdot 1{,}05p + 2n \cdot 1{,}10p + n \cdot 1{,}15p\]
\[= 3{,}15np + 2{,}20np + 1{,}15np = 6{,}50np\]
Prosentvis økning i inntekt:
\[\frac{I_{\text{etter}} - I_{\text{før}}}{I_{\text{før}}} \cdot 100\,\% = \frac{6{,}50np - 6np}{6np} \cdot 100\,\% = \frac{0{,}50}{6} \cdot 100\,\%\]
\[= 8{,}3\overline{3}\,\% \approx 8{,}3\,\%\]
Svar: Inntektene fra salget vil øke med ca. 8,3 % etter prisøkningene.
Oppgave 4
Oppgave: Tabellen viser de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i eliteserien 2022:
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
c) For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Hva kan du ut fra dette og beregningene i a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
| Rank | Spiller | Mål |
|---|---|---|
| 1 | Amahl Pellegrino | 25 |
| 2 | Hugo Vetlesen | 16 |
| 3 | David Datro Fofana | 15 |
| 3 | Casper Tengstedt | 15 |
| 3 | Tobias Heintz | 15 |
| 6 | Ole Hammerfjell Sæter | 14 |
| 7 | Eric Bugale Kitolano | 13 |
| 8 | Runar Espejord | 12 |
| 8 | Mohamed Ofkir | 12 |
| 10 | Ola Brynhildsen | 11 |
| 10 | Johan Hove | 11 |
a) Bestem typetallet, variasjonsbredden og medianen for antall mål.
b) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for antall mål.
c) For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Hva kan du ut fra dette og beregningene i a) og b) si om de 11 fotballspillerne fra 2021 sammenliknet med de 11 fotballspillerne fra 2022?
a) Typetall, variasjonsbredde og median
Vi sorterer antall mål i stigende rekkefølge:
\[11, \; 11, \; 12, \; 12, \; 13, \; 14, \; 15, \; 15, \; 15, \; 16, \; 25\]
Typetall: Den verdien som forekommer flest ganger. 15 forekommer 3 ganger, som er flest.
\[\text{Typetall} = 15\]
Variasjonsbredde: Forskjellen mellom største og minste verdi.
\[\text{Variasjonsbredde} = 25 - 11 = 14\]
Median: Vi har 11 verdier, så medianen er den 6. verdien (den midterste).
\[\text{Median} = 14\]
Svar: Typetallet er 15, variasjonsbredden er 14, og medianen er 14.
b) Gjennomsnitt og standardavvik
Vi regner ut gjennomsnittet:
\[\bar{x} = \frac{25 + 16 + 15 + 15 + 15 + 14 + 13 + 12 + 12 + 11 + 11}{11} = \frac{159}{11} \approx 14{,}45\]
Vi regner ut standardavviket. Først finner vi avvikene fra gjennomsnittet og kvadrerer dem:
| Mål \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) |
|---|---|---|
| 25 | 10,55 | 111,30 |
| 16 | 1,55 | 2,40 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 15 | 0,55 | 0,30 |
| 14 | −0,45 | 0,20 |
| 13 | −1,45 | 2,10 |
| 12 | −2,45 | 6,00 |
| 12 | −2,45 | 6,00 |
| 11 | −3,45 | 11,90 |
| 11 | −3,45 | 11,90 |
Sum av kvadratavvik:
\[\sum (x_i - \bar{x})^2 \approx 152{,}73\]
Standardavvik (vi deler på \(n = 11\)):
\[s = \sqrt{\frac{152{,}73}{11}} = \sqrt{13{,}88} \approx 3{,}7\]
Svar: Gjennomsnittet er ca. 14,5 mål og standardavviket er ca. 3,7.
c) Sammenligning 2021 og 2022
Vi sammenligner nøkkeltallene for 2021 og 2022:
| 2021 | 2022 | |
|---|---|---|
| Median | 11 | 14 |
| Gjennomsnitt | 14,5 | 14,5 |
| Standardavvik | 6,7 | 3,7 |
Vi kan observere følgende:
- Gjennomsnittet er omtrent likt (14,5) begge årene. Det betyr at toppskårerne i snitt skåret like mange mål.
- Medianen er høyere i 2022 (14) enn i 2021 (11). Dette betyr at «den typiske» toppskåreren skåret flere mål i 2022.
- Standardavviket er mye lavere i 2022 (3,7) enn i 2021 (6,7). Det betyr at målskårene i 2022 lå mye tettere sammen. I 2021 var det større forskjeller mellom spillerne.
