Linjeintegral av et vektorfelt

Et linjeintegral måler arbeidet et vektorfelt \(\mathbf{F}\) gjør langs en kurve \(C\). Kurven parametriseres ved \(\mathbf{r}(t)\), \(a\le t\le b\).

Definisjon: \(\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt\)

Sett parametriseringen inn i feltet, prikkmultipliser med tangentvektoren \(\mathbf{r}'(t)\), og integrer over parameteren. Orienteringen teller: snur du kurven, skifter integralet fortegn.

Eksempel 1: Beregn \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) for \(\mathbf{F}=y\,\mathbf{i}+x^2\,\mathbf{j}\) langs \(\mathbf{r}(t)=(t,t^2)\), \(0\le t\le1\).

\(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(t^2,\ t^2)\) (siden \(y=t^2\) og \(x^2=t^2\))

\(\mathbf{r}'(t)=(1,\ 2t)\)

\(\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=t^2\cdot1+t^2\cdot2t=t^2+2t^3\)

\(\int_0^1 (t^2+2t^3)\,dt=\left[\tfrac{t^3}{3}+\tfrac{t^4}{2}\right]_0^1=\tfrac13+\tfrac12=\tfrac{5}{6}\)

Konservative felt og curl

Et felt er konservativt hvis \(\mathbf{F}=\nabla f\) for en potensialfunksjon \(f\). På et enkeltsammenhengende område (uten hull) er dette ekvivalent med at \(\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}\).

Curl: \(\operatorname{curl}\mathbf{F}=(R_y-Q_z)\,\mathbf{i}+(P_z-R_x)\,\mathbf{j}+(Q_x-P_y)\,\mathbf{k}\)

2D-kriterium: \(\mathbf{F}=P\,\mathbf{i}+Q\,\mathbf{j}\) er konservativt \(\iff P_y=Q_x\) (på enkeltsammenhengende område).

Identitet: \(\operatorname{curl}(\nabla f)=\mathbf{0}\) alltid.

Finne potensialfunksjon ved partiell integrasjon

1) Integrer \(P\) mhp \(x\): \(f=\int P\,dx+g(y)\).
2) Deriver mhp \(y\) og sett lik \(Q\): finn \(g'(y)\).
3) Integrer \(g'(y)\) for å finne \(g(y)\).
4) Skriv \(f(x,y)+C\).

Eksempel 2: Vis at \(\mathbf{F}=(2xy+y^2)\,\mathbf{i}+(x^2+2xy)\,\mathbf{j}\) er konservativt og finn potensialet.

\(P_y=2x+2y\), \(Q_x=2x+2y\) — like, altså konservativt

\(f=\int(2xy+y^2)\,dx=x^2y+xy^2+g(y)\)

\(f_y=x^2+2xy+g'(y)\) skal være lik \(Q=x^2+2xy\)

\(\Rightarrow g'(y)=0\Rightarrow g(y)=\text{konstant}\)

\(f(x,y)=x^2y+xy^2+C\)

Fundamentalteoremet for linjeintegral

Hvis \(\mathbf{F}=\nabla f\) og \(C\) går fra \(A\) til \(B\):

\(\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A)\)

Konsekvens: lukket kurve gir \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=0\). Integralet er veiuavhengig.

Eksempel 3: Beregn \(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}\) for \(\mathbf{F}=(2xy+y^2)\,\mathbf{i}+(x^2+2xy)\,\mathbf{j}\) fra \((0,0)\) til \((2,1)\).

Fra Eksempel 2: \(f=x^2y+xy^2\)

\(f(2,1)=2^2\cdot1+2\cdot1^2=4+2=6\)

\(f(0,0)=0\)

\(\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=6-0=6\)

Divergens og curl – beregning og tolkning

Divergens (skalar): \(\operatorname{div}\mathbf{F}=P_x+Q_y+R_z\) — kildetetthet (netto utstrømning per volum).

Curl (vektor): rotasjon/virvling. \(\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}\) betyr virvelfritt.

Identiteter: \(\operatorname{div}(\operatorname{curl}\mathbf{F})=0\) og \(\operatorname{curl}(\nabla f)=\mathbf{0}\).

Eksempel 4: Finn div og curl for \(\mathbf{F}=(xy)\,\mathbf{i}+(yz)\,\mathbf{j}+(zx)\,\mathbf{k}\).

\(\operatorname{div}\mathbf{F}=\partial_x(xy)+\partial_y(yz)+\partial_z(zx)=y+z+x\)

\(R_y-Q_z=0-y=-y\)

\(P_z-R_x=0-z=-z\)

\(Q_x-P_y=0-x=-x\)

\(\operatorname{curl}\mathbf{F}=-y\,\mathbf{i}-z\,\mathbf{j}-x\,\mathbf{k}\) (ikke konservativt)

Felt med hull – viktig unntak

Virvelfeltet \(\mathbf{F}=\dfrac{-y\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}}{x^2+y^2}\) har \(\operatorname{curl}\mathbf{F}=\mathbf{0}\) overalt der det er definert, men \(\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=2\pi\) rundt origo. Området \(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\) er ikke enkeltsammenhengende, så curl = 0 garanterer ikke at feltet er konservativt.

Studieguide: Vektorfelt, linjeintegraler og konservative felt