Løsningsforslag – Matematikk 2P-Y Høst 2024

Eksamen MAT1151

Oppgave 1 (1 poeng)

Vi vet at prisøkningen på 12 kroner tilsvarer 30 % av den opprinnelige prisen. La \(x\) være den opprinnelige prisen.

Oppgave 2 (4 poeng)

a) Gjennomsnitt og median

Gjennomsnitt:

Vi legger sammen alle verdiene og deler på antall observasjoner:

Median:

Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge:

Vi har 10 observasjoner (partall), så medianen er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien:

b) Kumulativ frekvens for 5 timer

Den kumulative frekvensen for 5 timer er antall observasjoner som er lik 5 eller mindre.

Vi ser på de sorterte dataene:

Vi teller verdiene som er 5 eller mindre: 0, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5. Det er 8 verdier.

Oppgave 3 (2 poeng)

Proporsjonale størrelser:

To størrelser er proporsjonale dersom sammenhengen kan beskrives ved \(y = k \cdot x\), der \(k\) er en konstant. Grafen er da en rett linje gjennom origo.

Av de fire grafene ser vi at grafen til \(f\) er en rett linje som går gjennom origo. Dermed viser \(f\) en proporsjonal sammenheng.

Omvendt proporsjonale størrelser:

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom sammenhengen kan beskrives ved \(y = \frac{k}{x}\), der \(k\) er en konstant. Grafen er da en kurve som synker bratt i starten og flater ut, uten å krysse aksene.

Grafen til \(q\) har nettopp denne formen: den starter høyt for små \(x\)-verdier og synker gradvis mot null når \(x\) øker. Dermed viser \(q\) en omvendt proporsjonal sammenheng.

Oppgave 4 (3 poeng)

a) Antall sirkler i figur 4 og figur 10

Vi teller antall sirkler i de tre første figurene:

Figur	1	2	3
Antall sirkler	13	17	21

Vi ser at antall sirkler øker med 4 for hver ny figur:

Vi fortsetter mønsteret:

b) Formel for antall sirkler i figur \(n\)

Siden antall sirkler øker med 4 for hver figur, har vi en lineær sammenheng. Vi bruker formelen for en aritmetisk følge:

der \(a_1 = 13\) og \(d = 4\):

Kontroll: For \(n = 1\): \(4 \cdot 1 + 9 = 13\) ✓   For \(n = 2\): \(4 \cdot 2 + 9 = 17\) ✓   For \(n = 3\): \(4 \cdot 3 + 9 = 21\) ✓

Oppgave 5 (3 poeng)

a) Praktisk tolkning av linje 2

I linje 2 står det return 200 * 0.975 ** x.

Uttrykket \(200 \cdot 0{,}975^x\) er en eksponentiell modell. Her er:

• \(200\) = startverdien, altså 200 tonn CO₂-utslipp i 2025 (år 0)
• \(0{,}975 = 1 - 0{,}025\), som betyr en reduksjon på 2,5 % per år
• \(x\) = antall år etter 2025

b) Hva verdien forteller Sara

Programmet bruker en while-løkke som går fra \(x = 0\) til \(x = 4\). For hver verdi av \(x\) beregnes \(f(x)\) og legges til variabelen \(s\).

Vi regner ut verdiene:

\(x\)	År	\(f(x) = 200 \cdot 0{,}975^x\)
0	2025	\(200{,}000\)
1	2026	\(195{,}000\)
2	2027	\(190{,}125\)
3	2028	\(185{,}372\)
4	2029	\(180{,}738\)

Programmet summerer alle disse verdiene:

Oppgave 1 (6 poeng)

a1) Salg i desember 2025

Desember 2025 er 12 måneder etter desember 2024, altså \(x = 12\).

Metode 1 – Direkte utregning:

Metode 2 – Bruk av digitalt verktøy (CAS/grafisk kalkulator):

Vi plotter funksjonen \(F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x\) og leser av funksjonsverdien for \(x = 12\) fra grafen eller tabellen. Vi får \(F(12) \approx 1051\).

a2) Når selges mer enn 2000 flasker?

Metode 1 – Algebraisk løsning:

Vi setter opp ulikheten \(F(x) > 2000\):

Vi tar logaritmen på begge sider:

Siden \(x\) må være et helt tall, er svaret \(x = 27\).

Metode 2 – Grafisk løsning:

Vi plotter \(F(x) = 620 \cdot 1{,}045^x\) og den horisontale linjen \(y = 2000\) i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet gir \(x \approx 26{,}6\). For første hele måned med mer enn 2000 flasker velger vi \(x = 27\).

\(x = 27\) tilsvarer 27 måneder etter desember 2024, altså mars 2027.

b) Prosentvis økning fra desember 2024 til desember 2026

Desember 2024 tilsvarer \(x = 0\) og desember 2026 tilsvarer \(x = 24\).

