1. Tre ligninger, én metode

Etter varmeligningen \(u_t=c^2u_{xx}\) møter du to andre klassiske PDE-er i TMA4120: bølgeligningen \(u_{tt}=c^2u_{xx}\) og Laplaceligningen \(u_{xx}+u_{yy}=0\). Metoden er identisk — separasjon av variabler — men det som skjer med den «andre» variabelen er forskjellig, og det er nettopp der eksamensoppgavene skiller seg.

Oversikt:

\(u_t=c^2u_{xx}\): \(G'=-c^2p^2G\) \(\Rightarrow\) \(G_n=e^{-\lambda_n^2t}\) — dempning.

\(u_{tt}=c^2u_{xx}\): \(G''=-c^2p^2G\) \(\Rightarrow\) \(G_n=A\cos\lambda_nt+B\sin\lambda_nt\) — svingning.

\(u_{xx}+u_{yy}=0\): \(Y''=+p^2Y\) \(\Rightarrow\) \(Y_n=A\cosh(py)+B\sinh(py)\) — eksponentiell vekst/avtakning.

Fortegnet i den andre ODE-en er alt som skiller dem. Egenverdiproblemet i \(x\) — og dermed egenfunksjonene \(\sin\) eller \(\cos\) — er helt likt i alle tre.

2. Bølgeligningen med faste ender

Sett \(u=F(x)G(t)\) i \(u_{tt}=c^2u_{xx}\). Da blir \(FG''=c^2F''G\), og deling på \(c^2FG\) gir

\[\frac{G''}{c^2G}=\frac{F''}{F}=k.\]

Randbetingelsene \(u(0,t)=u(L,t)=0\) tvinger \(F(0)=F(L)=0\). Nøyaktig som i varmeligningen gir \(k\ge 0\) bare \(F\equiv 0\), så \(k=-p^2<0\) og

\[F_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad \lambda_n=\frac{cn\pi}{L},\qquad G_n(t)=A_n\cos(\lambda_nt)+B_n\sin(\lambda_nt).\]

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(A_n\cos\lambda_nt+B_n\sin\lambda_nt\Big)\sin\frac{n\pi x}{L}.\]

Fordi ligningen er andre orden i \(t\), trengs to initialbetingelser. Startposisjonen gir \(A_n\), starthastigheten gir \(B_n\):

\[u(x,0)=\sum A_n\sin\frac{n\pi x}{L}=f(x),\qquad u_t(x,0)=\sum \lambda_nB_n\sin\frac{n\pi x}{L}=g(x).\]

Eksempel 1. \(u_{tt}=u_{xx}\) på \((0,\pi)\), faste ender, \(u(x,0)=4\sin 3x\), \(u_t(x,0)=2\sin x-6\sin 5x\).

\(c=1,\ L=\pi\Rightarrow\lambda_n=n\).

Fra \(u(x,0)\): \(A_3=4\), alle andre \(A_n=0\).

Fra \(u_t(x,0)=\sum nB_n\sin nx\): \(1\cdot B_1=2\Rightarrow B_1=2\); \(5B_5=-6\Rightarrow B_5=-\tfrac65\).

\(u(x,t)=4\cos(3t)\sin(3x)+2\sin(t)\sin(x)-\tfrac65\sin(5t)\sin(5x)\).

Merk faktoren \(n\) i hastighetsbetingelsen — den glemmes oftere enn noe annet i dette temaet.

3. Dempede og modifiserte bølgeligninger

Eksamensoppgavene bruker sjelden den rene bølgeligningen. Typiske varianter er \(u_{tt}+2\kappa u_t=c^2u_{xx}\) (dempning) og \(u_t+au=c^2u_{xx}\) (varmetap til omgivelsene). Fremgangsmåten er uendret: randbetingelsene gir de samme \(X_n\), og alt ekstra havner i ODE-en for \(T\).

Eksempel 2. \(u_{tt}+2u_t=u_{xx}\) på \((0,1)\) med \(u_x(0,t)=u_x(1,t)=0\).

