Gradienten ∇f og dens geometriske tolkning

For en funksjon \(f(x,y,z)\) er gradienten vektoren av de partielle deriverte:

\[\nabla f=(f_x,\ f_y,\ f_z)=f_x\mathbf{i}+f_y\mathbf{j}+f_z\mathbf{k}\]

Gradienten peker i retning av raskeste økning av \(f\), og lengden \(|\nabla f|\) er denne maksimale endringsraten. Gradienten står alltid normalt på nivåkurven (\(f=c\) i planet) eller nivåflaten (\(F=c\) i rommet) gjennom punktet.

Hvorfor er den normal? La \(\mathbf{r}(t)\) være en kurve som ligger på nivåflaten, slik at \(f(\mathbf{r}(t))=c\). Deriverer vi med kjerneregelen får vi \(\nabla f\cdot\mathbf{r}'(t)=0\), så \(\nabla f\) står vinkelrett på alle tangenter \(\mathbf{r}'(t)\) i flaten — altså er den normal til flaten.

Retningsderiverten D_u f

For en enhetsvektor \(\mathbf{u}\) (\(|\mathbf{u}|=1\)):

\[D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot\mathbf{u}=|\nabla f|\cos\theta\]

der \(\theta\) er vinkelen mellom \(\nabla f\) og \(\mathbf{u}\). Har du en retningsvektor \(\mathbf{v}\) som ikke har lengde 1, må du normalisere først: \(\mathbf{u}=\mathbf{v}/|\mathbf{v}|\).

Konsekvenser av \(D_{\mathbf{u}}f=|\nabla f|\cos\theta\):

Maks ved \(\theta=0\): retning \(\nabla f\), verdi \(|\nabla f|\).
Null ved \(\theta=90^\circ\): retning langs nivåkurven.
Min ved \(\theta=180^\circ\): retning \(-\nabla f\), verdi \(-|\nabla f|\) (bratteste nedstigning).

Eksempel 1: Gitt \(f(x,y)=x^2y+y^3\). Finn retningsderiverten i \(P=(1,2)\) i retning \((3,4)\), samt retning og verdi for raskeste økning.

Partielle deriverte: \(f_x=2xy,\quad f_y=x^2+3y^2\)

I \(P=(1,2)\): \(f_x=2\cdot1\cdot2=4,\quad f_y=1+3\cdot4=13\)

\(\nabla f(1,2)=(4,13)\)

Normaliser retningen: \(|(3,4)|=\sqrt{9+16}=5,\quad \mathbf{u}=(3/5,\,4/5)=(0{,}6,\ 0{,}8)\)

\(D_{\mathbf{u}}f=(4,13)\cdot(0{,}6,\ 0{,}8)=2{,}4+10{,}4=12{,}8\)

Raskeste økning: retning \(\nabla f=(4,13)\), verdi \(|\nabla f|=\sqrt{16+169}=\sqrt{185}\approx13{,}60\)

Normalvektor til nivåflate og tangentplan

For nivåflaten \(F(x,y,z)=c\) i punktet \(P=(x_0,y_0,z_0)\):

Normalvektor: \(\mathbf{n}=\nabla F(P)\)

Tangentplan: \[\nabla F(P)\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0\] \[F_x(P)(x-x_0)+F_y(P)(y-y_0)+F_z(P)(z-z_0)=0\]

En graf \(z=f(x,y)\) skrives som nivåflate ved \(F=f(x,y)-z=0\), med \(\nabla F=(f_x,f_y,-1)\).

Eksempel 2: Finn tangentplanet til \(z=x^2+y^2\) i punktet \((1,2,5)\).

Skriv som nivåflate: \(F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0\)

\(\nabla F=(2x,\ 2y,\ -1)\)

I \((1,2,5)\): \(\nabla F=(2,\ 4,\ -1)\)

Tangentplan: \(2(x-1)+4(y-2)-1\cdot(z-5)=0\)

\(2x-2+4y-8-z+5=0\ \Rightarrow\ 2x+4y-z=5\)

Tangentvektor til skjæringskurve

Når to flater \(F=0\) og \(G=0\) skjærer hverandre i en kurve, ligger kurvens tangent i begge tangentplan og står derfor normalt på begge gradienter:

\[\mathbf{T}=\nabla F\times\nabla G\]

Eksempel 3: Kula \(x^2+y^2+z^2=3\) og sylinderen \(x^2+y^2=2\) skjærer i \((1,1,1)\). Finn en tangentvektor til skjæringskurven der.

\(F=x^2+y^2+z^2-3\Rightarrow\nabla F=(2x,2y,2z)=(2,2,2)\)

\(G=x^2+y^2-2\Rightarrow\nabla G=(2x,2y,0)=(2,2,0)\)

\(\mathbf{T}=\nabla F\times\nabla G=\big(2\cdot0-2\cdot2,\ \ 2\cdot2-2\cdot0,\ \ 2\cdot2-2\cdot2\big)\)

\(\mathbf{T}=(-4,\ 4,\ 0)\), eller forenklet \((-1,1,0)\)

Sjekk: \(\nabla F\cdot\mathbf{T}=2(-4)+2(4)+2(0)=0\) ✓ og \(\nabla G\cdot\mathbf{T}=2(-4)+2(4)+0=0\) ✓

Studieguide: Gradient, retningsderivert og tangentplan

Studieguide: Gradient, retningsderivert og tangentplan