1. Parametriserte kurver og skjæringskurver

En kurve i rommet beskrives av en posisjonsvektor \(\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\), der parameteren \(t\) ofte tolkes som tid. Hastighet, fart og akselerasjon er da henholdsvis \(\mathbf{v}=\mathbf{r}'(t)\), \(v=|\mathbf{r}'(t)|\) og \(\mathbf{a}=\mathbf{r}''(t)\).

En vanlig eksamensoppgave er å parametrisere skjæringskurven mellom to flater. Strategien er å eliminere en variabel slik at vi finner en sirkel eller ellipse i et plan, parametrisere denne med trigonometriske funksjoner, og deretter bruke den andre flaten til å finne den siste koordinaten.

Skjæringskurve – framgangsmåte:

1. Sett uttrykkene like / sett inn for å eliminere en koordinat.

2. Gjenkjenn en sirkel \(x^2+y^2=a^2\) (eller ellipse) og parametriser: \(x=a\cos t,\ y=a\sin t\).

3. Sett inn i den gjenværende flaten for å finne siste koordinat (typisk \(z\)).

Eksempel 1: Parametriser skjæringskurven mellom sylinderen \(x^2+y^2=9\) og planet \(z=x+y\).

Sylinderen gir \(x=3\cos t,\quad y=3\sin t\).

Planet gir \(z=x+y=3\cos t+3\sin t\).

\(\mathbf{r}(t)=(3\cos t,\;3\sin t,\;3\cos t+3\sin t),\quad t\in[0,2\pi].\)

2. Buelengde

Buelengden til en kurve mellom \(t=a\) og \(t=b\) er integralet av farten:

\(L=\displaystyle\int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt\)

Tilbakelagt strekning for en partikkel er det samme integralet. Forflytningen er derimot vektoren \(\mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a)\).

Nøkkelen i mange oppgaver er å forenkle uttrykket under rottegnet til et fullstendig kvadrat, slik at rota forsvinner og integralet blir elementært.

Eksempel 2: Finn buelengden til \(\mathbf{r}(t)=(2t,\,t^2,\,\tfrac13 t^3)\) for \(t\in[0,2]\).

\(\mathbf{r}'(t)=(2,\;2t,\;t^2)\)

\(|\mathbf{r}'(t)|^2=4+4t^2+t^4=(t^2+2)^2\)

\(|\mathbf{r}'(t)|=t^2+2\quad(\ge 0)\)

\(L=\displaystyle\int_0^2 (t^2+2)\,dt=\Big[\tfrac{t^3}{3}+2t\Big]_0^2=\tfrac{8}{3}+4=\tfrac{20}{3}\)

3. Enhetsvektorene T og N

Enhetstangenten peker i bevegelsesretningen, hovednormalen står normalt på den og peker mot kurvens krummeside:

\(\mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|},\qquad \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{|\mathbf{T}'(t)|}\)

Binormalen er \(\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}\). Sammen utgjør \(\{\mathbf{T},\mathbf{N},\mathbf{B}\}\) Frenet-rammen. Alltid \(\mathbf{T}\cdot\mathbf{N}=0\).

4. Krumning

Krumningen måler hvor raskt tangentretningen endrer seg per buelengdeenhet:

Generelt: \(\kappa=\dfrac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3}\)

For \(y=f(x)\): \(\kappa=\dfrac{|f''(x)|}{\big(1+(f'(x))^2\big)^{3/2}}\)

Buelengdeparametrisert (\(|\mathbf{r}'|=1\)): \(\kappa=|\mathbf{r}''(s)|\). Krumningsradius: \(R=1/\kappa\). Sirkel: \(\kappa=1/R\). Linje: \(\kappa=0\).

Eksempel 3: Finn krumningen til skruelinjen \(\mathbf{r}(t)=(\cos t,\,\sin t,\,t)\).

\(\mathbf{r}'=(-\sin t,\;\cos t,\;1),\quad \mathbf{r}''=(-\cos t,\;-\sin t,\;0)\)

\(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(\cos t\cdot 0-1\cdot(-\sin t),\;1\cdot(-\cos t)-(-\sin t)\cdot 0,\;(-\sin t)(-\sin t)-\cos t(-\cos t))\)

\(=(\sin t,\;-\cos t,\;1),\quad |\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t+1}=\sqrt2\)

\(|\mathbf{r}'|=\sqrt2\Rightarrow |\mathbf{r}'|^3=2\sqrt2\)

\(\kappa=\dfrac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\dfrac12\)

5. Dekomponering av akselerasjon

Akselerasjonen ligger alltid i planet utspent av \(\mathbf{T}\) og \(\mathbf{N}\), og kan splittes i en tangential- og en normalkomponent:

\(\mathbf{a}=a_T\,\mathbf{T}+a_N\,\mathbf{N},\qquad a_T=v'=\dfrac{d}{dt}|\mathbf{r}'|=\dfrac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''}{|\mathbf{r}'|},\qquad a_N=\kappa v^2=\dfrac{|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|}\)

Det er ingen \(\mathbf{B}\)-komponent. Pytagoras gir \(|\mathbf{a}|^2=a_T^2+a_N^2\). Konstant fart \(\Rightarrow a_T=0\).

Eksempel 4: En partikkel har \(\mathbf{r}(t)=(t,\,t^2)\). Finn \(a_T\) og \(a_N\) ved \(t=1\).

\(\mathbf{r}'=(1,\,2t),\quad \mathbf{r}''=(0,\,2)\); ved \(t=1\): \(\mathbf{r}'=(1,2),\ |\mathbf{r}'|=\sqrt5\)

\(a_T=\dfrac{\mathbf{r}'\cdot\mathbf{r}''}{|\mathbf{r}'|}=\dfrac{(1)(0)+(2)(2)}{\sqrt5}=\dfrac{4}{\sqrt5}\)

\(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''=(1)(2)-(2)(0)=2\Rightarrow a_N=\dfrac{2}{\sqrt5}\)

Kontroll: \(a_T^2+a_N^2=\dfrac{16}{5}+\dfrac{4}{5}=4=|\mathbf{r}''|^2.\;\checkmark\)

Studieguide: Parametriserte kurver, buelengde og krumning