Kritiske punkt og annenderiverttesten

For en funksjon f(x,y) er et kritisk punkt et indre punkt der gradienten er null, altså f_x = 0 og f_y = 0 samtidig (eller der gradienten ikke eksisterer). Dette er de eneste kandidatene for lokale ekstremalverdier i det indre av området. For å avgjøre om et kritisk punkt er et maksimum, minimum eller sadelpunkt, bruker vi annenderiverttesten.

Annenderiverttesten. Sett A = f_xx, B = f_xy, C = f_yy evaluert i det kritiske punktet, og la D = AC − B² (også skrevet Δ).

• D > 0 og A > 0 → lokalt minimum
• D > 0 og A < 0 → lokalt maksimum
• D < 0 → sadelpunkt
• D = 0 → testen er ikke konklusiv (undersøk direkte)

Tallet D er determinanten til Hesse-matrisen H = [[f_xx, f_xy],[f_xy, f_yy]]. D > 0 betyr at egenverdiene har samme fortegn (ekstremalpunkt), mens D < 0 betyr motsatt fortegn (sadelpunkt).

Eksempel 1. Finn og klassifiser alle kritiske punkt for f(x,y) = x³ − 3x + y².

f_x = 3x² − 3 = 0 ⟹ x² = 1 ⟹ x = ±1

f_y = 2y = 0 ⟹ y = 0

Kritiske punkt: (1, 0) og (−1, 0)

f_xx = 6x, f_yy = 2, f_xy = 0

I (1,0): A = 6, C = 2, B = 0 ⟹ D = 6·2 − 0 = 12 > 0, A > 0 ⟹ lokalt minimum

I (−1,0): A = −6, C = 2, B = 0 ⟹ D = (−6)·2 = −12 < 0 ⟹ sadelpunkt

Lagranges multiplikatormetode

Når vi skal finne ekstremalverdier av f under en bibetingelse g(x,y) = 0, kan vi ikke bruke ∇f = 0 direkte, fordi ekstremalpunktet vanligvis ligger på kurven g = 0 der ∇f ikke er null. I stedet utnytter vi at nivåkurven til f tangerer bibetingelseskurven i ekstremalpunktet, slik at gradientene er parallelle.

Lagrange, én bibetingelse. Ekstremalpunktene til f under g = 0 oppfyller

∇f = λ∇g sammen med g(x,y) = 0.

Dette gir f_x = λg_x, f_y = λg_y, g = 0 — tre ligninger i x, y, λ. Sammenlign f-verdiene i alle løsningene for å finne maks og min.

To bibetingelser: ∇f = λ∇g + μ∇h, sammen med g = 0 og h = 0 (ekstrema på skjæringskurven).

Eksempel 2. Finn ekstremalverdiene av f(x,y) = xy under bibetingelsen x² + y² = 8.

g = x² + y² − 8, ∇f = (y, x), ∇g = (2x, 2y)

y = λ·2x og x = λ·2y

Multipliser: xy = 4λ²xy ⟹ (for xy ≠ 0) λ² = 1/4 ⟹ λ = ±1/2

λ = 1/2: y = x. Innsatt: 2x² = 8 ⟹ x = y = 2, f = 4

λ = −1/2: y = −x. Innsatt: 2x² = 8 ⟹ x = 2, y = −2, f = −4

Maksimum f = 4 (i (2,2) og (−2,−2)), minimum f = −4 (i (2,−2) og (−2,2))

Globalt maks/min på lukket begrenset område

Weierstrass' setning garanterer at en kontinuerlig f på et lukket og begrenset (kompakt) område oppnår både globalt maksimum og minimum. Disse må ligge i en av tre kategorier:

Oppskrift for globale ekstrema.

1. Indre kritiske punkt: løs ∇f = 0, behold punkt inni området.
2. Randen: parametriser hvert randstykke (eller bruk Lagrange) og finn kandidater.
3. Hjørner: evaluer alle hjørner/møtepunkt der randstykker treffes.
4. Regn f i alle kandidatene; størst = maks, minst = min.

Eksempel 3. Finn globalt maks/min av f(x,y) = x² + y² − 2x på disken x² + y² ≤ 4.

Indre: f_x = 2x − 2 = 0 ⟹ x = 1; f_y = 2y = 0 ⟹ y = 0

Punkt (1,0) ligger inni: f(1,0) = 1 − 2 = −1

Rand x² + y² = 4: f = 4 − 2x, der x ∈ [−2, 2]

f = 4 − 2x er størst når x = −2: f = 8; minst når x = 2: f = 0

Sammenlign −1, 8, 0: globalt min = −1 i (1,0), globalt maks = 8 i (−2,0)

Minste avstand fra punkt til kurve eller flate

Avstandsproblemer er en spesiell type betinget optimering. Siden kvadratrot er strengt voksende, oppnår avstanden d og kvadratet d² minimum i samme punkt — vi minimerer derfor alltid d² for å slippe kvadratrøtter.

Eksempel 4. Finn minste avstand fra origo til linjen 3x + 4y = 25.

Minimer d² = x² + y² under g = 3x + 4y − 25 = 0

(2x, 2y) = λ(3, 4) ⟹ x = 3λ/2, y = 2λ

Innsatt: 3(3λ/2) + 4(2λ) = 9λ/2 + 8λ = 25λ/2 = 25 ⟹ λ = 2

x = 3, y = 4 ⟹ d = √(9 + 16) = √25 = 5

(Stemmer med formelen |d|/√(a²+b²) = 25/√(9+16) = 5)

Studieguide: Ekstremalverdier og Lagranges multiplikatormetode