TMA4106 · NTNU

Studieguide for TMA4106 Matematikk 2

Komplett pensumoversikt for matematikk 2 ved NTNU — med forklaringer, sentrale begreper, eksamenstips og vanlige fallgruver. Eksamensoptimalisert basert på tidligere eksamener.

Introduksjon

Denne studieguiden dekker TMA4105 Matematikk 2 (flervariabel kalkulus og vektoranalyse) ved NTNU, forankret i tidligere eksamener. Hver seksjon gir forklaringer, gjennomgåtte eksempler, nøkkelformler, vanlige feil og eksamenstips.

Funksjoner av flere variable: grenser, kontinuitet og deriverbarhet

Eksamensrelevant

Funksjoner av flere variable krever en helt ny forståelse av grenser: i planet finnes uendelig mange baner inn mot et punkt, og alle må gi samme verdi for at grensen skal eksistere. Dette temaet dekker hvordan du viser at en grense IKKE eksisterer (ulike baner gir ulike verdier), hvordan du BEVISER at en grense er 0 (skviseteorem og polarkoordinater), samt det subtile samspillet mellom kontinuitet, partiellderiverte, retningsderiverte og total deriverbarhet i stykkevis definerte punkter.

Grenser i flere variable

For en funksjon $f(x,y)$ sier vi at $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L$ hvis funksjonsverdien nærmer seg $L$ uansett hvordan $(x,y)$ beveger seg mot $(a,b)$ . Den helt sentrale forskjellen fra én variabel er at det finnes UENDELIG mange baner inn mot et punkt i planet — ikke bare «fra venstre» og «fra høyre». Alle disse banene må gi samme verdi.

Motbevis (grense eksisterer ikke): Finn to baner mot $(a,b)$ som gir ulike grenseverdier. Da kan ingen felles grense eksistere.

Bevis (grense er L): Bruk skviseteorem eller polarkoordinater til å vise at $|f(x,y)-L|$ kan gjøres vilkårlig liten, uavhengig av retning.

Vise at en grense ikke eksisterer

Standardbanene å teste er: aksene $x=0$ og $y=0$ , rette linjer $y=mx$ , og krumme baner $y=kx^2$ eller $x=ky^2$ . Et viktig poeng: at alle rette linjer gir samme verdi er IKKE nok til å konkludere at grensen eksisterer — en krum bane kan avsløre at den likevel ikke gjør det.

Eksempel 1: Vis at $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ ikke eksisterer.

Langs alle rette linjer

y=mx

\dfrac{x^2\cdot mx}{x^4+m^2x^2}=\dfrac{mx^3}{x^2(x^2+m^2)}=\dfrac{mx}{x^2+m^2}\to 0

Alle linjer gir altså grensen 0 — det kan friste til å tro at grensen er 0.

Test parabelbane

y=x^2

\dfrac{x^2\cdot x^2}{x^4+(x^2)^2}=\dfrac{x^4}{x^4+x^4}=\dfrac{x^4}{2x^4}=\dfrac{1}{2}

Linjer gir 0, parabelen gir

\tfrac12

. Ulike verdier

\Rightarrow

grensen eksisterer ikke.

Skviseteorem og polarkoordinater

For å BEVISE at en grense er 0 (eller en annen verdi), bruker vi enten skviseteoremet eller polarkoordinater. Begge metodene viser at funksjonen klemmes mot grensen uansett retning.

Skviseteoremet: Hvis $|f(x,y)-L|\le g(x,y)$ og $g(x,y)\to 0$ , så er $\lim f=L$ .

Polarkoordinater: Sett $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$ . Da blir $(x,y)\to(0,0)$ til $r\to 0^+$ . Hvis uttrykket har en faktor $r^p$ ( $p>0$ ) ganget med noe begrenset i $\theta$ , går grensen mot 0.

Nyttig ulikhet: $|xy|\le\dfrac{1}{2}(x^2+y^2)$ , og $\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le 1$ .

Eksempel 2: Vis at $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}=0$ med polarkoordinater.

Sett

x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta

\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}=\dfrac{r^2\cos^2\theta\cdot r\sin\theta}{r^2}=r\cos^2\theta\sin\theta

Begrens:

|r\cos^2\theta\sin\theta|\le r\cdot 1\cdot 1=r

Når

r\to 0

, gir skvis at

|f|\le r\to 0

, altså grensen

=0

Kontinuitet i stykkevis definerte punkter

En funksjon er kontinuerlig i $(a,b)$ hvis $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b)$ . For stykkevis definerte funksjoner (typisk $f=$ brøk for $(x,y)\neq(0,0)$ og $f(0,0)=0$ ) avgjør du kontinuitet ved å beregne grensen og sammenligne med funksjonsverdien.

Partiellderiverte og retningsderiverte fra definisjonen

I et stykkevis definert punkt MÅ partiell- og retningsderiverte beregnes fra grensedefinisjonen — du kan ikke bruke kvotientregelen eller gradientformelen, fordi disse forutsetter deriverbarhet.

$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$ , $\quad f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}$

Retningsderivert i retning enhetsvektor $\mathbf u=(u_1,u_2)$ : $D_{\mathbf u}f(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(hu_1,hu_2)-f(0,0)}{h}$

Når $f$ er deriverbar: $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=f_x u_1+f_y u_2$ .

Eksempel 3: For $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ ( $f(0,0)=0$ ): beregn $D_{\mathbf u}f(0,0)$ for $\mathbf u=(a,b)$ , $a^2+b^2=1$ .

