2.2 Separable differensiallikninger

Løse differensiallikninger ved separasjon av variable.

55 min

16 oppgaver

Separabel likningSeparasjon av variableInitialbetingelse

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Separable differensiallikninger

En differensiallikning er separabel hvis den kan skrives på formen:
$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$

Vi kan da separere variablene og integrere hver side for seg.

Separasjonsmetoden

\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)

✏️Eksponentiell vekst

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = ky$ med $y(0) = y_0$ .

Separer:

\frac{dy}{y} = k \, dx

Integrer:
$\int \frac{1}{y} \, dy = \int k \, dx$
$\ln|y| = kx + C_1$

Løs for $y$ :
$|y| = e^{kx + C_1} = e^{C_1} e^{kx}$
$y = Ce^{kx}$ (der $C = \pm e^{C_1}$ )

Bruk initialbetingelse: $y(0) = C = y_0$

Svar: $y = y_0 e^{kx}$

✏️Annen type

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xy$ med $y(0) = 2$ .

Separer:

\frac{dy}{y} = x \, dx

Integrer:
$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$

Løs for $y$ :
$y = Ce^{x^2/2}$

Bruk initialbetingelse: $y(0) = C = 2$

Svar: $y = 2e^{x^2/2}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' = 3y$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' = -2y$ med $y(0) = 5$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Løs $y' = y^2$ med $y(0) = 1$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xe^{-y}$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' = \frac{x}{y}$ med $y(0) = 2$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En befolkning vokser med $P' = 0{,}03P$ . Hvis $P(0) = 1000$ , finn $P(t)$ og $P(10)$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y' = y(1-y)$ (logistisk vekst).

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Sett opp og løs differensiallikningen. Hvor mye er igjen etter 12 år?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Newtons avkjølingslov: $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ . Løs med $T(0) = T_0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En kopp kaffe med 80°C plasseres i rom med 20°C. Etter 10 min er den 60°C. Finn temperaturen etter 30 min.

Matematikk S2Tilbake

2.2 Separable differensiallikninger

Løse differensiallikninger ved separasjon av variable.

55 min

16 oppgaver

Separabel likningSeparasjon av variableInitialbetingelse

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Separable differensiallikninger

En differensiallikning er separabel hvis den kan skrives på formen:
$\frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)$

Vi kan da separere variablene og integrere hver side for seg.

Separasjonsmetoden

\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) \cdot g(y)

✏️Eksponentiell vekst

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = ky$ med $y(0) = y_0$ .

Separer:

\frac{dy}{y} = k \, dx

Integrer:
$\int \frac{1}{y} \, dy = \int k \, dx$
$\ln|y| = kx + C_1$

Løs for $y$ :
$|y| = e^{kx + C_1} = e^{C_1} e^{kx}$
$y = Ce^{kx}$ (der $C = \pm e^{C_1}$ )

Bruk initialbetingelse: $y(0) = C = y_0$

Svar: $y = y_0 e^{kx}$

✏️Annen type

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xy$ med $y(0) = 2$ .

Separer:

\frac{dy}{y} = x \, dx

Integrer:
$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C_1$

Løs for $y$ :
$y = Ce^{x^2/2}$

Bruk initialbetingelse: $y(0) = C = 2$

Svar: $y = 2e^{x^2/2}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' = 3y$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' = -2y$ med $y(0) = 5$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Løs $y' = y^2$ med $y(0) = 1$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = xe^{-y}$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' = \frac{x}{y}$ med $y(0) = 2$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En befolkning vokser med $P' = 0{,}03P$ . Hvis $P(0) = 1000$ , finn $P(t)$ og $P(10)$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y' = y(1-y)$ (logistisk vekst).

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Sett opp og løs differensiallikningen. Hvor mye er igjen etter 12 år?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Newtons avkjølingslov: $\displaystyle \frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ . Løs med $T(0) = T_0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En kopp kaffe med 80°C plasseres i rom med 20°C. Etter 10 min er den 60°C. Finn temperaturen etter 30 min.

2.2 Separable differensiallikninger | Matematikk S2 | Eksamenssett