Hva sier divergensteoremet?

La T være et tredimensjonalt område med en lukket, stykkevis glatt rand S orientert med utadrettet enhetsnormal N̂. Hvis vektorfeltet F = P i + Q j + R k har kontinuerlige partiellderiverte i T, gjelder:

Divergensteoremet (Gauss):

\[ \iint_S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{N}}\,dS = \iiint_T \operatorname{div}\mathbf{F}\,dV \]

der \(\operatorname{div}\mathbf{F} = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}\).

Venstre side er fluksen av F ut av flaten; høyre side «teller opp» alle kilder og sluk inni volumet. Fysisk: netto utstrømning gjennom randen er lik den samlede kilde-/sluktettheten i volumet.

Når lønner det seg?

Divergensteoremet er gull verdt når:

• Flaten er lukket og består av flere deler (boks med 6 sider, sylinder med topp/bunn/mantel). Ett volumintegral erstatter alle flateintegralene.
• div F er konstant — da blir fluksen rett og slett \(\Phi = c\cdot V\), der c = div F og V er volumet.
• div F er enklere å integrere enn F·N̂ over en kronglete flate.

Forutsetninger (alle må gjelde):

1. S er lukket og omslutter T.
2. F er C¹ (glatt) i hele T — ingen singularitet inni.
3. Normalen N̂ er utadrettet.

Koordinatvalg og volumelement

Volumintegralet settes nesten alltid opp i kule- eller sylinderkoordinater. Pass på jacobideterminanten:

Kulekoordinater (NTNU: φ = polvinkel fra z-aksen, θ = azimut):

\[ dV = \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta,\quad 0\le\varphi\le\pi,\ 0\le\theta\le2\pi \]

med \(x^2+y^2+z^2=\rho^2\).

Sylinderkoordinater:

\[ dV = r\,dz\,dr\,d\theta \]

med \(x^2+y^2=r^2\).

Eksempel 1: Fluks ut av en lukket sylinder (konstant divergens)

Finn fluksen av F = 2x i + 3y j + z k ut av sylinderen \(x^2+y^2\le4\), \(0\le z\le3\).

Regn divergensen: \(\operatorname{div}\mathbf{F} = 2 + 3 + 1 = 6\) (konstant).

Da forenkles volumintegralet: \(\Phi = \iiint_T 6\,dV = 6\cdot V\).

Volum av sylinderen: \(V = \pi R^2 h = \pi\cdot2^2\cdot3 = 12\pi\).

Fluks: \(\Phi = 6\cdot12\pi = 72\pi\).

Vi slapp å regne tre separate flateintegraler (topp, bunn, mantel) — ett volumintegral holdt.

Eksempel 2: Fluks gjennom en ÅPEN flate ved å trekke fra bunnen

Finn fluksen av F = x i + y j + z k oppover gjennom paraboloiden \(z = 4 - x^2 - y^2\), \(z\ge0\) (en åpen flate).

Flaten er åpen, så vi lukker den med bunnskiven D: z = 0, \(x^2+y^2\le4\). Sammen danner paraboloid + bunnskive en lukket flate.

Regn divergensen: \(\operatorname{div}\mathbf{F} = 1+1+1 = 3\).

Volum (sylinderkoordinater): \(V = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^2 (4-r^2)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\big[2r^2-\tfrac{r^4}{4}\big]_0^2 = 2\pi(8-4)=8\pi\).

Total fluks ut av den lukkede flaten: \(\Phi_{\text{tot}} = 3\cdot8\pi = 24\pi\).

Bidrag fra bunnskiven: utadrettet normal er \(-\hat{\mathbf k}\). På z = 0 er \(\mathbf F\cdot(-\hat{\mathbf k}) = -z = 0\). Altså \(\Phi_{\text{bunn}} = 0\).

Fluks gjennom paraboloiden: \(\Phi_{\text{parab}} = \Phi_{\text{tot}} - \Phi_{\text{bunn}} = 24\pi - 0 = 24\pi\).

Eksempel 3: Ikke-konstant divergens med symmetri

Finn fluksen av F = 4x i − 2y² j + z² k ut av sylinderen \(x^2+y^2\le4\), \(0\le z\le3\).

Divergens: \(\operatorname{div}\mathbf{F} = 4 - 4y + 2z\).

Del opp: \(\Phi = \iiint 4\,dV - \iiint 4y\,dV + \iiint 2z\,dV\).

Ledd 1: \(\iiint 4\,dV = 4\cdot V = 4\cdot(\pi\cdot4\cdot3) = 48\pi\).

Ledd 2: \(\iiint(-4y)\,dV = 0\) ved symmetri (området er symmetrisk om y = 0, så y integrerer til null).

Ledd 3: \(\iiint 2z\,dV = 2\int_0^3 z\,dz \cdot (\text{areal}) = 2\cdot\tfrac{9}{2}\cdot(\pi\cdot4) = 36\pi\).

Sum: \(\Phi = 48\pi + 0 + 36\pi = 84\pi\).

Symmetriargumentet for ledd 2 sparer mye regning — alltid sjekk om odde ledd forsvinner.

Valg av utadrettet normal

Den vanligste feilen er feil normalretning. Husk for standardflater:

• Topp av sylinder (z = h): N̂ = +k̂
• Bunn (z = 0): N̂ = −k̂ (peker nedover, ut av volumet)
• Mantel av sylinder \(x^2+y^2=R^2\): N̂ = (x i + y j)/R, radielt utover
• Kuleflate: N̂ = r/|r|, radielt utover

Bruker du feil retning, får hele flateintegralet motsatt fortegn.

Studieguide: Divergensteoremet (Gauss)