Neumann gir \(X_n=\cos(n\pi x)\), \(n=0,1,2,\dots\)

Tidsligning: \(T''+2T'+(n\pi)^2T=0\), altså \(r^2+2r+(n\pi)^2=0\) og \(r=-1\pm\sqrt{1-(n\pi)^2}\).

\(n=0\): \(r=0,-2\Rightarrow T_0=a+be^{-2t}\).

\(n\ge1\): \((n\pi)^2\ge\pi^2>1\), så \(r=-1\pm i\omega_n\) med \(\omega_n=\sqrt{(n\pi)^2-1}\), og \(T_n=e^{-t}(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt)\).

Med \(u(x,0)=5-3\cos(2\pi x)\) og \(u_t(x,0)=0\): \(a=5,\ b=0\), \(A=-3\), \(B=A/\omega=-3/\omega\).

\(u(x,t)=5-3e^{-t}\big(\cos\omega t+\tfrac1\omega\sin\omega t\big)\cos(2\pi x)\), \(\omega=\sqrt{4\pi^2-1}\).

Har ligningen en tidsavhengig koeffisient, for eksempel \(\frac{1}{1+t}u_t=u_{xx}\), blir tidsdelen en separabel ODE: \(\frac{G'}{G}=-n^2(1+t)\) gir \(G_n=e^{-n^2(t+t^2/2)}\). Siden \(G_n(0)=1\) leses koeffisientene fortsatt av ved \(t=0\).

4. Laplaceligningen på et rektangel

Her er de to variablene likestilte, og du må selv avgjøre hvilken retning som gir egenverdiproblemet. Regelen: egenverdiproblemet ligger i den retningen der to motstående sider har homogene randbetingelser.

Med \(u=X(x)Y(y)\) i \(u_{xx}+u_{yy}=0\):

\[\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=k.\]

Homogen Dirichlet i \(x\) på \((0,L)\) gir \(k=-\left(\tfrac{n\pi}{L}\right)^2\) og \(X_n=\sin\frac{n\pi x}{L}\). Da blir \(Y''-\left(\tfrac{n\pi}{L}\right)^2Y=0\), altså

\[Y_n(y)=A_n\cosh\frac{n\pi y}{L}+B_n\sinh\frac{n\pi y}{L}.\]

Velg alltid den kombinasjonen som gjør den homogene betingelsen i \(y\) triviell: \(u(x,0)=0\Rightarrow\sinh(ny)\); \(u_y(x,0)=0\Rightarrow\cosh(ny)\).

Eksempel 3. \(u_{xx}+u_{yy}=0\) på \((0,\pi)\times(0,1)\), \(u=0\) på \(x=0,\pi\) og på \(y=0\), \(u(x,1)=3\sin 2x-\sin 5x\).

\(u(x,y)=\sum B_n\sin(nx)\sinh(ny)\) (fordi \(\sinh 0=0\)).

Ved \(y=1\): \(B_2\sinh 2=3\) og \(B_5\sinh 5=-1\).

\(u(x,y)=\dfrac{3\sinh(2y)}{\sinh 2}\sin(2x)-\dfrac{\sinh(5y)}{\sinh 5}\sin(5x)\).

Eksempel 4 (Neumann på tre sider). \(u_{xx}+u_{yy}=0\) på enhetskvadratet, \(u_x(0,y)=u_x(1,y)=0\), \(u_y(x,0)=0\), \(u(x,1)=7-4\cos(3\pi x)\).

Neumann i \(x\): \(X_n=\cos(n\pi x)\), \(n=0,1,2,\dots\)

\(n=0\): \(Y_0''=0\Rightarrow Y_0=a+by\); \(u_y(x,0)=0\Rightarrow b=0\).

\(n\ge1\): \(u_y(x,0)=0\Rightarrow Y_n=\cosh(n\pi y)\).

Ved \(y=1\): \(a=7\) og \(A_3\cosh(3\pi)=-4\).

\(u(x,y)=7-\dfrac{4\cosh(3\pi y)}{\cosh(3\pi)}\cos(3\pi x)\).

