Hvorfor Laplace for IVP-er?

En Laplace-transform tar en funksjon \(f(t)\) (definert for \(t\ge 0\)) over til \(F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt\). Det avgjørende for differensiallikninger er at derivasjon i t-domenet blir multiplikasjon med \(s\) i s-domenet, samtidig som begynnelsesverdiene dukker opp som ekstraledd. Dermed forvandles en ODE til en ren algebraisk ligning i \(Y(s)\), som vi løser og deretter inverterer.

Derivasjonsreglene (motoren bak metoden):

\(\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)\)

\(\mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\)

Begynnelsesbetingelsene \(y(0)\) og \(y'(0)\) settes inn direkte — ingen behov for å bestemme integrasjonskonstanter etterpå.

Standardtabellen

\(\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}\qquad \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}\)

\(\mathcal{L}\{\cos\omega t\}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\qquad \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}\)

\(\mathcal{L}\{\cosh at\}=\dfrac{s}{s^2-a^2}\qquad \mathcal{L}\{\sinh at\}=\dfrac{a}{s^2-a^2}\)

Den generelle oppskriften

1) Transformér hele ligningen og sett inn begynnelsesbetingelsene. 2) Løs algebraisk for \(Y(s)\). 3) Forenkle med delbrøker, fullfør kvadrat, eller skiftteoremer. 4) Ta invers Laplace ledd for ledd.

Eksempel 1: Andreordens IVP med distinkte røtter. Løs \(y''+3y'+2y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=0\).

Transformér: \((s^2Y-s\cdot 1-0)+3(sY-1)+2Y=0\)

Samle: \((s^2+3s+2)Y=s+3\)

Løs: \(Y=\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}\)

Delbrøker (dekkemetoden): \(A=\dfrac{-1+3}{-1+2}=2,\quad B=\dfrac{-2+3}{-2+1}=-1\)

\(Y=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}\)

Invers: \(y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}\)

Skiftteoremene

To forskyvningsteoremer er helt sentrale. s-skift håndterer eksponentielle faktorer, mens t-skift håndterer tidsforsinkelse og diskontinuerlige pådrag.

s-skift (1. forskyvning): \(\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)\)

t-skift (2. forskyvning): \(\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)\)

der \(u(t-a)\) er Heaviside-funksjonen, som er \(0\) for \(t

Heaviside og diskontinuerlige pådrag

Et pådrag som slås av og på modelleres med Heaviside-ledd. En firkantpuls som er 1 mellom \(t=1\) og \(t=3\) skrives \(u(t-1)-u(t-3)\), med transform \(\dfrac{e^{-s}-e^{-3s}}{s}\). Når man tar invers Laplace av et uttrykk med faktor \(e^{-as}\), gir t-skift automatisk en \(u(t-a)\) ganget med den forskjøvne funksjonen.

Eksempel 2: IVP med Heaviside-pådrag. Løs \(y'+2y=u(t-1),\ y(0)=0\).

Transformér: \(sY+2Y=\dfrac{e^{-s}}{s}\)

Løs: \(Y=\dfrac{e^{-s}}{s(s+2)}\)

Delbrøker uten eksponential: \(\dfrac{1}{s(s+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}\right)\)

Invers av brøkdelen: \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+2)}\right\}=\dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})\)

t-skift med \(a=1\): \(y(t)=\dfrac{1}{2}\big(1-e^{-2(t-1)}\big)u(t-1)\)

Dirac delta og impulssvar

Dirac-deltaet \(\delta(t-a)\) modellerer en idealisert øyeblikkelig impuls, og oppfyller silsetningen \(\int f(t)\delta(t-a)\,dt=f(a)\). Transformen er \(\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}\). Løsningen av \(L[y]=\delta(t)\) med null begynnelsesbetingelser kalles impulssvaret \(h(t)\); transformen er overføringsfunksjonen \(H(s)=1/p(s)\), der \(p(s)\) er det karakteristiske polynomet. Svaret på et vilkårlig pådrag fås ved konvolusjon: \(y=h*f\), siden \(\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s)\).

Eksempel 3: Impulspådrag. Løs \(y''+y=\delta(t-\pi),\ y(0)=0,\ y'(0)=0\).

Transformér: \((s^2+1)Y=e^{-\pi s}\)

Løs: \(Y=\dfrac{e^{-\pi s}}{s^2+1}\)

Grunnfunksjon: \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+1}\right\}=\sin t\)

t-skift med \(a=\pi\): \(y(t)=u(t-\pi)\sin(t-\pi)\)

Systemet hviler til \(t=\pi\), så settes det i svingning av impulsen.

Resonans og demping

For et udempet system \(y''+\omega_0^2y=\sin(\omega t)\) oppstår resonans når \(\omega=\omega_0\). Da blir \((s^2+\omega_0^2)^2\) en dobbel faktor i nevneren, og inversen inneholder et sekulært ledd \(\propto t\cos\omega_0 t\) som vokser ubegrenset. For et dempet system \(my''+cy'+ky=0\) styres oppførselen av diskriminanten \(c^2-4mk\): overdempet (\(>0\), to reelle røtter, ingen svingning), kritisk dempet (\(=0\), dobbel rot, raskest mulig retur uten svingning, løsning \((A+Bt)e^{rt}\)), og underdempet (\(<0\), dempet svingning).

Eksempel 4: Resonans. Løs \(y''+4y=\sin 2t,\ y(0)=0,\ y'(0)=0\).

\(\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\dfrac{2}{s^2+4}\), så \((s^2+4)Y=\dfrac{2}{s^2+4}\)

Løs: \(Y=\dfrac{2}{(s^2+4)^2}\) — dobbel faktor signaliserer resonans

Standardinvers: \(\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{(s^2+4)^2}\right\}=\dfrac{1}{8}\sin 2t-\dfrac{1}{4}t\cos 2t\)

Det sekulære leddet \(-\tfrac{1}{4}t\cos 2t\) gir voksende amplitude.

Studieguide: Laplace-transform og IVP

Studieguide: Laplace-transform og IVP