VG2
Løsningsforslag Matematikk 2P-YVår 2024
Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Vår 2024
Eksamen MAT1151
Om løsningsforslaget: Dette er et veiledende løsningsforslag laget av eksamenssett.no.
Det kan finnes alternative fremgangsmåter som også gir riktig svar.
DEL 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1 (2 poeng)
I en kiosk selges sjokolader med ulike mengderabatter. Bildene viser blant annet:
- 2 for 25 kr
- 16 for 200 kr
- 24 for 300 kr
- 8 for 100 kr
For at to størrelser skal være proporsjonale, må forholdet mellom dem være konstant. Vi regner ut prisen per sjokolade for hvert tilbud:
\[\text{2 for 25 kr:} \quad \frac{25}{2} = 12{,}50 \text{ kr per stk.}\]
\[\text{16 for 200 kr:} \quad \frac{200}{16} = 12{,}50 \text{ kr per stk.}\]
\[\text{24 for 300 kr:} \quad \frac{300}{24} = 12{,}50 \text{ kr per stk.}\]
\[\text{8 for 100 kr:} \quad \frac{100}{8} = 12{,}50 \text{ kr per stk.}\]
Prisen per sjokolade er 12,50 kr uansett hvor mange du kjøper.
Konklusjon: Ja, antall sjokolader og prisen du betaler er proporsjonale størrelser. Forholdet mellom pris og antall er konstant lik 12,50 kr per sjokolade i alle tilfellene.
Vanlig feil: Noen elever konkluderer med at størrelsene er proporsjonale uten å sjekke om forholdet faktisk er konstant for alle datapunktene. For å bekrefte proporsjonalitet, må du vise at prisen per stykk er den samme uansett antall. Dersom mengderabatten hadde gitt ulik stykkpris, ville størrelsene ikke vært proporsjonale.
Oppgave 2 (2 poeng)
Småbakst: 2 for 32 kroner eller 4 for 48 kroner.
Nora skal kjøpe bagetter. Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?
Nora skal kjøpe bagetter. Hvor mange prosent lavere blir prisen per bagett dersom hun kjøper fire i stedet for to?
Vi regner ut prisen per bagett for begge tilbudene:
\[\text{2 for 32 kr:} \quad \frac{32}{2} = 16 \text{ kr per bagett}\]
\[\text{4 for 48 kr:} \quad \frac{48}{4} = 12 \text{ kr per bagett}\]
Nedgangen i pris per bagett er:
\[16 - 12 = 4 \text{ kr}\]
Vi regner ut den prosentvise nedgangen i forhold til den opprinnelige prisen (16 kr):
\[\frac{4}{16} \cdot 100\,\% = 25\,\%\]
Konklusjon: Prisen per bagett blir 25 % lavere dersom Nora kjøper fire i stedet for to.
Oppgave 3 (2 poeng)
I Oslo bor det ca. 700 000 mennesker. Hver person bruker i gjennomsnitt 150 liter vann hvert døgn.
Omtrent hvor mange liter vann blir dette i løpet av én måned? Skriv svaret på standardform.
Omtrent hvor mange liter vann blir dette i løpet av én måned? Skriv svaret på standardform.
Vi regner ut vannforbruket per døgn for hele Oslo:
\[700\,000 \cdot 150 = 105\,000\,000 \text{ liter per døgn}\]
Vi regner med at én måned har ca. 30 døgn:
\[105\,000\,000 \cdot 30 = 3\,150\,000\,000 \text{ liter}\]
Vi skriver dette på standardform:
\[3\,150\,000\,000 = 3{,}15 \cdot 10^9\]
Konklusjon: I løpet av én måned bruker Oslo omtrent \(3{,}15 \cdot 10^9\) liter vann.
Oppgave 4 (4 poeng)
Ovenfor ser du tre figurer satt sammen av små sirkler etter et mønster.
b) Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur \(n\).