Er randfunksjonen ikke en endelig sum av egenfunksjoner, må du regne Fourier-koeffisienter først og deretter dele på \(\sinh(n\pi)\) eller \(\cosh(n\pi)\). Slike rekker konvergerer ekstremt raskt, fordi \(\sinh(ny)/\sinh(nL)\approx e^{-n(L-y)}\).

5. Helmholtz-varianten

Ligningen \(u_{xx}+u_{yy}-k^2u=0\) dukker opp på eksamen som en «skrudd» Laplaceligning. Med \(X_n=\sin(nx)\) blir

\[\frac{Y''}{Y}=k^2+n^2>0\ \Rightarrow\ Y_n=A\cosh(\mu_ny)+B\sinh(\mu_ny),\qquad \mu_n=\sqrt{n^2+k^2}.\]

Alt annet er identisk. Eksempel: med \(k^2=9\), \(u=0\) på tre sider og \(u(x,1)=2\sin x\), er \(\mu_1=\sqrt{10}\) og \(u(x,y)=\dfrac{2\sinh(\sqrt{10}\,y)}{\sinh\sqrt{10}}\sin x\). Kontroll: \(u_{xx}=-u\), \(u_{yy}=10u\), så \(u_{xx}+u_{yy}-9u=0\).

6. PDE på hele linjen: Fouriertransform i stedet for separasjon

Er romområdet hele \(\mathbb{R}\), finnes ingen randbetingelser å kvantisere med — da bruker du Fouriertransformen i \(x\) i stedet. Regelen \(\mathcal{F}\{u_x\}=iw\hat u\) gjør PDE-en om til en ODE i \(t\) med \(w\) som parameter.

Tre steg: (1) transformer i \(x\), (2) løs ODE-en med \(\hat u(w,0)=\hat f(w)\), (3) invertér — eller la svaret stå som \(\hat u\) hvis oppgaven ber om det.

\(u_t=c^2u_{xx}\): \(\hat u_t=-c^2w^2\hat u\Rightarrow \hat u=\hat f(w)e^{-c^2w^2t}\).

\(u_{tt}=c^2u_{xx}\), \(u_t(x,0)=0\): \(\hat u=\hat f(w)\cos(cwt)\).

\(u_t+au_x+bu=0\): \(\hat u=\hat g(w)e^{-(b+iaw)t}\Rightarrow u=e^{-bt}g(x-at)\).

Eksempel 5 (varmekjernen). \(v_t=5v_{xx}\) med \(v(x,0)=\delta(x)\).

\(\hat\delta(w)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\), så \(\hat v(w,t)=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-5w^2t}\).

Invertér med \(\int e^{-aw^2+iwx}dw=\sqrt{\pi/a}\,e^{-x^2/(4a)}\), \(a=5t\):

\(v(x,t)=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{\tfrac{\pi}{5t}}e^{-x^2/(20t)}=\dfrac{1}{2\sqrt{5\pi t}}e^{-x^2/(20t)}\).

Skal du vise et energiestimat, bruk Parseval: \(\int|u|^2dx=\int|\hat u|^2dw\). Har du \(|\hat u(w,t)|\le|\hat f(w)|\) punktvis — noe som følger direkte når \(\hat u=\hat f\cdot(\text{faktor med absoluttverdi}\le1)\) — får du \(\|u(\cdot,t)\|_2\le\|f\|_2\) gratis.

7. d'Alemberts løsning

På hele linjen med \(u(x,0)=f(x)\) og \(u_t(x,0)=g(x)\) er den lukkede løsningen

\[u(x,t)=\tfrac12\big(f(x-ct)+f(x+ct)\big)+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.\]

Tolkningen er at startprofilen deles i to halvparter som løper i hver sin retning med hastighet \(c\). Verdien i \((x_0,t_0)\) avhenger bare av startdata i intervallet \([x_0-ct_0,\ x_0+ct_0]\) — bølgeligningen har endelig utbredelseshastighet, i motsetning til varmeligningen. Skal du skissere strengens form ved en gitt tid, er det raskere å tegne de to translaterte halvprofilene og legge dem sammen enn å summere en rekke.

Studieguide: Bølgeligning og Laplaceligning ved separasjon

Studieguide: Bølgeligning og Laplaceligning ved separasjon