Den prosentvise økningen er:

Alternativ metode: Vi kan også beregne vekstfaktoren direkte:

Prosentvis økning \(= (2{,}876 - 1) \cdot 100\,\% = 187{,}6\,\%\).

Oppgave 2 (3 poeng)

a) Antall bakterier i kjøkkensvampen

Vi bruker midtverdien av intervallet 25–54 milliarder bakterier per cm³. Midtverdien er omtrent \(40\) milliarder per cm³, altså:

Kjøkkensvampen har et volum på 150 cm³:

Vi kan også regne med intervallet for å vise spredningen:

• Lavt anslag: \(25 \cdot 10^9 \cdot 150 = 3{,}75 \cdot 10^{12}\)
• Høyt anslag: \(54 \cdot 10^9 \cdot 150 = 8{,}1 \cdot 10^{12}\)

b) Lengde av rekken i meter

Bakteriene er mellom 0,2 og 2 mikrometer store. Vi bruker et anslag, for eksempel midtverdien \(\approx 1\) mikrometer.

Vi regner om til meter:

Vi bruker midtverdiene fra del a) og for bakteriestørrelsen:

Vi kan også vise med det laveste og høyeste anslaget:

• Lavt anslag: \(3{,}75 \cdot 10^{12} \cdot 0{,}2 \cdot 10^{-6} = 7{,}5 \cdot 10^{5}\) m
• Høyt anslag: \(8{,}1 \cdot 10^{12} \cdot 2 \cdot 10^{-6} = 1{,}62 \cdot 10^{7}\) m

Oppgave 3 (2 poeng)

Vi regner ut hvert oppgavepar:

Par 1:

Par 2:

Par 3:

Generelt argument:

La oss si at det ene spørsmålet er «\(a\) % av \(b\)» og det andre er «\(b\) % av \(a\)». Da har vi:

Siden multiplikasjon er kommutativ (rekkefølgen ikke spiller noen rolle), er \(a \cdot b = b \cdot a\), og dermed:

Oppgave 4 (2 poeng)

a) Modeller for de tre avtalene

La \(x\) være antall dager Hermann parkerer i løpet av et år, og la kostnadene i kroner være gitt ved:

b) Når lønner avtale B seg?

Avtale B lønner seg når den er billigere enn både avtale A og avtale C.

B billigere enn A:

Altså: B er billigere enn A når \(x \geq 100\).

B billigere enn C:

Altså: B er billigere enn C når \(x \leq 249\).

Oppgave 5 (6 poeng)

a) Medianalder, gjennomsnittsalder og standardavvik for lag A

Aldrene sortert i stigende rekkefølge:

Medianalder:

Med 6 observasjoner er medianen gjennomsnittet av den 3. og 4. verdien:

Gjennomsnittsalder:

Standardavvik:

Vi beregner avvikene fra gjennomsnittet:

Alder \(x_i\)	Avvik \(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)
15	\(-25\)	625
18	\(-22\)	484
24	\(-16\)	256
45	\(5\)	25
60	\(20\)	400
78	\(38\)	1444

b) Tolkning av opplysningene om lag B og lag C

Lag B: Medianalderen og gjennomsnittsalderen er høyere enn for lag A (dvs. over 34,5 og over 40). Standardavviket er mindre (under 23,2). Dette betyr at personene på lag B generelt er eldre enn på lag A, men at aldrene er mer samlet/jevnt fordelt. Det er mindre spredning i aldrene, og personene er nærmere hverandre i alder.

Lag C: Medianalderen er lavere enn for lag A (under 34,5), men gjennomsnittsalderen er høyere (over 40). Standardavviket er også høyere (over 23,2). At gjennomsnittet er høyere enn medianen tyder på at det finnes en eller flere svært gamle personer som trekker gjennomsnittet opp. Det høye standardavviket bekrefter at det er stor spredning i aldrene. Trolig er de fleste på laget unge, men noen få er svært gamle.

c) Eksempel på mulige aldersfordelinger

Lag B (krav: median > 34,5 , gjennomsnitt > 40 , standardavvik < 23,2):

Forslag: 35, 38, 42, 44, 48, 53

Sortert: \(35, \; 38, \; 42, \; 44, \; 48, \; 53\)

Median: \(\frac{42 + 44}{2} = 43 > 34{,}5\) ✓

Gjennomsnitt:

Standardavvik:

Lag C (krav: median < 34,5 , gjennomsnitt > 40 , standardavvik > 23,2):

Forslag: 10, 15, 20, 40, 55, 100

Sortert: \(10, \; 15, \; 20, \; 40, \; 55, \; 100\)

Median: \(\frac{20 + 40}{2} = 30 < 34{,}5\) ✓

Gjennomsnitt:

Gjennomsnittet må være strengt høyere enn 40, så vi justerer: 10, 15, 20, 40, 55, 105.