- Figur 1: To kvadrater med \(2 \cdot 2\) sirkler som deler én sirkel (7 sirkler)
- Figur 2: To kvadrater med \(3 \cdot 3\) sirkler som deler én sirkel (17 sirkler)
- Figur 3: To kvadrater med \(4 \cdot 4\) sirkler som deler én sirkel (31 sirkler)
b) Beskriv mønsteret, og bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur \(n\).
a)
Vi studerer mønsteret ved å telle sirklene i de tre figurene:
| Figur | Antall sirkler | Endring |
|---|---|---|
| 1 | 7 | - |
| 2 | 17 | +10 |
| 3 | 31 | +14 |
Endringen fra figur til figur øker med 4 for hver gang (10, 14, 18, 22, ...). Vi kan bruke dette til å finne de neste figurene:
\[\text{Figur 4:} \quad 31 + 18 = 49 \text{ sirkler}\]
Vi fortsetter mønsteret for å finne figur 9:
| Figur | Endring | Antall sirkler |
|---|---|---|
| 4 | +18 | 49 |
| 5 | +22 | 71 |
| 6 | +26 | 97 |
| 7 | +30 | 127 |
| 8 | +34 | 161 |
| 9 | +38 | 199 |
Svar: Figur 4 har 49 sirkler og figur 9 har 199 sirkler.
Vanlig feil: Mange prøver å bruke en lineær formel, men det fungerer ikke fordi økningen mellom figurene ikke er konstant (10, 14, 18, ...). Se heller på hvordan figuren er bygd opp: to kvadrater som deler én sirkel.
b)
Figur \(n\) består av to kvadrater med \((n + 1) \cdot (n + 1)\) sirkler som overlapper i én sirkel. Figur 1 er to kvadrater med \(2 \cdot 2\) sirkler, figur 2 to kvadrater med \(3 \cdot 3\) og figur 3 to kvadrater med \(4 \cdot 4\).
De to kvadratene har til sammen \(2(n + 1)^2\) sirkler, og sirkelen i midten er telt to ganger:
\[a_n = 2(n + 1)^2 - 1\]
Svar: Figur \(n\) er to kvadrater med \((n + 1)^2\) sirkler hver, som deler én sirkel. Antall sirkler i figur \(n\) er
\[a_n = 2(n + 1)^2 - 1\]
Kontroll: \(a_1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7\) ✔, \(a_2 = 2 \cdot 9 - 1 = 17\) ✔, \(a_3 = 2 \cdot 16 - 1 = 31\) ✔, \(a_9 = 2 \cdot 100 - 1 = 199\) ✔
Kontroll: \(a_1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7\) ✔, \(a_2 = 2 \cdot 9 - 1 = 17\) ✔, \(a_3 = 2 \cdot 16 - 1 = 31\) ✔, \(a_9 = 2 \cdot 100 - 1 = 199\) ✔
DEL 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
Noen venner vil leie ei hytte en uke i sommerferien. Funksjonen \(H\) er gitt ved
\[H(x) = \frac{18\,000}{x}, \quad 1 \le x \le 12\]
der \(H(x)\) er prisen i kroner hver av vennene må betale i leie dersom \(x\) venner blir med på hytteturen.
a) Hva kan du ut fra denne modellen si om hytta vennene vil leie?
b) Tegn grafen til \(H\), og bestem skjæringspunktet mellom grafen og den rette linjen \(y = 2250\). Gi en praktisk tolkning av koordinatene til skjæringspunktet.
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((6, H(6))\) og \((12, H(12))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
a) Hva kan du ut fra denne modellen si om hytta vennene vil leie?
b) Tegn grafen til \(H\), og bestem skjæringspunktet mellom grafen og den rette linjen \(y = 2250\). Gi en praktisk tolkning av koordinatene til skjæringspunktet.
c) Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene \((6, H(6))\) og \((12, H(12))\). Gi en praktisk tolkning av svaret.
a)
Vi ser at \(H(x) = \frac{18\,000}{x}\), der \(H(x)\) er prisen per person og \(x\) er antall venner.
Totalprisen for hytta er:
\[\text{Totalpris} = x \cdot H(x) = x \cdot \frac{18\,000}{x} = 18\,000 \text{ kr}\]
Definisjonsområdet er \(1 \le x \le 12\), som betyr at det kan være mellom 1 og 12 venner.
Svar: Modellen forteller oss at hytta koster 18 000 kr å leie for en uke. Kostnadene fordeles likt mellom vennene. Hytta har plass til maksimalt 12 personer.
Vanlig feil: Noen elever forveksler omvendt proporsjonalitet med lineær sammenheng. Når \(H(x) = \frac{18000}{x}\), halveres prisen per person når antallet dobles. Det er ikke slik at prisen synker med et fast beløp for hver ny person. Stigningstallet til en sekantlinje gir den gjennomsnittlige endringen, ikke den eksakte endringen per person.
b)
Vi finner skjæringspunktet mellom \(H(x) = \frac{18\,000}{x}\) og \(y = 2250\):
\[\frac{18\,000}{x} = 2250\]
\[x = \frac{18\,000}{2250} = 8\]
Skjæringspunktet er \((8,\, 2250)\).