- Fordi gjennomsnittet er likt men medianen er lavere i 2021, tyder det på at noen få spillere i 2021 skåret svært mange mål og trakk opp gjennomsnittet, mens flertallet skåret færre. I 2022 var fordelingen jevnere.
Svar: Toppskårerne i 2022 skåret i snitt like mange mål som i 2021, men målene var mye jevnere fordelt i 2022 (lavere standardavvik). I 2021 var det noen få spillere som skåret veldig mange mål, mens de fleste skåret færre (lav median, høyt standardavvik). Fordelingen i 2022 var mer jevn.
Oppgave 5
Oppgave: Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig. Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.
Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.
Lag en oversikt som viser hvor stort lånet hans vil være måned for måned de to første årene.
Hver måned skjer følgende: Adam betaler renter av restlånet, og resten av terminbeløpet (etter at gebyret er trukket fra) går til å betale ned på lånet (avdrag).
- Renter en måned: \(0{,}0033 \cdot \text{restlån}\)
- Avdrag: \(13\,385 - 50 - \text{renter} = 13\,335 - \text{renter}\)
- Nytt restlån: \(\text{restlån} - \text{avdrag}\)
Dette er enklest å sette opp i et regneark eller med et program. Et Python-program:
restlaan = 2_500_000
terminbelop = 13_385
gebyr = 50
rente = 0.0033
print("Måned Renter Avdrag Restlån")
for maaned in range(1, 25):
renter = restlaan * rente
avdrag = terminbelop - gebyr - renter
restlaan = restlaan - avdrag
print(f"{maaned:5d} {renter:9.0f} {avdrag:9.0f} {restlaan:11.0f}")
Oversikten over de to første årene (24 måneder) blir:
| Måned | Renter (kr) | Avdrag (kr) | Restlån (kr) |
|---|---|---|---|
| 0 | — | — | 2 500 000 |
| 1 | 8 250 | 5 085 | 2 494 915 |
| 2 | 8 233 | 5 102 | 2 489 813 |
| 3 | 8 216 | 5 119 | 2 484 695 |
| 4 | 8 199 | 5 136 | 2 479 559 |
| 5 | 8 183 | 5 152 | 2 474 407 |
| 6 | 8 166 | 5 169 | 2 469 237 |
| 7 | 8 148 | 5 187 | 2 464 051 |
| 8 | 8 131 | 5 204 | 2 458 847 |
| 9 | 8 114 | 5 221 | 2 453 626 |
| 10 | 8 097 | 5 238 | 2 448 388 |
| 11 | 8 080 | 5 255 | 2 443 133 |
| 12 | 8 062 | 5 273 | 2 437 860 |
| 13 | 8 045 | 5 290 | 2 432 570 |
| 14 | 8 027 | 5 308 | 2 427 263 |
| 15 | 8 010 | 5 325 | 2 421 938 |
| 16 | 7 992 | 5 343 | 2 416 595 |
| 17 | 7 975 | 5 360 | 2 411 235 |
| 18 | 7 957 | 5 378 | 2 405 857 |
| 19 | 7 939 | 5 396 | 2 400 461 |
| 20 | 7 922 | 5 413 | 2 395 048 |
| 21 | 7 904 | 5 431 | 2 389 616 |
| 22 | 7 886 | 5 449 | 2 384 167 |
| 23 | 7 868 | 5 467 | 2 378 700 |
| 24 | 7 850 | 5 485 | 2 373 215 |
Svar: Tabellen over viser hvordan restlånet utvikler seg måned for måned. Etter de to første årene (24 terminer) er restlånet redusert fra 2 500 000 kr til ca. 2 373 000 kr. Vi ser at avdraget øker litt for hver måned, mens rentedelen synker, fordi rentene regnes av et stadig mindre restlån.
Oppgave 6
Oppgave: Tabellen viser antall helsefagarbeidere i Norge 2015–2022, fordelt på kjønn:
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag. Gjør sammenlikninger og beregninger, og lag ulike fremstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonene skal inneholde både beregninger og diagrammer.
| År | Menn | Kvinner |
|---|---|---|
| 2015 | 2 232 | 17 493 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 |
Her presenterer vi en rekke beregninger og analyser av datamaterialet.