Median: \(\frac{20 + 40}{2} = 30 < 34{,}5\) ✓

Standardavvik:

Oppgave 6 (3 poeng)

a) Bestem \(a\) og \(b\)

Vi bruker modellen \(L(x) = a \cdot x^b\) og setter inn to av datapunktene.

Punkt 1: \((1, \, 10)\):

Altså er \(a = 10\).

Punkt 2: \((64, \, 40)\):

Vi vet at \(64 = 4^3\), så:

Kontroll:

• \(L(8) = 10 \cdot 8^{1/3} = 10 \cdot 2 = 20\) ✓
• \(L(22) = 10 \cdot 22^{1/3} \approx 10 \cdot 2{,}802 \approx 28{,}0\) ✓
• \(L(36) = 10 \cdot 36^{1/3} \approx 10 \cdot 3{,}302 \approx 33{,}0\) ✓
• \(L(50) = 10 \cdot 50^{1/3} \approx 10 \cdot 3{,}684 \approx 36{,}8 \approx 37\) ✓

b) Når klarer Hanne å løpe 45 minutter?

Vi setter \(L(x) = 45\):

Vi opphøyer begge sider i tredje:

Dag 91,125 tilsvarer omtrent dag 92. Vi regner om til uker:

c) Gjennomsnittlig økning per dag fra dag 1 til dag 60

Vi beregner løpetiden på dag 1 og dag 60:

Den gjennomsnittlige økningen per dag er:

Oppgave 7 (4 poeng)

Vi gjør flere beregninger og sammenlikninger basert på tabellen.

Beregning 1: Total arbeidstid (inntektsgivende + husholdsarbeid)

	1970	1990	2010
Menn	\(5{,}48 + 2{,}22 = 7{,}70\)	\(4{,}50 + 2{,}60 = 7{,}10\)	\(4{,}17 + 3{,}00 = 7{,}17\)
Kvinner	\(1{,}93 + 5{,}92 = 7{,}85\)	\(2{,}80 + 4{,}37 = 7{,}17\)	\(3{,}02 + 3{,}83 = 6{,}85\)

Kommentar: I 1970 hadde kvinner den høyeste totale arbeidstiden med 7,85 timer mot mennenes 7,70 timer. I 2010 arbeidet menn totalt 7,17 timer og kvinner 6,85 timer. Den totale arbeidstiden har blitt jevnere, men menn arbeider nå litt mer totalt.

Beregning 2: Endring i inntektsgivende arbeid

Menn:

Kvinner:

Kommentar: Menn bruker ca. 24 % mindre tid på inntektsgivende arbeid i 2010 enn i 1970. Kvinner bruker ca. 57 % mer tid, noe som viser en tydelig utjevning mellom kjønnene.

Beregning 3: Endring i husholdsarbeid

Menn:

Kvinner:

Kommentar: Kvinner har redusert husholdsarbeidet med over 2 timer, mens menn har økt sitt med nesten 1 time. Forskjellen mellom kjønnene i husholdsarbeid har krympet kraftig fra 3,70 timer i 1970 til 0,83 timer i 2010.

Beregning 4: Kjønnsforskjellen i inntektsgivende arbeid

År	Forskjell (Menn − Kvinner)
1970	\(5{,}48 - 1{,}93 = 3{,}55\) timer
1990	\(4{,}50 - 2{,}80 = 1{,}70\) timer
2010	\(4{,}17 - 3{,}02 = 1{,}15\) timer

Kommentar: Kjønnsforskjellen i inntektsgivende arbeid har minsket kraftig fra 3,55 timer i 1970 til 1,15 timer i 2010.

Beregning 5: Tid brukt på utdanning

Både menn og kvinner har økt tiden brukt på utdanning fra 1970 til 2010, men endringene er relativt små. Kvinner har økt mest prosentvis: fra 0,28 til 0,47 timer (+68 %), mens menn har økt fra 0,38 til 0,45 timer (+18 %).

Diagram: Inntektsgivende arbeid og husholdsarbeid (timer per dag)

Oppgave 8 (3 poeng)

a) Antall kilometer i uke 50

Dette er en geometrisk følge med første ledd \(a_1 = 40\) og vekstfaktor \(k = 1{,}05\).

Antall kilometer i uke \(n\) er:

For uke 50:

b) Samlet antall kilometer i løpet av 50 uker

Vi bruker formelen for summen av en geometrisk rekke:

Med \(a_1 = 40\), \(k = 1{,}05\) og \(n = 50\):