Praktisk tolkning: Dersom 8 venner blir med på hytteturen, må hver person betale 2 250 kroner i leie.
c)
Vi beregner først funksjonsverdiene:
\[H(6) = \frac{18\,000}{6} = 3000\]
\[H(12) = \frac{18\,000}{12} = 1500\]
Stigningstallet til linjen gjennom \((6,\, 3000)\) og \((12,\, 1500)\) er:
\[a = \frac{H(12) - H(6)}{12 - 6} = \frac{1500 - 3000}{12 - 6} = \frac{-1500}{6} = -250\]
Svar: Stigningstallet er \(-250\).
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker prisen per person med 250 kroner for hver ekstra venn som blir med på hytteturen, når antallet øker fra 6 til 12 venner.
Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker prisen per person med 250 kroner for hver ekstra venn som blir med på hytteturen, når antallet øker fra 6 til 12 venner.
Oppgave 2 (4 poeng)
Malin har 450 000 kroner på en sparekonto. Hun vil sette beløpet over på en konto med fastrenteinnskudd.
Vilkår for fastrenteinnskudd:
Malin vurderer om hun skal binde pengene i 3 måneder eller i 1 år.
a) Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent høyere er renten dersom hun velger 1 år i stedet for 3 måneder?
b) Hvor mye får Malin i renteinntekter dersom hun velger å binde pengene i 1 år?
Vilkår for fastrenteinnskudd:
| Periode | Rente |
|---|---|
| 3 måneder | 5,15 % per år |
| 6 måneder | 5,25 % per år |
| 1 år | 5,4 % per år |
Malin vurderer om hun skal binde pengene i 3 måneder eller i 1 år.
a) Hvor mange prosentpoeng og hvor mange prosent høyere er renten dersom hun velger 1 år i stedet for 3 måneder?
b) Hvor mye får Malin i renteinntekter dersom hun velger å binde pengene i 1 år?
a)
Prosentpoeng:
Differansen mellom de to rentene:
\[5{,}4\,\% - 5{,}15\,\% = 0{,}25 \text{ prosentpoeng}\]
Prosent høyere:
Vi regner ut hvor mange prosent høyere 5,4 % er sammenlignet med 5,15 %:
\[\frac{5{,}4 - 5{,}15}{5{,}15} \cdot 100\,\% = \frac{0{,}25}{5{,}15} \cdot 100\,\% \approx 4{,}85\,\%\]
Svar: Renten er 0,25 prosentpoeng høyere og omtrent 4,85 % høyere dersom Malin velger 1 år i stedet for 3 måneder.
b)
Malin har 450 000 kr og binder pengene i 1 år med 5,4 % årlig rente.
Renteinntekten etter 1 år:
\[\text{Rente} = 450\,000 \cdot \frac{5{,}4}{100} = 450\,000 \cdot 0{,}054 = 24\,300 \text{ kr}\]
Svar: Malin får 24 300 kroner i renteinntekter dersom hun binder pengene i 1 år.
Oppgave 3 (4 poeng)
Nedenfor ser du hvor mange timer Solveig brukte på hver av de 20 skiturene hun gikk vinteren 2024:
8, 4, 7, 5, 10, 3, 12, 6, 8, 9, 6, 5, 8, 9, 11, 5, 3, 7, 9, 8
Solveigs venninne, Miriam, gikk også 20 skiturer vinteren 2024. I gjennomsnitt brukte Miriam 4,7 timer per tur. Medianen var 4, og standardavviket hennes for antall timer per tur var 4,2.
a) Hva kan du ut fra dette si om skiturene til Miriam sammenliknet med skiturene til Solveig?
Solveig og Miriam gikk noen av skiturene sammen. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antallet timer disse skiturene varte:
b) Argumenter for at hver av de to påstandene nedenfor er riktig:
1) Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.
2) Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.
8, 4, 7, 5, 10, 3, 12, 6, 8, 9, 6, 5, 8, 9, 11, 5, 3, 7, 9, 8
Solveigs venninne, Miriam, gikk også 20 skiturer vinteren 2024. I gjennomsnitt brukte Miriam 4,7 timer per tur. Medianen var 4, og standardavviket hennes for antall timer per tur var 4,2.
a) Hva kan du ut fra dette si om skiturene til Miriam sammenliknet med skiturene til Solveig?
