1. Grunnleggende oppsett

En funksjon med periode \(2\pi\) som oppfyller Dirichlets betingelser kan skrives som en Fourierrekke. Vi bruker konvensjonen med konstantledd \(a_0\) (gjennomsnittet), ikke \(a_0/2\):

Fourierrekke (periode \(2\pi\)):

\(f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)\)

\(a_0=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx\)

\(a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx\)

\(b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx\)

For periode \(2L\): erstatt \(\cos nx\to\cos\frac{n\pi x}{L}\), \(\sin nx\to\sin\frac{n\pi x}{L}\), og \(\pi\to L\) i nevnerne (\(2\pi\to 2L\) for \(a_0\)).

2. Symmetri: odde og like funksjoner

Sjekk alltid symmetrien FØRST — det halverer arbeidet.

Like funksjon (\(f(-x)=f(x)\)): ren cosinusrekke. Alle \(b_n=0\), og \(a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f\cos nx\,dx\).

Odde funksjon (\(f(-x)=-f(x)\)): ren sinusrekke. \(a_0=a_n=0\), og \(b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f\sin nx\,dx\).

Begrunnelse: produktet av en odde og en like funksjon er odde, og integralet av en odde funksjon over \([-\pi,\pi]\) er null.

3. Eksempel: sagtannbølgen \(f(x)=x\)

Finn Fourierrekken til \(f(x)=x\) på \((-\pi,\pi)\).

\(f(x)=x\) er odde \(\Rightarrow a_0=0,\ a_n=0\).

\(b_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^\pi x\sin nx\,dx\)

Delvis integrasjon, \(u=x,\ dv=\sin nx\,dx\): \(\int_0^\pi x\sin nx\,dx=\left[-\dfrac{x\cos nx}{n}\right]_0^\pi+\dfrac{1}{n}\int_0^\pi\cos nx\,dx\)

\(=-\dfrac{\pi\cos n\pi}{n}+\dfrac{1}{n}\Big[\dfrac{\sin nx}{n}\Big]_0^\pi=-\dfrac{\pi(-1)^n}{n}=\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}\)

\(b_n=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{\pi(-1)^{n+1}}{n}=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\)

Svar: \(x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\)

4. Eksempel: \(f(x)=x^2\) og summen \(\sum 1/n^2\)

Finn Fourierrekken til \(f(x)=x^2\) på \((-\pi,\pi)\), og bruk den til å vise \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\).

\(x^2\) er like \(\Rightarrow b_n=0\).

\(a_0=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi^3}{3}=\dfrac{\pi^2}{3}\)

\(a_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx\). To delvise integrasjoner gir \(\int_0^\pi x^2\cos nx\,dx=\dfrac{2\pi(-1)^n}{n^2}\).

\(a_n=\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{2\pi(-1)^n}{n^2}=\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\)

Rekke: \(x^2=\dfrac{\pi^2}{3}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx\)

Sett \(x=\pi\) (kontinuitetspunkt): \(\pi^2=\dfrac{\pi^2}{3}+\displaystyle\sum\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\cdot(-1)^n=\dfrac{\pi^2}{3}+4\sum\dfrac{1}{n^2}\)

\(4\sum\dfrac{1}{n^2}=\pi^2-\dfrac{\pi^2}{3}=\dfrac{2\pi^2}{3}\ \Rightarrow\ \boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}}\)

5. Konvergens, Dirichlet og Gibbs

Dirichlets teorem: Hvis \(f\) er stykkevis kontinuerlig med stykkevis kontinuerlig derivert, konvergerer Fourierrekken

• mot \(f(x)\) i hvert kontinuitetspunkt,

• mot middelverdien \(S(x_0)=\frac{1}{2}\big[f(x_0^-)+f(x_0^+)\big]\) i hvert hopppunkt.

Gibbs-fenomenet: nær et hopp får de partielle summene et oversving på ca. \(9\%\) av språnghøyden som ikke forsvinner med flere ledd — det forskyves bare nærmere diskontinuiteten.

6. Skissere summen \(S(x)\)

For å skissere \(S(x)\): (1) tegn den periodiske utvidelsen av \(f\), (2) sett \(S(x)=f(x)\) i kontinuitetspunkter, (3) marker et punkt på middelverdien i hvert hopp — inkludert hopp som oppstår ved intervallendene \(x=\pm\pi\) hvis \(f(-\pi^+)\neq f(\pi^-)\). For sagtannbølgen \(f(x)=x\) blir \(S(\pm\pi)=\frac{1}{2}(\pi+(-\pi))=0\).

7. Halvbølgeutvidelser

En funksjon definert kun på \((0,L)\) kan utvides på to måter: odde (gir ren sinusrekke) eller like (gir ren cosinusrekke). Begge representerer samme \(f\) på \((0,L)\), men har ulik oppførsel utenfor. Dette er typisk i randverdiproblemer for varmeligningen.

Studieguide: Fourierrekker