TMA4121 · NTNU

Studieguide for TMA4121 Matematikk 4K

Komplett pensumoversikt for matematikk 4k ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne studieguiden dekker TMA4120 Matematikk 4K (kompleks analyse og transformasjoner) ved NTNU, forankret i tidligere eksamener. Hver seksjon gir forklaringer, gjennomgåtte eksempler, nøkkelformler, vanlige feil og eksamenstips.

Laplace-transform og IVP

Eksamensrelevant

Laplace-transformen gjør lineære ODE-er med konstante koeffisienter om til algebraiske ligninger i s-domenet, der begynnelsesbetingelsene bygges inn automatisk via derivasjonsreglene. Metoden er spesielt kraftig for IVP-er med diskontinuerlige pådrag (Heaviside) og impulser (Dirac), og leder naturlig til begrepene impulssvar, overføringsfunksjon, konvolusjon, resonans og demping.

Hvorfor Laplace for IVP-er?

En Laplace-transform tar en funksjon $f(t)$ (definert for $t\ge 0$ ) over til $F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$ . Det avgjørende for differensiallikninger er at derivasjon i t-domenet blir multiplikasjon med $s$ i s-domenet, samtidig som begynnelsesverdiene dukker opp som ekstraledd. Dermed forvandles en ODE til en ren algebraisk ligning i $Y(s)$ , som vi løser og deretter inverterer.

Derivasjonsreglene (motoren bak metoden):

$\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$

Begynnelsesbetingelsene $y(0)$ og $y'(0)$ settes inn direkte — ingen behov for å bestemme integrasjonskonstanter etterpå.

Standardtabellen

$\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}\qquad \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\{\cos\omega t\}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\qquad \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

$\mathcal{L}\{\cosh at\}=\dfrac{s}{s^2-a^2}\qquad \mathcal{L}\{\sinh at\}=\dfrac{a}{s^2-a^2}$

Den generelle oppskriften

1) Transformér hele ligningen og sett inn begynnelsesbetingelsene. 2) Løs algebraisk for $Y(s)$ . 3) Forenkle med delbrøker, fullfør kvadrat, eller skiftteoremer. 4) Ta invers Laplace ledd for ledd.

Eksempel 1: Andreordens IVP med distinkte røtter. Løs $y''+3y'+2y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=0$ .

Transformér:

(s^2Y-s\cdot 1-0)+3(sY-1)+2Y=0

Samle:

(s^2+3s+2)Y=s+3

Løs:

Y=\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}

Delbrøker (dekkemetoden):

A=\dfrac{-1+3}{-1+2}=2,\quad B=\dfrac{-2+3}{-2+1}=-1

Y=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}

Invers:

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

Skiftteoremene

To forskyvningsteoremer er helt sentrale. s-skift håndterer eksponentielle faktorer, mens t-skift håndterer tidsforsinkelse og diskontinuerlige pådrag.

s-skift (1. forskyvning): $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$

t-skift (2. forskyvning): $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$

der $u(t-a)$ er Heaviside-funksjonen, som er $0$ for $t<a$ og $1$ for $t\ge a$ , med $\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}$ .

Heaviside og diskontinuerlige pådrag

Et pådrag som slås av og på modelleres med Heaviside-ledd. En firkantpuls som er 1 mellom $t=1$ og $t=3$ skrives $u(t-1)-u(t-3)$ , med transform $\dfrac{e^{-s}-e^{-3s}}{s}$ . Når man tar invers Laplace av et uttrykk med faktor $e^{-as}$ , gir t-skift automatisk en $u(t-a)$ ganget med den forskjøvne funksjonen.

Eksempel 2: IVP med Heaviside-pådrag. Løs $y'+2y=u(t-1),\ y(0)=0$ .

Transformér:

sY+2Y=\dfrac{e^{-s}}{s}

Løs:

Y=\dfrac{e^{-s}}{s(s+2)}

Delbrøker uten eksponential:

\dfrac{1}{s(s+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}\right)

Invers av brøkdelen:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+2)}\right\}=\dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})

t-skift med

a=1

y(t)=\dfrac{1}{2}\big(1-e^{-2(t-1)}\big)u(t-1)

Dirac delta og impulssvar

Dirac-deltaet $\delta(t-a)$ modellerer en idealisert øyeblikkelig impuls, og oppfyller silsetningen $\int f(t)\delta(t-a)\,dt=f(a)$ . Transformen er $\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}$ . Løsningen av $L[y]=\delta(t)$ med null begynnelsesbetingelser kalles impulssvaret $h(t)$ ; transformen er overføringsfunksjonen $H(s)=1/p(s)$ , der $p(s)$ er det karakteristiske polynomet. Svaret på et vilkårlig pådrag fås ved konvolusjon: $y=h*f$ , siden $\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s)$ .