Solveig og Miriam gikk noen av skiturene sammen. Tabellen nedenfor viser den kumulative frekvensen for antallet timer disse skiturene varte:
| Lengde turer sammen (timer) | Kumulativ frekvens |
|---|---|
| 0 | 10 |
| 3 | 11 |
| 5 | 14 |
| 8 | 17 |
| 9 | 19 |
| 12 | 20 |
b) Argumenter for at hver av de to påstandene nedenfor er riktig:
1) Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.
2) Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.
a)
Vi beregner først gjennomsnitt, median og standardavvik for Solveigs turer.
Sorterte data for Solveig:
3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 12
Gjennomsnitt for Solveig:
\[\bar{x} = \frac{3+3+4+5+5+5+6+6+7+7+8+8+8+8+9+9+9+10+11+12}{20} = \frac{143}{20} = 7{,}15\]
Median for Solveig:
Med 20 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 10. og 11. verdien:
\[\text{Median} = \frac{7 + 8}{2} = 7{,}5\]
Standardavvik for Solveig:
\[s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{20}} \approx 2{,}46\]
Sammenlikning:
| Solveig | Miriam | |
|---|---|---|
| Gjennomsnitt | 7,15 timer | 4,7 timer |
| Median | 7,5 timer | 4 timer |
| Standardavvik | 2,46 timer | 4,2 timer |
Svar:
- Solveig gikk i gjennomsnitt mye lengre turer enn Miriam (7,15 timer mot 4,7 timer). Det samme viser medianen (7,5 mot 4).
- Miriam har et mye større standardavvik (4,2 mot ca. 2,5), som betyr at det er mye større variasjon i lengden på turene hennes. Noen turer er svært korte og noen svært lange, mens Solveigs turer er jevnere i lengde.
b)
Påstand 1: Miriam og Solveig gikk 3 skiturer på 5 timer sammen.
Fra tabellen med kumulativ frekvens leser vi:
- Kumulativ frekvens for turer med lengde \(\le 3\) timer: 11
- Kumulativ frekvens for turer med lengde \(\le 5\) timer: 14
Antall turer på nøyaktig 5 timer (blant turene de gikk sammen):
\[14 - 11 = 3\]
Svar: Differansen i kumulativ frekvens viser at det er 3 turer med lengde mellom 3 og 5 timer (ikke inkludert 3 timer). Siden verdiene i tabellen er 3 og 5 (heltall), betyr dette at de gikk 3 skiturer på 5 timer sammen. Påstanden er riktig.
Påstand 2: Miriam var ikke med alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer.
Fra Solveigs data ser vi at hun gikk 4 turer på 8 timer.
Fra tabellen med kumulativ frekvens for turene de gikk sammen:
- Kumulativ frekvens for turer \(\le 5\) timer: 14
- Kumulativ frekvens for turer \(\le 8\) timer: 17
Antall turer på 8 timer som de gikk sammen:
\[17 - 14 = 3\]
Svar: Solveig gikk 4 turer på 8 timer totalt, men bare 3 av disse var sammen med Miriam (differansen 17 - 14 = 3). Altså var Miriam ikke med på alle gangene Solveig gikk en skitur på 8 timer. Påstanden er riktig.
Oppgave 4 (6 poeng)
Tuva har en profil på Instagram. Tabellen nedenfor viser hvor mange følgere hun har hatt de siste seks månedene:
Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023 – april 2024.
a) La \(x\) være antall måneder etter november 2023, og vis hvordan Tuva kan ha laget denne modellen.
For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.
b) Vis at antall følgere vil være 33 611 i mai og 48 736 i juni dersom Tuva klarer å nå målet sitt for disse månedene.
c) Hvor mange prosent flere følgere vil Tuva ha i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned?
| Måned | November | Desember | Januar | Februar | Mars | April |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Følgere | 5 335 | 7 035 | 9 467 | 12 780 | 17 208 | 24 008 |
Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023 – april 2024.
a) La \(x\) være antall måneder etter november 2023, og vis hvordan Tuva kan ha laget denne modellen.
For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.
b) Vis at antall følgere vil være 33 611 i mai og 48 736 i juni dersom Tuva klarer å nå målet sitt for disse månedene.
c) Hvor mange prosent flere følgere vil Tuva ha i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned?
a)
Tuva starter med 5 335 følgere i november 2023 og antallet øker med ca. 35 % per måned.