Totalt antall helsefagarbeidere
| År | Menn | Kvinner | Totalt |
|---|---|---|---|
| 2015 | 2 232 | 17 493 | 19 725 |
| 2016 | 2 911 | 21 439 | 24 350 |
| 2017 | 3 558 | 24 785 | 28 343 |
| 2018 | 3 957 | 27 327 | 31 284 |
| 2019 | 4 698 | 30 733 | 35 431 |
| 2020 | 5 511 | 33 958 | 39 469 |
| 2021 | 6 447 | 37 357 | 43 804 |
| 2022 | 7 317 | 40 472 | 47 789 |
Totalt antall helsefagarbeidere har økt fra 19 725 i 2015 til 47 789 i 2022.
Prosentvis økning totalt fra 2015 til 2022
\[\frac{47\,789 - 19\,725}{19\,725} \cdot 100\,\% = \frac{28\,064}{19\,725} \cdot 100\,\% \approx 142{,}3\,\%\]
Totalt antall helsefagarbeidere har altså mer enn doblet seg i perioden.
Prosentvis økning fordelt på kjønn
Menn:
\[\frac{7\,317 - 2\,232}{2\,232} \cdot 100\,\% = \frac{5\,085}{2\,232} \cdot 100\,\% \approx 227{,}8\,\%\]
Kvinner:
\[\frac{40\,472 - 17\,493}{17\,493} \cdot 100\,\% = \frac{22\,979}{17\,493} \cdot 100\,\% \approx 131{,}4\,\%\]
Antall mannlige helsefagarbeidere har økt relativt sett mer enn antall kvinnelige.
Andel menn per år
| År | Andel menn |
|---|---|
| 2015 | \(\frac{2\,232}{19\,725} \approx 11{,}3\,\%\) |
| 2016 | \(\frac{2\,911}{24\,350} \approx 12{,}0\,\%\) |
| 2017 | \(\frac{3\,558}{28\,343} \approx 12{,}6\,\%\) |
| 2018 | \(\frac{3\,957}{31\,284} \approx 12{,}6\,\%\) |
| 2019 | \(\frac{4\,698}{35\,431} \approx 13{,}3\,\%\) |
| 2020 | \(\frac{5\,511}{39\,469} \approx 14{,}0\,\%\) |
| 2021 | \(\frac{6\,447}{43\,804} \approx 14{,}7\,\%\) |
| 2022 | \(\frac{7\,317}{47\,789} \approx 15{,}3\,\%\) |
Andelen menn har økt jevnt fra ca. 11,3 % til ca. 15,3 % i perioden.
Gjennomsnittlig årlig økning
Menn:
\[\frac{7\,317 - 2\,232}{7} \approx 726 \text{ per år}\]
Kvinner:
\[\frac{40\,472 - 17\,493}{7} \approx 3\,283 \text{ per år}\]
I absolutte tall øker antall kvinnelige helsefagarbeidere langt mer per år.
Sammendrag og diagramforslag
Til presentasjonen kan man lage følgende diagrammer:
- Stolpediagram: Antall menn og kvinner side om side for hvert år (som vist over).
- Linjediagram: Utviklingen i totalt antall helsefagarbeidere over tid.
- Sektordiagram: Kjønnsfordelingen for et valgt år (f.eks. 2015 og 2022) for å vise endringen.
Oppsummering: Antall helsefagarbeidere i Norge har mer enn doblet seg fra 2015 til 2022 (ca. 142 % økning). Antall menn har økt relativt sett mest (ca. 228 %), mens antall kvinner har økt med ca. 131 %. Andelen menn har økt fra 11,3 % til 15,3 %. Yrket er fortsatt sterkt kvinnedominert.
Oppgave 7
Oppgave:
Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La \(x\) være antall år etter 2022 og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
- I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
- I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.
a) La \(x\) være antall år etter 2022 og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.
Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.
b) Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.
a) Modeller for klimagassutslipp
Målet for 2030: Utslippet skal være 55 % lavere enn i 1990.
\[\text{Mål 2030} = 51{,}3 \cdot (1 - 0{,}55) = 51{,}3 \cdot 0{,}45 = 23{,}085 \text{ mill. tonn}\]
Vi avrunder til \(23{,}1\) mill. tonn.
La \(x\) være antall år etter 2022. I 2022 er utslippet 48,9 mill. tonn. I 2030 er \(x = 8\).
Anders' modell (lineær)
Anders antar at utslippet reduseres med et fast antall tonn per år. Modellen er lineær:
\[A(x) = 48{,}9 - a \cdot x\]
Vi setter \(A(8) = 23{,}1\) og løser for \(a\):
\[48{,}9 - 8a = 23{,}1\]
\[8a = 48{,}9 - 23{,}1 = 25{,}8 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{25{,}8}{8} = 3{,}225\]
Anders' modell:
\[A(x) = 48{,}9 - 3{,}225x\]
der \(x\) er antall år etter 2022. Utslippet må reduseres med ca. 3,225 mill. tonn per år.