Eksempel 3: Impulspådrag. Løs $y''+y=\delta(t-\pi),\ y(0)=0,\ y'(0)=0$ .

Transformér:

(s^2+1)Y=e^{-\pi s}

Løs:

Y=\dfrac{e^{-\pi s}}{s^2+1}

Grunnfunksjon:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+1}\right\}=\sin t

t-skift med

a=\pi

y(t)=u(t-\pi)\sin(t-\pi)

Systemet hviler til

t=\pi

, så settes det i svingning av impulsen.

Resonans og demping

For et udempet system $y''+\omega_0^2y=\sin(\omega t)$ oppstår resonans når $\omega=\omega_0$ . Da blir $(s^2+\omega_0^2)^2$ en dobbel faktor i nevneren, og inversen inneholder et sekulært ledd $\propto t\cos\omega_0 t$ som vokser ubegrenset. For et dempet system $my''+cy'+ky=0$ styres oppførselen av diskriminanten $c^2-4mk$ : overdempet ( $>0$ , to reelle røtter, ingen svingning), kritisk dempet ( $=0$ , dobbel rot, raskest mulig retur uten svingning, løsning $(A+Bt)e^{rt}$ ), og underdempet ( $<0$ , dempet svingning).

Eksempel 4: Resonans. Løs $y''+4y=\sin 2t,\ y(0)=0,\ y'(0)=0$ .

\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\dfrac{2}{s^2+4}

, så

(s^2+4)Y=\dfrac{2}{s^2+4}

Løs:

Y=\dfrac{2}{(s^2+4)^2}

— dobbel faktor signaliserer resonans

Standardinvers:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{(s^2+4)^2}\right\}=\dfrac{1}{8}\sin 2t-\dfrac{1}{4}t\cos 2t

Det sekulære leddet

-\tfrac{1}{4}t\cos 2t

gir voksende amplitude.

Nøkkelformler

• $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$
• $\mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$
• $\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
• $\mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}$
• $\mathcal{L}\{\cos\omega t\}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
•s-skift: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$
•t-skift: $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$
• $\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s},\quad \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}$
•Konvolusjon: $\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s),\ (f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$
• $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+a)^n}\right\}=\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$

Vanlige feil

⚠️Glemmer initialleddene i derivasjonsreglene — særlig $-sf(0)-f'(0)$ i $\mathcal{L}\{f''\}$ . Da blir hele løsningen feil.
⚠️Forveksler s-skift og t-skift. s-skift (faktor $e^{at}$ i tid) gir $F(s-a)$ ; t-skift (tidsforsinkelse) gir faktor $e^{-as}$ i s-domenet.
⚠️Bruker t-skift på $u(t-a)g(t)$ uten å omskrive $g$ som funksjon av $(t-a)$ . Man MÅ ha formen $u(t-a)f(t-a)$ ; f.eks. $u(t-2)t=u(t-2)[(t-2)+2]$ .
⚠️Blander $s^2+a^2$ (trig) og $s^2-a^2$ (hyperbolsk) i nevneren. Minustegnet gir $\sinh/\cosh$ , plusstegnet gir $\sin/\cos$ .
⚠️Overser resonans: når drivfrekvensen er lik egenfrekvensen får man en dobbel faktor $(s^2+\omega_0^2)^2$ og må bruke standardinversene med $t$ -ledd, ikke vanlig delbrøk.
⚠️Setter $\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1/s$ (forveksles med Heaviside). Riktig er $\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1$ og $\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s$ .
⚠️Faktoriserer ikke nevneren før delbrøk, eller glemmer at en kvadratisk faktor $s^2+\omega^2$ krever teller på formen $As+B$ .