En økning på 35 % tilsvarer en vekstfaktor på:
\[1 + \frac{35}{100} = 1{,}35\]
Vi kontrollerer med dataene i tabellen:
| Måned | \(x\) | Faktisk | Modell: \(5335 \cdot 1{,}35^x\) | Forholdstall |
|---|---|---|---|---|
| November | 0 | 5 335 | 5 335 | - |
| Desember | 1 | 7 035 | 7 202 | \(\frac{7035}{5335} \approx 1{,}319\) |
| Januar | 2 | 9 467 | 9 723 | \(\frac{9467}{7035} \approx 1{,}346\) |
| Februar | 3 | 12 780 | 13 126 | \(\frac{12780}{9467} \approx 1{,}350\) |
| Mars | 4 | 17 208 | 17 720 | \(\frac{17208}{12780} \approx 1{,}347\) |
| April | 5 | 24 008 | 23 922 | \(\frac{24008}{17208} \approx 1{,}395\) |
Forholdstallene mellom hver måned ligger rundt 1,35, så en vekstfaktor på 1,35 er en rimelig tilnærming.
Svar: Modellen er gitt ved:
\[f(x) = 5335 \cdot 1{,}35^x\]
der \(x\) er antall måneder etter november 2023. Modellen er basert på at forholdstallet mellom antall følgere fra måned til måned er tilnærmet 1,35.
💻 Slik gjør du det i GeoGebra CAS:
- Definer modellen:
f(x) := 5335 · 1.35^x - Kontroller modellen for april (\(x = 5\)):
f(5)→ gir \(\approx 23\,922\) (stemmer med tabellen) - Finn følgere i august ut fra november-modellen (\(x = 9\)):
f(9)→ gir \(\approx 79\,458\). I oppgave c) regner vi i stedet videre fra den faktiske aprilverdien 24 008, som gir \(\approx 79\,743\).
b)
Etter april 2024 skal økningen øke med 5 prosentpoeng per måned. April er måned \(x = 5\) med 24 008 følgere. Fra april er veksten:
- Mai (måned 6): økning på \(35\,\% + 5\,\% = 40\,\%\), dvs. vekstfaktor 1,40
- Juni (måned 7): økning på \(35\,\% + 2 \cdot 5\,\% = 45\,\%\), dvs. vekstfaktor 1,45
Mai:
\[24\,008 \cdot 1{,}40 = 33\,611{,}2 \approx 33\,611\]
Juni:
\[33\,611 \cdot 1{,}45 = 48\,735{,}95 \approx 48\,736\]
Svar: Vi har vist at antall følgere i mai blir ca. 33 611 og i juni ca. 48 736 dersom Tuva når målet sitt.
c)
Vi beregner antall følgere i august 2024 for begge scenarioene.
Scenario 1: Nytt mål (økning med 5 prosentpoeng mer hver måned etter april)
Fra april (24 008 følgere):
- Mai: vekstfaktor 1,40 → \(24\,008 \cdot 1{,}40 = 33\,611\)
- Juni: vekstfaktor 1,45 → \(33\,611 \cdot 1{,}45 = 48\,736\)
- Juli: vekstfaktor 1,50 → \(48\,736 \cdot 1{,}50 = 73\,104\)
- August: vekstfaktor 1,55 → \(73\,104 \cdot 1{,}55 = 113\,311\)
Scenario 2: Fortsatt 35 % vekst hver måned
Fra april (24 008 følgere) med vekstfaktor 1,35 i 4 måneder:
\[24\,008 \cdot 1{,}35^4 = 24\,008 \cdot 3{,}3215 \approx 79\,743\]
Vi kontrollerer steg for steg:
- Mai: \(24\,008 \cdot 1{,}35 = 32\,411\)
- Juni: \(32\,411 \cdot 1{,}35 = 43\,755\)
- Juli: \(43\,755 \cdot 1{,}35 = 59\,069\)
- August: \(59\,069 \cdot 1{,}35 = 79\,743\)
Prosentvis forskjell:
\[\frac{113\,311 - 79\,743}{79\,743} \cdot 100\,\% \approx 42{,}1\,\%\]
Svar: Tuva vil ha omtrent 42 % flere følgere i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned.
Oppgave 5 (4 poeng)
Oda har undersøkt hvor mange minutter elevene ved skolen brukte på lekser en ettermiddag i mai, og laget et histogram.
Fra histogrammet leser vi av (frekvens/klassebredde):
Totalt antall elever: \(80 + 120 + 200 + 100 = 500\)
Bruk opplysningene fra histogrammet til å argumentere for at hver av de fire påstandene er riktig:
Påstand 1: 80 elever brukte mindre enn 40 minutter på lekser denne ettermiddagen.
Påstand 2: Den relative frekvensen for 100–150 minutter brukt på lekser er \(\frac{1}{5}\).
