Grenser i flere variable

For en funksjon \(f(x,y)\) sier vi at \(\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L\) hvis funksjonsverdien nærmer seg \(L\) uansett hvordan \((x,y)\) beveger seg mot \((a,b)\). Den helt sentrale forskjellen fra én variabel er at det finnes UENDELIG mange baner inn mot et punkt i planet — ikke bare «fra venstre» og «fra høyre». Alle disse banene må gi samme verdi.

Motbevis (grense eksisterer ikke): Finn to baner mot \((a,b)\) som gir ulike grenseverdier. Da kan ingen felles grense eksistere.

Bevis (grense er L): Bruk skviseteorem eller polarkoordinater til å vise at \(|f(x,y)-L|\) kan gjøres vilkårlig liten, uavhengig av retning.

Vise at en grense ikke eksisterer

Standardbanene å teste er: aksene \(x=0\) og \(y=0\), rette linjer \(y=mx\), og krumme baner \(y=kx^2\) eller \(x=ky^2\). Et viktig poeng: at alle rette linjer gir samme verdi er IKKE nok til å konkludere at grensen eksisterer — en krum bane kan avsløre at den likevel ikke gjør det.

Eksempel 1: Vis at \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\) ikke eksisterer.

Langs alle rette linjer \(y=mx\): \(\dfrac{x^2\cdot mx}{x^4+m^2x^2}=\dfrac{mx^3}{x^2(x^2+m^2)}=\dfrac{mx}{x^2+m^2}\to 0\)

Alle linjer gir altså grensen 0 — det kan friste til å tro at grensen er 0.

Test parabelbane \(y=x^2\): \(\dfrac{x^2\cdot x^2}{x^4+(x^2)^2}=\dfrac{x^4}{x^4+x^4}=\dfrac{x^4}{2x^4}=\dfrac{1}{2}\)

Linjer gir 0, parabelen gir \(\tfrac12\). Ulike verdier \(\Rightarrow\) grensen eksisterer ikke.

Skviseteorem og polarkoordinater

For å BEVISE at en grense er 0 (eller en annen verdi), bruker vi enten skviseteoremet eller polarkoordinater. Begge metodene viser at funksjonen klemmes mot grensen uansett retning.

Skviseteoremet: Hvis \(|f(x,y)-L|\le g(x,y)\) og \(g(x,y)\to 0\), så er \(\lim f=L\).

Polarkoordinater: Sett \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\). Da blir \((x,y)\to(0,0)\) til \(r\to 0^+\). Hvis uttrykket har en faktor \(r^p\) (\(p>0\)) ganget med noe begrenset i \(\theta\), går grensen mot 0.

Nyttig ulikhet: \(|xy|\le\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)\), og \(\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le 1\).

Eksempel 2: Vis at \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}=0\) med polarkoordinater.

Sett \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\):

\(\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}=\dfrac{r^2\cos^2\theta\cdot r\sin\theta}{r^2}=r\cos^2\theta\sin\theta\)

Begrens: \(|r\cos^2\theta\sin\theta|\le r\cdot 1\cdot 1=r\)

Når \(r\to 0\), gir skvis at \(|f|\le r\to 0\), altså grensen \(=0\).

Kontinuitet i stykkevis definerte punkter

En funksjon er kontinuerlig i \((a,b)\) hvis \(\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b)\). For stykkevis definerte funksjoner (typisk \(f=\) brøk for \((x,y)\neq(0,0)\) og \(f(0,0)=0\)) avgjør du kontinuitet ved å beregne grensen og sammenligne med funksjonsverdien.

Partiellderiverte og retningsderiverte fra definisjonen

I et stykkevis definert punkt MÅ partiell- og retningsderiverte beregnes fra grensedefinisjonen — du kan ikke bruke kvotientregelen eller gradientformelen, fordi disse forutsetter deriverbarhet.

\(f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\), \(\quad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)

Retningsderivert i retning enhetsvektor \(\mathbf u=(u_1,u_2)\): \(D_{\mathbf u}f(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(hu_1,hu_2)-f(0,0)}{h}\)

Når \(f\) er deriverbar: \(D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=f_x u_1+f_y u_2\).

Eksempel 3: For \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) (\(f(0,0)=0\)): beregn \(D_{\mathbf u}f(0,0)\) for \(\mathbf u=(a,b)\), \(a^2+b^2=1\).

\(D_{\mathbf u}f(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(ha,hb)-0}{h}\)

\(f(ha,hb)=\dfrac{(ha)^2(hb)}{(ha)^2+(hb)^2}=\dfrac{h^3a^2b}{h^2(a^2+b^2)}=\dfrac{h\,a^2b}{a^2+b^2}\)

\(\dfrac{f(ha,hb)}{h}=\dfrac{a^2b}{a^2+b^2}=a^2b\) (siden \(a^2+b^2=1\))

Alle retningsderiverte eksisterer og er lik \(a^2b\).

Sammenhengen: deriverbarhet ⇒ kontinuitet ⇒ retningsderivert

Total deriverbarhet er den sterkeste egenskapen. Den medfører både kontinuitet og at alle retningsderiverte eksisterer med \(D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u\). Men IMPLIKASJONENE GÅR BARE ÉN VEI:

Deriverbar \(\Rightarrow\) kontinuerlig OG alle retningsderiverte eksisterer.

Men: kontinuerlig \(\not\Rightarrow\) deriverbar (eks: \(\sqrt{x^2+y^2}\)).

Og: partiellderiverte eksisterer \(\not\Rightarrow\) deriverbar eller kontinuerlig.

Og: alle retningsderiverte eksisterer \(\not\Rightarrow\) kontinuerlig (eks: \(\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\)).

Eksempel 4: Vis at \(f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) (\(f(0,0)=0\)) er kontinuerlig, har \(f_x=f_y=0\), men IKKE er deriverbar i \((0,0)\).

Kontinuitet: polar gir \(r\cos^2\theta\sin\theta\to0\), så grensen er \(0=f(0,0)\). Kontinuerlig.

\(f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{0}{h}=0\); tilsvarende \(f_y(0,0)=0\).

Deriverbarhetstest: \(\dfrac{f(h,k)-f_x h-f_y k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h^2k}{(h^2+k^2)^{3/2}}\)

Langs \(k=h\): \(\dfrac{h^3}{(2h^2)^{3/2}}=\dfrac{h^3}{2\sqrt2\,|h|^3}=\dfrac{1}{2\sqrt2}\neq 0\)

Feilleddet går ikke mot 0 \(\Rightarrow\) \(f\) er IKKE deriverbar, selv om den er kontinuerlig.

Studieguide: Funksjoner av flere variable: grenser, kontinuitet og deriverbarhet