D_{\mathbf u}f(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(ha,hb)-0}{h}

f(ha,hb)=\dfrac{(ha)^2(hb)}{(ha)^2+(hb)^2}=\dfrac{h^3a^2b}{h^2(a^2+b^2)}=\dfrac{h\,a^2b}{a^2+b^2}

\dfrac{f(ha,hb)}{h}=\dfrac{a^2b}{a^2+b^2}=a^2b

(siden

a^2+b^2=1

)

Alle retningsderiverte eksisterer og er lik

a^2b

Sammenhengen: deriverbarhet ⇒ kontinuitet ⇒ retningsderivert

Total deriverbarhet er den sterkeste egenskapen. Den medfører både kontinuitet og at alle retningsderiverte eksisterer med $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u$ . Men IMPLIKASJONENE GÅR BARE ÉN VEI:

Deriverbar $\Rightarrow$ kontinuerlig OG alle retningsderiverte eksisterer.

Men: kontinuerlig $\not\Rightarrow$ deriverbar (eks: $\sqrt{x^2+y^2}$ ).

Og: partiellderiverte eksisterer $\not\Rightarrow$ deriverbar eller kontinuerlig.

Og: alle retningsderiverte eksisterer $\not\Rightarrow$ kontinuerlig (eks: $\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ ).

Eksempel 4: Vis at $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ ( $f(0,0)=0$ ) er kontinuerlig, har $f_x=f_y=0$ , men IKKE er deriverbar i $(0,0)$ .

Kontinuitet: polar gir

r\cos^2\theta\sin\theta\to0

, så grensen er

0=f(0,0)

. Kontinuerlig.

f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)}{h}=\lim_{h\to0}\dfrac{0}{h}=0

; tilsvarende

f_y(0,0)=0

Deriverbarhetstest:

\dfrac{f(h,k)-f_x h-f_y k}{\sqrt{h^2+k^2}}=\dfrac{h^2k}{(h^2+k^2)^{3/2}}

Langs

k=h

\dfrac{h^3}{(2h^2)^{3/2}}=\dfrac{h^3}{2\sqrt2\,|h|^3}=\dfrac{1}{2\sqrt2}\neq 0

Feilleddet går ikke mot 0

\Rightarrow

f

er IKKE deriverbar, selv om den er kontinuerlig.

Nøkkelformler

•Grense eksisterer: samme verdi langs ALLE baner mot $(a,b)$
•Motbevis: to baner med ulik grenseverdi $\Rightarrow$ grensen eksisterer ikke
•Polarkoordinater: $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ (x,y)\to(0,0)\Leftrightarrow r\to0^+$
•Skviseteorem: $|f-L|\le g,\ g\to0\ \Rightarrow\ f\to L$
•Nyttig ulikhet: $|xy|\le\tfrac12(x^2+y^2)$ og $\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\le1$
•Kontinuitet: $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f=f(a,b)$
• $f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
•Retningsderivert (def.): $D_{\mathbf u}f(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(hu_1,hu_2)-f(0,0)}{h}$
•Gradientformel (kun deriverbar): $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u=f_x u_1+f_y u_2$
•Deriverbarhetstest: $\dfrac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x h-f_y k}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0$

Vanlige feil

⚠️Tror at like grenser langs alle rette linjer beviser at grensen eksisterer — krumme baner (parabler) kan gi annen verdi.
⚠️Bruker gradientformelen $\nabla f\cdot\mathbf u$ i et stykkevis definert punkt der $f$ ikke er deriverbar — formelen gjelder kun for deriverbare funksjoner.
⚠️Tror at eksistens av partiellderiverte garanterer kontinuitet eller deriverbarhet — det gjør den ikke.
⚠️Glemmer at retningsderivert krever ENHETSvektor $|\mathbf u|=1$ før man bruker $\nabla f\cdot\mathbf u$ .
⚠️Bruker kvotientregelen til å finne $f_x(0,0)$ i et stykkevis definert punkt i stedet for grensedefinisjonen.
⚠️Stopper polar-argumentet for tidlig: en gjenstående $\theta$ -avhengighet uten r-faktor betyr at grensen IKKE eksisterer.
⚠️Forveksler retningene i implikasjonskjeden: deriverbar ⇒ kontinuerlig, men ikke omvendt.

Eksamenstips

💡På eksamen følg fast rekkefølge i stykkevis punkter: (1) kontinuitet, (2) partiellderiverte fra def., (3) deriverbarhet via feilledd-testen, (4) retningsderiverte.
💡Skal du VISE at grensen ikke eksisterer: prøv først aksene, så $y=x$ , så $y=kx^2$ . Trenger bare to baner med ulik verdi.
💡Skal du BEVISE at grensen er 0: gå rett til polar eller skvis — banetesting kan aldri bevise at en grense finnes.
💡Husk telleren-graden-mot-nevneren-graden: hvis teller har høyere total grad enn nevner, peker det ofte mot grense 0 (men verifiser med skvis/polar).
💡Når $f$ er kontinuerlig men du mistenker ikke-deriverbar: test feilleddet $\dfrac{f(h,k)-f_x h-f_y k}{\sqrt{h^2+k^2}}$ langs $k=h$ — ofte avslører dette en konstant $\neq 0$ .
💡Bruk desimalkomma i sluttsvar (f.eks. $\tfrac{18}{5}=3{,}6$ ) i tråd med NTNU-konvensjon.
💡Skriv alltid hvilken bane eller substitusjon du bruker eksplisitt — sensor gir delpoeng for korrekt metode selv om regningen sklir.

Laster...

Laster…