Påstand 3: Elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, brukte i gjennomsnitt 38 minutter.
Påstand 4: For elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, er medianen for antall minutter høyere enn gjennomsnittet for antall minutter.
Fra histogrammet leser vi av (frekvens/klassebredde):
| Intervall (minutter) | Klassebredde | Frekvens/klassebredde | Frekvens |
|---|---|---|---|
| 0–40 | 40 | 2 | 80 |
| 40–60 | 20 | 6 | 120 |
| 60–100 | 40 | 5 | 200 |
| 100–150 | 50 | 2 | 100 |
Bruk opplysningene fra histogrammet til å argumentere for at hver av de fire påstandene er riktig:
Påstand 1: 80 elever brukte mindre enn 40 minutter på lekser denne ettermiddagen.
Påstand 2: Den relative frekvensen for 100–150 minutter brukt på lekser er \(\frac{1}{5}\).
Påstand 3: Elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, brukte i gjennomsnitt 38 minutter.
Påstand 4: For elevene som brukte mindre enn 60 minutter på leksene, er medianen for antall minutter høyere enn gjennomsnittet for antall minutter.
Vi leser av histogrammet. Y-aksen viser frekvens/klassebredde, og vi beregner frekvensen for hvert intervall:
| Intervall | Klassebredde | Frekvens/klassebredde | Frekvens |
|---|---|---|---|
| 0–40 | 40 | 2 | \(2 \cdot 40 = 80\) |
| 40–60 | 20 | 6 | \(6 \cdot 20 = 120\) |
| 60–100 | 40 | 5 | \(5 \cdot 40 = 200\) |
| 100–150 | 50 | 2 | \(2 \cdot 50 = 100\) |
Totalt antall elever: \(80 + 120 + 200 + 100 = 500\)
Påstand 1: 80 elever brukte mindre enn 40 minutter på lekser.
Fra tabellen ser vi at intervallet 0–40 minutter inneholder 80 elever.
Svar: Påstand 1 er riktig. Hele den første stolpen i histogrammet tilsvarer 80 elever, og alle disse brukte mindre enn 40 minutter.
Påstand 2: Den relative frekvensen for 100–150 minutter brukt på lekser er \(\frac{1}{5}\).
\[\text{Relativ frekvens} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}\]
Svar: Påstand 2 er riktig. 100 av totalt 500 elever brukte 100–150 minutter, og \(\frac{100}{500} = \frac{1}{5}\).
Påstand 3: Elevene som brukte mindre enn 60 minutter brukte i gjennomsnitt 38 minutter.
Elevene som brukte mindre enn 60 minutter fordeler seg slik:
- 0–40 min: 80 elever med midtverdi 20 min
- 40–60 min: 120 elever med midtverdi 50 min
Gjennomsnitt:
\[\bar{x} = \frac{80 \cdot 20 + 120 \cdot 50}{80 + 120} = \frac{1600 + 6000}{200} = \frac{7600}{200} = 38 \text{ minutter}\]
Svar: Påstand 3 er riktig. Gjennomsnittet for elevene som brukte mindre enn 60 minutter er 38 minutter.
Påstand 4: For elevene som brukte mindre enn 60 minutter, er medianen for antall minutter høyere enn gjennomsnittet.
Vi har 200 elever som brukte mindre enn 60 minutter. Medianen er gjennomsnittet av observasjon nr. 100 og 101.
De første 80 observasjonene ligger i intervallet 0–40 minutter. Observasjon nr. 100 og 101 ligger dermed i intervallet 40–60 minutter.
Vi antar jevn fordeling i intervallet 40–60. Observasjon nr. 100 er den 20. verdien i dette intervallet (100 - 80 = 20). Med 120 elever jevnt fordelt over 20 minutter:
\[\text{Median} \approx 40 + \frac{20}{120} \cdot 20 = 40 + 3{,}3 \approx 43{,}3 \text{ minutter}\]
Vi sammenlikner: Medianen \(\approx 43{,}3\) og gjennomsnittet \(= 38\).
Svar: Påstand 4 er riktig. Medianen (\(\approx 43\) minutter) er høyere enn gjennomsnittet (38 minutter) for elevene som brukte mindre enn 60 minutter. Dette skyldes at en stor andel av elevene (120 av 200) ligger i det øvre intervallet 40–60, mens de 80 elevene i 0–40 trekker gjennomsnittet ned.
Oppgave 6 (2 poeng)
Thea vil spare penger og har lest at det er lurt å opprette en BSU-konto i banken. Hun finner denne informasjonen:
- Med BSU-konto kan du spare 27 500 kroner årlig og 300 000 kroner totalt.
