Partiellderiverte og høyere ordens deriverte

For en funksjon \( f(x,y) \) er den partiellderiverte \( f_x \) den vanlige deriverte med hensyn på \( x \), der \( y \) behandles som en konstant. Tilsvarende for \( f_y \). Annenderiverte fås ved å derivere to ganger: \( f_{xx},f_{yy} \) og de blandede \( f_{xy},f_{yx} \).

Clairauts teorem: Hvis \( f_{xy} \) og \( f_{yx} \) er kontinuerlige i en omegn om et punkt, er de like der: \( f_{xy}=f_{yx} \). Dette gjelder for alle glatte (\( C^2 \)) funksjoner i pensum.

Eksempel: La \( f(x,y)=x^3y^2 \). Finn alle annenderiverte.

\( f_x=3x^2y^2 \), \( f_y=2x^3y \)

\( f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2)=6xy^2 \)

\( f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x^3y)=2x^3 \)

\( f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2)=6x^2y \)

Kontroll: \( f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x^3y)=6x^2y=f_{xy} \) ✓ (Clairaut)

Kjerneregelen for flere variable

Når \( z=f(x,y) \) og \( x,y \) selv avhenger av andre variabler, summerer vi bidragene langs hver vei i avhengighetstreet.

Kjerneregelen:

Én parameter: \( \dfrac{dz}{dt}=f_x\dfrac{dx}{dt}+f_y\dfrac{dy}{dt} \)

To parametre: \( \dfrac{\partial z}{\partial s}=f_x x_s+f_y y_s \), \( \dfrac{\partial z}{\partial t}=f_x x_t+f_y y_t \)

Regel: ett ledd per mellomvariabel; multipliser langs hver gren og summer over alle veier.

Eksempel: La \( z=x^2+y^2 \) med \( x=t \) og \( y=t^2 \). Finn \( dz/dt \).

\( z_x=2x=2t \), \( z_y=2y=2t^2 \)

\( \frac{dx}{dt}=1 \), \( \frac{dy}{dt}=2t \)

\( \frac{dz}{dt}=2t\cdot1+2t^2\cdot2t=2t+4t^3 \)

Implisitt derivasjon fra F(x,y,z)=0

Ofte er en flate gitt implisitt som \( F(x,y,z)=0 \) uten at vi kan løse for \( z \). Da bruker vi kjerneregelen til å utlede formler for de partiellderiverte.

Implisitt derivasjon: Når \( F(x,y,z)=0 \) og \( F_z\neq0 \):

\( \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z} \), \( \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z} \)

For en plan kurve \( F(x,y)=0 \): \( \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_x}{F_y} \). Husk minustegnet!

Eksempel: La \( x^2+y^2+z^2=1 \). Finn \( \partial z/\partial x \) og \( \partial z/\partial y \).

Sett \( F=x^2+y^2+z^2-1 \)

\( F_x=2x \), \( F_y=2y \), \( F_z=2z \)

\( \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x}{2z}=-\frac{x}{z} \)

\( \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y}{2z}=-\frac{y}{z} \)

Relaterte rater langs en kurve

Kjerneregelen brukes direkte i relatert-rate-problemer der en størrelse avhenger av variabler som endrer seg med tiden. Setter man inn kjente rater og punktverdier, fås den ukjente raten.

Eksempel: En partikkel beveger seg på \( z=x^2+y^2 \) med \( dx/dt=3 \), \( dy/dt=2 \) i punktet \( (1,1) \). Finn \( dz/dt \).

\( z_x=2x=2 \), \( z_y=2y=2 \) i \( (1,1) \)

\( \frac{dz}{dt}=z_x\frac{dx}{dt}+z_y\frac{dy}{dt}=2\cdot3+2\cdot2 \)

\( =6+4=10 \)

Tangentplan og lineær approksimasjon

Tangentplanet til en flate i et punkt er den beste lineære tilnærmingen der – grunnlaget for linearisering og feilestimering.

Tangentplan / linearisering: For \( z=f(x,y) \) i \( (a,b) \):

\( z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b) \)

Totaldifferensial: \( dz=f_x\,dx+f_y\,dy \).

For flate \( F(x,y,z)=0 \): normalvektor \( \nabla F=(F_x,F_y,F_z) \), tangentplan \( F_x(x-a)+F_y(y-b)+F_z(z-c)=0 \).

Eksempel: Estimer \( \sqrt{3{,}1^2+3{,}9^2} \) med linearisering av \( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \) i \( (3,4) \).

\( f(3,4)=\sqrt{9+16}=5 \)

\( f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{3}{5}=0{,}6 \), \( f_y=\frac{4}{5}=0{,}8 \)

\( \Delta x=0{,}1 \), \( \Delta y=-0{,}1 \)

\( L=5+0{,}6\cdot0{,}1+0{,}8\cdot(-0{,}1)=5+0{,}06-0{,}08=4{,}98 \)

Studieguide: Partiellderivasjon, kjerneregel og implisitt derivasjon

Studieguide: Partiellderivasjon, kjerneregel og implisitt derivasjon