Arnes modell (eksponentiell)
Arne antar at utslippet reduseres med en fast prosent per år. Modellen er eksponentiell:
\[B(x) = 48{,}9 \cdot k^x\]
Vi setter \(B(8) = 23{,}1\) og løser for \(k\):
\[48{,}9 \cdot k^8 = 23{,}1 \quad \Rightarrow \quad k^8 = \frac{23{,}1}{48{,}9} \approx 0{,}4724\]
\[k = 0{,}4724^{1/8} \approx 0{,}9105\]
Arnes modell:
\[B(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^x\]
Den årlige prosentvise reduksjonen er:
\[1 - 0{,}9105 = 0{,}0895 \approx 8{,}95\,\%\]
Svar:
Anders' modell: \(A(x) = 48{,}9 - 3{,}225x\) (reduksjon på ca. 3,2 mill. tonn per år)
Arnes modell: \(B(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^x\) (reduksjon på ca. 9,0 % per år)
Anders' modell: \(A(x) = 48{,}9 - 3{,}225x\) (reduksjon på ca. 3,2 mill. tonn per år)
Arnes modell: \(B(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^x\) (reduksjon på ca. 9,0 % per år)
b) Vurdering opp mot 2050-målet
Målet for 2050: 90–95 % reduksjon fra 1990-nivået.
\[\text{Mål 2050 (90 \%)} = 51{,}3 \cdot 0{,}10 = 5{,}13 \text{ mill. tonn}\]
\[\text{Mål 2050 (95 \%)} = 51{,}3 \cdot 0{,}05 = 2{,}565 \text{ mill. tonn}\]
I 2050 er \(x = 28\) (antall år etter 2022).
Anders' modell i 2050:
\[A(28) = 48{,}9 - 3{,}225 \cdot 28 = 48{,}9 - 90{,}3 = -41{,}4\]
Anders' modell gir negativt utslipp i 2050, som ikke er realistisk. Den lineære modellen fungerer bare på kort sikt. Faktisk blir utslippet null allerede etter:
\[x = \frac{48{,}9}{3{,}225} \approx 15{,}2 \text{ år}\]
Det vil si rundt år 2037. Etter det gir modellen negative verdier, noe som ikke gir mening.
Arnes modell i 2050:
\[B(28) = 48{,}9 \cdot 0{,}9105^{28} \approx 48{,}9 \cdot 0{,}0724 \approx 3{,}5 \text{ mill. tonn}\]
Arnes modell gir ca. 3,5 mill. tonn i 2050. Målet er mellom 2,6 og 5,1 mill. tonn.
\[3{,}5 \text{ mill. tonn ligger i intervallet } [2{,}6 ; \; 5{,}1]\]
Arnes modell viser altså at 2050-målet kan nås hvis utslippet reduseres med ca. 9 % per år.
Svar:
Anders' lineære modell gir et negativt utslipp i 2050, noe som ikke er realistisk. Den egner seg bare for kort tidshorisont og ikke for å vurdere langsiktige mål.
Arnes eksponentielle modell gir ca. 3,5 mill. tonn i 2050, som ligger innenfor 2050-målet (mellom 2,6 og 5,1 mill. tonn). Den eksponentielle modellen er mer realistisk over lang tid fordi utslippet aldri blir negativt, men nærmer seg null gradvis.
Anders' lineære modell gir et negativt utslipp i 2050, noe som ikke er realistisk. Den egner seg bare for kort tidshorisont og ikke for å vurdere langsiktige mål.
Arnes eksponentielle modell gir ca. 3,5 mill. tonn i 2050, som ligger innenfor 2050-målet (mellom 2,6 og 5,1 mill. tonn). Den eksponentielle modellen er mer realistisk over lang tid fordi utslippet aldri blir negativt, men nærmer seg null gradvis.
Om oppgaveteksten: Oppgaveteksten i dette løsningsforslaget er gjengitt fra Utdanningsdirektoratets (UDIR) eksamen i Matematikk 2P-Y (høsten 2023). Vi gjengir oppgaveteksten bevisst, slik at du kan følge løsningen uten å veksle mellom dokumenter. Eksamensoppgaver fra offentlige myndigheter er uten opphavsrettsvern etter åndsverkloven § 14 og kan gjengis fritt. Selve løsningsforslaget, forklaringene og figurene er utarbeidet av Eksamenssett.no. Opphavsrettsbeskyttede bilder og illustrasjoner fra originaleksamen er fjernet.