- Du får bankens beste rente, som nå er 6,8 % per år.
1 innskudd = 27500
2 prosent_rente = 6.8
3 BSU = 0
4
5 for år in range(2024, 2034):
6
7 BSU = BSU + innskudd
8
9 renter = prosent_rente * BSU / 100
10
11 BSU = BSU + renter
12
13 print(år, round(renter), round(BSU))
Forklaring av programkoden linje for linje:
Linje 1: innskudd = 27500
Setter det årlige innskuddsbeløpet til 27 500 kr (maks årlig sparing på BSU).
Linje 2: prosent_rente = 6.8
Setter den årlige renten til 6,8 %.
Linje 3: BSU = 0
Setter startsaldoen på BSU-kontoen til 0 kr.
Linje 5: for år in range(2024, 2034):
Starter en løkke som kjører for hvert år fra 2024 til og med 2033 (10 år). Altså 10 ganger, én gang for hvert år.
Linje 7: BSU = BSU + innskudd
Legger til det årlige innskuddet (27 500 kr) til BSU-saldoen.
Linje 9: renter = prosent_rente * BSU / 100
Beregner årets renteinntekt som 6,8 % av den nye saldoen (etter innskudd).
Linje 11: BSU = BSU + renter
Legger rentene til BSU-saldoen (rentes rente-effekt).
Linje 13: print(år, round(renter), round(BSU))
Skriver ut året, årets renter (avrundet) og total saldo (avrundet).
Regnestykker for de første årene:
År 2024 (første gang løkken kjører, starter med BSU = 0):
- Linje 7: \(\text{BSU} = 0 + 27\,500 = 27\,500\)
- Linje 9: \(\text{renter} = \dfrac{6{,}8 \cdot 27\,500}{100} = 1\,870\)
- Linje 11: \(\text{BSU} = 27\,500 + 1\,870 = 29\,370\)
- Linje 13 skriver ut:
2024 1870 29370
År 2025 (starter med BSU = 29 370 fra forrige år):
- Linje 7: \(\text{BSU} = 29\,370 + 27\,500 = 56\,870\)
- Linje 9: \(\text{renter} = \dfrac{6{,}8 \cdot 56\,870}{100} \approx 3\,867\)
- Linje 11: \(\text{BSU} = 56\,870 + 3\,867{,}16 \approx 60\,737\)
- Linje 13 skriver ut:
2025 3867 60737
Slik fortsetter løkken for hvert år fram til 2033. Programmet skriver da ut følgende tabell:
| År | Renter (kr) | BSU-saldo (kr) |
|---|---|---|
| 2024 | 1 870 | 29 370 |
| 2025 | 3 867 | 60 737 |
| 2026 | 6 000 | 94 237 |
| 2027 | 8 278 | 130 015 |
| 2028 | 10 711 | 168 226 |
| 2029 | 13 309 | 209 036 |
| 2030 | 16 084 | 252 620 |
| 2031 | 19 048 | 299 168 |
| 2032 | 22 213 | 348 882 |
| 2033 | 25 594 | 401 976 |
Svar: Programmet beregner utviklingen av Theas BSU-konto over 10 år (2024–2033). Det viser hvor mye renter hun får hvert år, og hva totalsaldoen blir, når hun setter inn 27 500 kr årlig med 6,8 % rente. Det totale innskuddet over 10 år blir \(10 \cdot 27\,500 = 275\,000\) kr, som er innenfor maksimumsgrensen på 300 000 kr. Etter 10 år har kontoen vokst til ca. 401 976 kr, fordi programmet tar hensyn til rentes rente-effekten — rentene legges til saldoen slik at neste års renter beregnes av et større beløp.
Oppgave 7 (4 poeng)
Nedenfor ser du en tabell som viser antallet lærlinger i Rogaland, i Oslo og totalt i Norge i perioden 2018–2022.
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet for klassen din. Gjør sammenlikninger og beregninger og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
| 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Oslo | 3 626 | 3 757 | 3 685 | 3 688 | 3 799 |
| Rogaland | 5 009 | 5 432 | 5 324 | 5 589 | 5 960 |
| Norge | 43 322 | 45 323 | 44 961 | 46 705 | 48 400 |
Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet for klassen din. Gjør sammenlikninger og beregninger og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.
Her presenterer vi noen mulige beregninger og sammenlikninger som kan inngå i en presentasjon.
