Hva sier Stokes' teorem?

Stokes' teorem er en av de tre store integralteoremene i flervariabel kalkulus. Det generaliserer Green's teorem til krumme flater i rommet og knytter et linjeintegral langs en lukket kurve til et flateintegral av virvelfeltet curl F.

Stokes' teorem:

\[ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \hat{\mathbf{N}}\, dS \]

der C = ∂S er randkurven til den orienterbare flaten S, og C og N̂ er orientert konsistent etter høyrehåndsregelen. F må være C¹ (kontinuerlig deriverbar) på et område som inneholder S.

Orientering — høyrehåndsregelen

Fortegnet i Stokes' teorem avhenger fullstendig av orienteringen. Pek høyrehåndens tommel langs N̂; da krummer fingrene i den positive omløpsretningen til C. For en flate i (eller over) xy-planet betyr «mot klokka sett ovenfra» at N̂ peker oppover (N̂ = k), mens «med klokka» gir N̂ = −k.

Snur du C, snur du N̂. ∮_{−C} F·dr = −∮_C F·dr. Velger du feil normalretning, får svaret feil fortegn.

Beregne curl F

For F = P i + Q j + R k:

\[ \nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k} \]

Velg en enklere flate med samme rand

Den kraftigste eksamensstrategien: siden ∮_C F·dr bare avhenger av randkurven C, gir enhver orienterbar flate med ∂S = C (og samme orientering) det samme flateintegralet. Bytt derfor en kompliisert krum flate (paraboloide, halvkule) mot en flat disk eller plan trekant med samme rand, der N̂ er konstant.

Vektorpotensial

Hvis F = curl G for et vektorpotensial G, kan et flateintegral gjøres om til et linjeintegral: ∬_S F·N̂ dS = ∬_S (curl G)·N̂ dS = ∮_C G·dr. En nødvendig betingelse for at G finnes er div F = 0 (siden div(curl G) = 0 alltid).

Eksempel 1: Beregn ∮_C F·dr for F = −y i + x j + z k der C er enhetssirkelen x²+y²=1 i planet z=0, orientert mot klokka sett ovenfra.

Curl: \( \nabla\times\mathbf{F} = (R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y) = (0,\;0,\;1-(-1)) = (0,0,2) \)

Velg den flate disken D: \(x^2+y^2\le 1\) i \(z=0\). Mot klokka ovenfra ⇒ \(\hat{\mathbf{N}}=\mathbf{k}\).

\( (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\hat{\mathbf{N}} = (0,0,2)\cdot(0,0,1) = 2 \)

\( \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D 2\, dA = 2\cdot(\text{areal av disk}) = 2\cdot \pi(1)^2 = 2\pi \)

Eksempel 2: Beregn ∮_C F·dr for F = y i + z j + x k der C er randen til trekanten med hjørner (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), orientert slik at normalen peker oppover (vekk fra origo).

Curl: \( \nabla\times\mathbf{F} = (R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y) = (0-1,\;0-1,\;0-1) = (-1,-1,-1) \)

Trekanten ligger i planet \(x+y+z=1\), dvs. \(z=g(x,y)=1-x-y\).

Oppoverorientert graf: \( \hat{\mathbf{N}}\,dS = (-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy = (1,1,1)\,dx\,dy \)

\( (\nabla\times\mathbf{F})\cdot(1,1,1) = -1-1-1 = -3 \)

Projeksjonen D: \(x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\), med areal \(\tfrac{1}{2}\).

\( \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D -3\, dx\,dy = -3\cdot \tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{2} \)

Eksempel 3 (velg smart flate): Beregn ∮_C F·dr for F = z i + x j + y k der C er randen til den delen av paraboloiden \(z=4-x^2-y^2\), \(z\ge0\), orientert mot klokka sett ovenfra.

Randkurven er der \(z=0\): \(x^2+y^2=4\), altså en sirkel med radius 2 i planet \(z=0\).

Curl: \( \nabla\times\mathbf{F} = (1,1,1) \)

Bytt paraboliden mot den flate disken D: \(x^2+y^2\le4\) i \(z=0\), \(\hat{\mathbf{N}}=\mathbf{k}\).

\( (1,1,1)\cdot\mathbf{k} = 1 \)

\( \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_D 1\, dA = \text{areal} = \pi(2)^2 = 4\pi \)

Studieguide: Stokes' teorem

Studieguide: Stokes' teorem