Parametrisering av flate og flateelementet dS

En flate \(S\) beskrives av en vektorfunksjon \(\mathbf r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) der \((u,v)\) løper over et område \(D\) i parameterplanet. De partiellderiverte \(\mathbf r_u\) og \(\mathbf r_v\) er tangentvektorer som spenner ut tangentplanet i hvert punkt. Kryssproduktet \(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\) står vinkelrett på flaten, og lengden er arealet av det infinitesimale parallellogrammet.

Flateelement: \(dS=|\mathbf r_u\times\mathbf r_v|\,du\,dv\)

Orientert flateelement: \(\hat{\mathbf N}\,dS=\pm(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv\)

Graf \(z=f(x,y)\): \(dS=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\,dA\) og \(\hat{\mathbf N}\,dS=(-f_x,-f_y,1)\,dA\) (oppover)

Sfære radius \(a\): \(dS=a^2\sin\phi\,d\phi\,d\theta\), \(\hat{\mathbf N}=\tfrac1a\mathbf r\) (utover)

Sylinder \(x^2+y^2=a^2\): \(dS=a\,dz\,d\theta\), \(\hat{\mathbf N}=(x/a,y/a,0)\)

Skalart flateintegral

Det skalare flateintegralet \(\iint_S g\,dS\) summerer funksjonsverdier vektet med flateareal. Med \(g\equiv1\) får man flatens areal; med \(g=\sigma\) (flatetetthet) får man masse. Dette integralet er uavhengig av orientering siden \(dS\) alltid er positivt.

Eksempel 1: Finn arealet av kjeglemantelen \(z=\sqrt{x^2+y^2}\) over \(D:\ x^2+y^2\le1\).

\(f_x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad f_y=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

\(f_x^2+f_y^2=\dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=1\)

\(dS=\sqrt{1+1}\,dA=\sqrt2\,dA\)

\(\text{Areal}=\iint_D\sqrt2\,dA=\sqrt2\cdot(\pi\cdot1^2)=\sqrt2\,\pi\approx4{,}443\)

Eksempel 2: Beregn \(\iint_S z\,dS\) der \(S\) er øvre enhetshalvkule \(x^2+y^2+z^2=1,\ z\ge0\).

Parametriser: \(\mathbf r(\phi,\theta)=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi)\), \(0\le\phi\le\tfrac\pi2\)

På enhetssfæren: \(z=\cos\phi\) og \(dS=\sin\phi\,d\phi\,d\theta\)

\(\iint_S z\,dS=\int_0^{2\pi}\!\int_0^{\pi/2}\cos\phi\sin\phi\,d\phi\,d\theta\)

Indre: \(\int_0^{\pi/2}\cos\phi\sin\phi\,d\phi=\Big[\tfrac{\sin^2\phi}{2}\Big]_0^{\pi/2}=\tfrac12\)

\(=\int_0^{2\pi}\tfrac12\,d\theta=2\pi\cdot\tfrac12=\pi\)

Fluks gjennom en orientert flate

Fluksen av et vektorfelt \(\mathbf F=P\mathbf i+Q\mathbf j+R\mathbf k\) gjennom en orientert flate er \(\iint_S\mathbf F\cdot\hat{\mathbf N}\,dS\). Fysisk: hvis \(\mathbf F\) er et hastighetsfelt, er fluksen volumstrømmen som passerer gjennom flaten per tidsenhet. Det smarte trikset er at man slipper å normalisere: \(\hat{\mathbf N}\,dS=(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv\), så normen forkortes.

Fluks gjennom graf \(z=f(x,y)\), opp:

\(\displaystyle\iint_S\mathbf F\cdot\hat{\mathbf N}\,dS=\iint_D(-Pf_x-Qf_y+R)\,dA\)

Merk minustegnene foran \(f_x\) og \(f_y\)! For nedovervendt normal: skift fortegn på hele integralet.

Eksempel 3: Beregn fluksen av \(\mathbf F=(0,0,z)\) opp gjennom \(z=x^2+y^2\) over \(D:\ x^2+y^2\le1\).

\(P=0,\ Q=0,\ R=z=x^2+y^2,\quad f_x=2x,\ f_y=2y\)

\(\mathbf F\cdot\hat{\mathbf N}\,dS=(-0\cdot2x-0\cdot2y+(x^2+y^2))\,dA=(x^2+y^2)\,dA\)

Polare koordinater: \(x^2+y^2=r^2,\ dA=r\,dr\,d\theta\)

\(=\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\Big[\tfrac{r^4}{4}\Big]_0^1 d\theta=2\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}\)

Eksempel 4: Beregn fluksen av \(\mathbf F=(x,y,z)\) utover gjennom enhetssfæren.

På sfæren \(x^2+y^2+z^2=1\) er utovernormalen \(\hat{\mathbf N}=(x,y,z)\)

\(\mathbf F\cdot\hat{\mathbf N}=x\cdot x+y\cdot y+z\cdot z=x^2+y^2+z^2=1\)

\(\iint_S\mathbf F\cdot\hat{\mathbf N}\,dS=\iint_S 1\,dS=\text{areal}=4\pi\)

Kontroll (divergensteoremet): \(\nabla\cdot\mathbf F=3\Rightarrow\iiint_V 3\,dV=3\cdot\tfrac43\pi=4\pi\) ✓

Orientering av enhetsnormalen

For en graf velges normalt oppover (\(\hat{\mathbf N}\) med positiv \(z\)-komponent). For en lukket flate velges utover (bort fra det innesluttede volumet), som er orienteringen divergensteoremet krever. Bytter man retning, skifter fluksen fortegn. For lukkede flater (boks, sylinder med lokk) deler man opp i delflater med konsekvent utovernormal og summerer fluksene — eller bruker divergensteoremet når \(\nabla\cdot\mathbf F\) er enkel.

Studieguide: Flateintegraler og fluks