Prosentvis endring fra 2018 til 2022
Oslo:
\[\frac{3799 - 3626}{3626} \cdot 100\,\% = \frac{173}{3626} \cdot 100\,\% \approx 4{,}8\,\%\]
Rogaland:
\[\frac{5960 - 5009}{5009} \cdot 100\,\% = \frac{951}{5009} \cdot 100\,\% \approx 19{,}0\,\%\]
Norge totalt:
\[\frac{48400 - 43322}{43322} \cdot 100\,\% = \frac{5078}{43322} \cdot 100\,\% \approx 11{,}7\,\%\]
Kommentar: Rogaland hadde en mye sterkere vekst (19,0 %) enn både Norge totalt (11,7 %) og spesielt Oslo (4,8 %) i denne perioden.
Andel av landets lærlinger
| År | Oslo-andel | Rogaland-andel |
|---|---|---|
| 2018 | \(\frac{3626}{43322} \approx 8{,}4\,\%\) | \(\frac{5009}{43322} \approx 11{,}6\,\%\) |
| 2019 | \(\frac{3757}{45323} \approx 8{,}3\,\%\) | \(\frac{5432}{45323} \approx 12{,}0\,\%\) |
| 2020 | \(\frac{3685}{44961} \approx 8{,}2\,\%\) | \(\frac{5324}{44961} \approx 11{,}8\,\%\) |
| 2021 | \(\frac{3688}{46705} \approx 7{,}9\,\%\) | \(\frac{5589}{46705} \approx 12{,}0\,\%\) |
| 2022 | \(\frac{3799}{48400} \approx 7{,}8\,\%\) | \(\frac{5960}{48400} \approx 12{,}3\,\%\) |
Kommentar: Rogaland har en større andel av landets lærlinger (ca. 12 %) enn Oslo (ca. 8 %), selv om Oslo har flere innbyggere. Rogalands andel øker litt, mens Oslos andel synker litt over perioden.
Gjennomsnittlig antall lærlinger per år
Oslo:
\[\bar{x}_{\text{Oslo}} = \frac{3626 + 3757 + 3685 + 3688 + 3799}{5} = \frac{18\,555}{5} = 3711\]
Rogaland:
\[\bar{x}_{\text{Rogaland}} = \frac{5009 + 5432 + 5324 + 5589 + 5960}{5} = \frac{27\,314}{5} = 5462{,}8\]
Norge:
\[\bar{x}_{\text{Norge}} = \frac{43322 + 45323 + 44961 + 46705 + 48400}{5} = \frac{228\,711}{5} = 45\,742{,}2\]
Sammenligning av årlig endring
| Periode | Oslo | Rogaland | Norge |
|---|---|---|---|
| 2018–2019 | +131 (+3,6 %) | +423 (+8,4 %) | +2001 (+4,6 %) |
| 2019–2020 | -72 (-1,9 %) | -108 (-2,0 %) | -362 (-0,8 %) |
| 2020–2021 | +3 (+0,1 %) | +265 (+5,0 %) | +1744 (+3,9 %) |
| 2021–2022 | +111 (+3,0 %) | +371 (+6,6 %) | +1695 (+3,6 %) |
Oppsummering av presentasjonen:
- Antall lærlinger i Norge har økt med ca. 11,7 % fra 2018 til 2022.
- Rogaland har hatt den sterkeste veksten (19,0 %), mens Oslo har hatt en svakere vekst (4,8 %).
- Det var en nedgang i 2020 for alle regioner, trolig på grunn av koronapandemien.
- Rogaland har en høyere andel av landets lærlinger (ca. 12 %) enn Oslo (ca. 8 %), til tross for at Oslo har flere innbyggere. Dette gjenspeiler at Rogaland har en sterkere tradisjon for yrkesfag og lærlingordninger.
- I en presentasjon bør disse tallene illustreres med søylediagrammer (for å sammenligne fylker) og linjediagrammer (for å vise utvikling over tid).
Om oppgaveteksten: Oppgaveteksten i dette løsningsforslaget er gjengitt fra Utdanningsdirektoratets (UDIR) eksamen i Matematikk 2P-Y (våren 2024). Vi gjengir oppgaveteksten bevisst, slik at du kan følge løsningen uten å veksle mellom dokumenter. Eksamensoppgaver fra offentlige myndigheter er uten opphavsrettsvern etter åndsverkloven § 14 og kan gjengis fritt. Selve løsningsforslaget, forklaringene og figurene er utarbeidet av Eksamenssett.no. Opphavsrettsbeskyttede bilder og illustrasjoner fra originaleksamen er fjernet.