1. Residyet og Laurentrekka

Anta at \(f\) har en isolert singularitet i \(z_0\). Da finnes en Laurentrekke \(f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\) gyldig i en punktert omegn. Residyet er definert som koeffisienten til \((z-z_0)^{-1}\):

\(\operatorname{Res}_{z=z_0}f = a_{-1}\)

Singularitetene klassifiseres etter de negative potensene i Laurentrekka:

Hevbar: ingen negative potenser (Res \(=0\)). Pol av orden \(m\): endelig mange, ned til \((z-z_0)^{-m}\). Vesentlig: uendelig mange negative potenser.

2. Formler for residyet

Enkel pol: \(\operatorname{Res}_{z=z_0}f = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)\)

Pol av orden \(m\): \(\operatorname{Res}_{z=z_0}f = \dfrac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big]\)

Kvotientformel (kun enkel pol): hvis \(f=p/q\), \(q(z_0)=0\), \(q'(z_0)\neq0\), \(p(z_0)\neq0\): \(\operatorname{Res}_{z=z_0}f=\dfrac{p(z_0)}{q'(z_0)}\)

3. Residyteoremet

La \(f\) være analytisk på og inne i en enkel lukket, positivt orientert kontur \(C\), bortsett fra isolerte singulariteter \(z_1,\dots,z_n\) inne i \(C\). Da er

\(\displaystyle\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}_{z=z_k}f(z)\)

Ved negativ orientering (med klokka) snur fortegnet: \(-2\pi i\sum\operatorname{Res}\). Cauchys integralformel er spesialtilfellet med én enkel pol.

4. Reelle integraler via residyer

For \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx\) av rasjonell type lukker man integrasjonsveien med en stor halvsirkel i øvre halvplan. Hvis grad(nevner) \(\geq\) grad(teller) \(+2\), forsvinner halvsirkelbidraget når \(R\to\infty\), og

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = 2\pi i\sum_{\text{poler i øvre halvplan}}\operatorname{Res}\,f\)

For integraler med \(\cos x\) eller \(\sin x\) erstattes faktoren med \(e^{iz}\) (Jordans lemma), og man tar real- eller imaginærdel til slutt.

5. Gjennomgåtte eksempler

Eksempel 1: Beregn \(\oint_{|z|=3}\dfrac{z}{(z-1)(z+2)}\,dz\).

Poler: \(z=1\) og \(z=-2\), begge enkle og inne i \(|z|=3\).

\(\operatorname{Res}_{z=1}=\lim_{z\to1}\dfrac{z}{z+2}=\dfrac{1}{3}\)

\(\operatorname{Res}_{z=-2}=\lim_{z\to-2}\dfrac{z}{z-1}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}\)

\(\oint = 2\pi i\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\right)=2\pi i\)

Eksempel 2: Beregn \(\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{(x^2+1)^2}\).

Nevner har grad 4, teller grad 0 → halvsirkelbidraget forsvinner.

Pol i øvre halvplan: \(z=i\), orden 2. Skriv \((z^2+1)^2=(z-i)^2(z+i)^2\).

\(\operatorname{Res}_{z=i}=\lim_{z\to i}\dfrac{d}{dz}\dfrac{1}{(z+i)^2}=\lim_{z\to i}\dfrac{-2}{(z+i)^3}\)

\(=\dfrac{-2}{(2i)^3}=\dfrac{-2}{-8i}=\dfrac{1}{4i}=-\dfrac{i}{4}\)

\(\int = 2\pi i\cdot\left(-\dfrac{i}{4}\right)=\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}\)

Eksempel 3 (Laurent): Beregn \(\operatorname{Res}_{z=0}\dfrac{\cos z}{z^3}\).

\(\cos z = 1 - \dfrac{z^2}{2}+\dfrac{z^4}{24}-\cdots\)

\(\dfrac{\cos z}{z^3}=\dfrac{1}{z^3}-\dfrac{1}{2z}+\dfrac{z}{24}-\cdots\)

Koeffisienten til \(1/z\) er \(-\dfrac{1}{2}\), så \(\operatorname{Res}_{z=0}=-\dfrac{1}{2}\).

Studieguide: Residyteorem