Konvergensradius og konvergenssirkel

En potensrekke \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n\) konvergerer for \(|z-z_0|R\), der R er konvergensradiusen. Området er en sirkulær disk (konvergenssirkelen) i kompleksplanet. På selve randen \(|z-z_0|=R\) gir testene ingen informasjon — den må undersøkes separat.

Forholdstest (kvotientform): \(R=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|\) når grensen eksisterer.

Cauchy–Hadamard (rotteste): \(\dfrac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\). Denne gjelder alltid.

Tolkning: \(R\) = avstanden fra \(z_0\) til nærmeste singularitet til funksjonen rekken representerer.

Eksempel 1: Finn konvergensradiusen til \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{n!}{n^n}z^n\).

\(a_n=\dfrac{n!}{n^n}\), bruk forholdstest:

\(\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\dfrac{n!/n^n}{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}=\dfrac{n!\,(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\,n^n}\)

\(=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)\,n^n}=\dfrac{(n+1)^n}{n^n}=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac1n\right)^n\)

\(\to e\) når \(n\to\infty\)

Altså \(R=e\).

Geometrisk rekke og eksponentialrekke

To grunnleggende rekker dukker opp overalt — i Laurentrekker, residyer og Taylorutvikling.

Geometrisk rekke: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} z^n=\dfrac{1}{1-z}\) for \(|z|<1\) (\(R=1\)). Endelig sum: \(\sum_{n=0}^{N-1}z^n=\dfrac{1-z^N}{1-z}\).

Eksponentialrekke: \(\displaystyle e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}\) for alle z (\(R=\infty\)). Tilsvarende \(\cos z=\sum(-1)^n\dfrac{z^{2n}}{(2n)!}\), \(\sin z=\sum(-1)^n\dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}\).

Eksempel 2: Bestem konvergensradiusen til \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{2n}}{4^n}\) og finn sumfunksjonen.

Substituer \(w=z^2\): rekken blir \(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{w^n}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{w}{4}\right)^n\)

Geometrisk i \(w/4\): konvergerer for \(\left|\dfrac{w}{4}\right|<1\Rightarrow |w|<4\)

Da \(|z|^2<4\Rightarrow |z|<2\), altså \(R=2\)

Sum: \(\dfrac{1}{1-w/4}=\dfrac{4}{4-w}=\dfrac{4}{4-z^2}\)

Uniform konvergens og Weierstrass M-test

Uniform konvergens er sterkere enn punktvis: konvergenshastigheten er ensartet over hele området, slik at samme N virker for alle punkter. Dette bevarer kontinuitet og tillater leddvis integrasjon. Det viktigste verktøyet er M-testen.

Weierstrass M-test: Hvis \(|f_n(z)|\le M_n\) for alle z i området, og \(\sum_{n} M_n\) konvergerer, så konvergerer \(\sum f_n(z)\) uniformt og absolutt på området.

Strategi: finn en konstant øvre skranke \(M_n\) (uavhengig av z) for hvert ledd, og vis at \(\sum M_n<\infty\).

Eksempel 3: Vis at \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n^2}\) konvergerer uniformt på \(\mathbb{R}\).

For alle reelle x: \(|\cos(nx)|\le 1\)

Derfor \(\left|\dfrac{\cos(nx)}{n^2}\right|\le \dfrac{1}{n^2}=M_n\)

\(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}<\infty\) (konvergent p-rekke, \(p=2>1\))

M-testen oppfylt \(\Rightarrow\) uniform konvergens på hele \(\mathbb{R}\)

Eksempel 4 (når M-testen feiler): Undersøk \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}\) på \([0,1)\).

Beste skranke: \(\sup_{0\le x<1}\left|\dfrac{x^n}{n}\right|=\dfrac{1}{n}\) (grense \(x\to1^-\))

Den minste mulige \(M_n=\dfrac1n\), men \(\sum\dfrac1n\) divergerer (harmonisk)

M-testen gir ingen konklusjon — og faktisk er konvergensen ikke uniform

Sumfunksjonen \(-\ln(1-x)\to\infty\) når \(x\to1\), så uniformitet er umulig

Men på \([0,r]\) med \(r<1\): \(M_n=r^n/n\) gir \(\sum M_n<\infty\) \(\Rightarrow\) uniform der

Absolutt vs uniform konvergens

Disse er uavhengige begreper. Absolutt konvergens (\(\sum|a_n|<\infty\)) gjelder for en fast z og tillater omordning. Uniform konvergens gjelder ensartet over et område. M-testen er kraftig nettopp fordi den gir begge på én gang. En potensrekke konvergerer absolutt for \(|z-z_0|

Studieguide: Potensrekker og konvergens