Eksamenstips

💡Skriv alltid opp de to derivasjonsreglene øverst på arket og sett inn begynnelsesbetingelsene umiddelbart — det er gratis poeng og hindrer feil.
💡Ved diskontinuerlige pådrag: inverter først brøkdelen UTEN $e^{-as}$ , og legg på $u(t-a)$ og forskyvningen $(t-a)$ helt til slutt.
💡Fullfør kvadratet i nevneren når den ikke faktoriserer over de reelle tall — det gir umiddelbart formen $(s+\alpha)^2+\beta^2$ for dempet svingning.
💡Bruk dekkemetoden (cover-up) for enkle reelle poler — det er raskest og gir minst regnefeil under tidspress.
💡Gjenkjenn resonans-signaturen: en gjentatt faktor i nevneren betyr at svaret inneholder $t\sin\omega t$ eller $t\cos\omega t$ . Lær standardinversene $\dfrac{s}{(s^2+\omega^2)^2}\to\dfrac{t}{2\omega}\sin\omega t$ utenat.
💡Kontroller alltid løsningen mot begynnelsesbetingelsene: sett inn $t=0$ i $y(t)$ og deriver for $y'(0)$ . Stemmer det ikke, er det en regnefeil i delbrøkene.
💡For impulsproblemer: impulssvaret er $\mathcal{L}^{-1}\{1/p(s)\}$ . Kjenner du det, kan du bygge vilkårlige svar med konvolusjon uten ny delbrøkregning.

Laster...

Laster…

TMA4121 · NTNU

Studieguide for TMA4121 Matematikk 4K

Komplett pensumoversikt for matematikk 4k ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Laplace-transform og IVP

Eksamensrelevant

Hvorfor Laplace for IVP-er?

Derivasjonsreglene (motoren bak metoden):

$\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$

Begynnelsesbetingelsene $y(0)$ og $y'(0)$ settes inn direkte — ingen behov for å bestemme integrasjonskonstanter etterpå.

Standardtabellen

$\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}\qquad \mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\{\cos\omega t\}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2}\qquad \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$

$\mathcal{L}\{\cosh at\}=\dfrac{s}{s^2-a^2}\qquad \mathcal{L}\{\sinh at\}=\dfrac{a}{s^2-a^2}$

Den generelle oppskriften

Eksempel 1: Andreordens IVP med distinkte røtter. Løs $y''+3y'+2y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=0$ .

Transformér:

(s^2Y-s\cdot 1-0)+3(sY-1)+2Y=0

Samle:

(s^2+3s+2)Y=s+3

Løs:

Y=\dfrac{s+3}{(s+1)(s+2)}

Delbrøker (dekkemetoden):

A=\dfrac{-1+3}{-1+2}=2,\quad B=\dfrac{-2+3}{-2+1}=-1

Y=\dfrac{2}{s+1}-\dfrac{1}{s+2}

Invers:

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

Skiftteoremene

To forskyvningsteoremer er helt sentrale. s-skift håndterer eksponentielle faktorer, mens t-skift håndterer tidsforsinkelse og diskontinuerlige pådrag.

s-skift (1. forskyvning): $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$

t-skift (2. forskyvning): $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$

der $u(t-a)$ er Heaviside-funksjonen, som er $0$ for $t<a$ og $1$ for $t\ge a$ , med $\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}$ .

Heaviside og diskontinuerlige pådrag

Eksempel 2: IVP med Heaviside-pådrag. Løs $y'+2y=u(t-1),\ y(0)=0$ .

Transformér:

sY+2Y=\dfrac{e^{-s}}{s}

Løs:

Y=\dfrac{e^{-s}}{s(s+2)}

Delbrøker uten eksponential:

\dfrac{1}{s(s+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}\right)

Invers av brøkdelen:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s(s+2)}\right\}=\dfrac{1}{2}(1-e^{-2t})

t-skift med

a=1

y(t)=\dfrac{1}{2}\big(1-e^{-2(t-1)}\big)u(t-1)

Dirac delta og impulssvar

Eksempel 3: Impulspådrag. Løs $y''+y=\delta(t-\pi),\ y(0)=0,\ y'(0)=0$ .

Transformér:

(s^2+1)Y=e^{-\pi s}

Løs:

Y=\dfrac{e^{-\pi s}}{s^2+1}

Grunnfunksjon:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+1}\right\}=\sin t

t-skift med

a=\pi

y(t)=u(t-\pi)\sin(t-\pi)

Systemet hviler til

t=\pi

, så settes det i svingning av impulsen.

Resonans og demping

Eksempel 4: Resonans. Løs $y''+4y=\sin 2t,\ y(0)=0,\ y'(0)=0$ .

\mathcal{L}\{\sin 2t\}=\dfrac{2}{s^2+4}

, så

(s^2+4)Y=\dfrac{2}{s^2+4}

Løs:

Y=\dfrac{2}{(s^2+4)^2}

— dobbel faktor signaliserer resonans

Standardinvers:

\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{2}{(s^2+4)^2}\right\}=\dfrac{1}{8}\sin 2t-\dfrac{1}{4}t\cos 2t

Det sekulære leddet

-\tfrac{1}{4}t\cos 2t

gir voksende amplitude.

Nøkkelformler

• $\mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0)$
• $\mathcal{L}\{f''\}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$
• $\mathcal{L}\{t^n\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}$
• $\mathcal{L}\{e^{at}\}=\dfrac{1}{s-a}$
• $\mathcal{L}\{\cos\omega t\}=\dfrac{s}{s^2+\omega^2},\quad \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$
•s-skift: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$
•t-skift: $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s)$
• $\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s},\quad \mathcal{L}\{\delta(t-a)\}=e^{-as}$
•Konvolusjon: $\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s),\ (f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$
• $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+a)^n}\right\}=\dfrac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}$

Vanlige feil

⚠️Glemmer initialleddene i derivasjonsreglene — særlig $-sf(0)-f'(0)$ i $\mathcal{L}\{f''\}$ . Da blir hele løsningen feil.
⚠️Forveksler s-skift og t-skift. s-skift (faktor $e^{at}$ i tid) gir $F(s-a)$ ; t-skift (tidsforsinkelse) gir faktor $e^{-as}$ i s-domenet.
⚠️Bruker t-skift på $u(t-a)g(t)$ uten å omskrive $g$ som funksjon av $(t-a)$ . Man MÅ ha formen $u(t-a)f(t-a)$ ; f.eks. $u(t-2)t=u(t-2)[(t-2)+2]$ .
⚠️Blander $s^2+a^2$ (trig) og $s^2-a^2$ (hyperbolsk) i nevneren. Minustegnet gir $\sinh/\cosh$ , plusstegnet gir $\sin/\cos$ .
⚠️Overser resonans: når drivfrekvensen er lik egenfrekvensen får man en dobbel faktor $(s^2+\omega_0^2)^2$ og må bruke standardinversene med $t$ -ledd, ikke vanlig delbrøk.
⚠️Setter $\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1/s$ (forveksles med Heaviside). Riktig er $\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1$ og $\mathcal{L}\{u(t)\}=1/s$ .
⚠️Faktoriserer ikke nevneren før delbrøk, eller glemmer at en kvadratisk faktor $s^2+\omega^2$ krever teller på formen $As+B$ .

Eksamenstips

💡Skriv alltid opp de to derivasjonsreglene øverst på arket og sett inn begynnelsesbetingelsene umiddelbart — det er gratis poeng og hindrer feil.
💡Ved diskontinuerlige pådrag: inverter først brøkdelen UTEN $e^{-as}$ , og legg på $u(t-a)$ og forskyvningen $(t-a)$ helt til slutt.
💡Fullfør kvadratet i nevneren når den ikke faktoriserer over de reelle tall — det gir umiddelbart formen $(s+\alpha)^2+\beta^2$ for dempet svingning.
💡Bruk dekkemetoden (cover-up) for enkle reelle poler — det er raskest og gir minst regnefeil under tidspress.
💡Gjenkjenn resonans-signaturen: en gjentatt faktor i nevneren betyr at svaret inneholder $t\sin\omega t$ eller $t\cos\omega t$ . Lær standardinversene $\dfrac{s}{(s^2+\omega^2)^2}\to\dfrac{t}{2\omega}\sin\omega t$ utenat.
💡Kontroller alltid løsningen mot begynnelsesbetingelsene: sett inn $t=0$ i $y(t)$ og deriver for $y'(0)$ . Stemmer det ikke, er det en regnefeil i delbrøkene.
💡For impulsproblemer: impulssvaret er $\mathcal{L}^{-1}\{1/p(s)\}$ . Kjenner du det, kan du bygge vilkårlige svar med konvolusjon uten ny delbrøkregning.

Laster...

Laster…