2.3 Lineære differensiallikninger

Løse førsteordens lineære differensiallikninger.

55 min

14 oppgaver

Lineær differensiallikningHomogenInhomogenIntegrerende faktor

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Lineære første ordens differensiallikninger

En lineær første ordens differensiallikning har formen:
$y' + p(x)y = q(x)$

der $p(x)$ og $q(x)$ er kjente funksjoner.

📜Løsningsmetode

For å løse

y' + p(x)y = q(x)

1. Finn integrerende faktor: $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$

2. Multipliser likningen med $\mu(x)$ :
$\mu y' + \mu p y = \mu q$
$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu q$

3. Integrer: $\mu y = \int \mu q \, dx + C$

4. Løs for $y$ : $\displaystyle y = \frac{1}{\mu}\int \mu q \, dx + \frac{C}{\mu}$

✏️Lineær differensiallikning

Løs $y' + 2y = 4$ .

Her er

p(x) = 2

q(x) = 4

Integrerende faktor:
$\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

Multipliser:
$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$
$\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = 4e^{2x}$

Integrer:
$e^{2x}y = 2e^{2x} + C$

Løs for $y$ :
$y = 2 + Ce^{-2x}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' + y = 2$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' - y = 0$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $y' + 3y = 6$ med $y(0) = 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Løs $y' + y = e^x$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $y' - 2y = 4x$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs $xy' + y = x^2$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Et innskudd vokser med rente $r$ og får årlige innskudd $A$ : $\displaystyle \frac{dP}{dt} = rP + A$ . Løs med $P(0) = P_0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y' + 2xy = x$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En tank med 100 L vann får tilført saltløsning (20 g/L) med 5 L/min. Blanding renner ut med 5 L/min. Finn saltmengden $S(t)$ hvis $S(0) = 0$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' + \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^2}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn likevektsløsningen til $y' + 2y = 6$ og beskriv oppførselen til andre løsninger.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Løs $y' + y\tan x = \sec x$ for $\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ .

Matematikk S2Tilbake

2.3 Lineære differensiallikninger

Løse førsteordens lineære differensiallikninger.

55 min

14 oppgaver

Lineær differensiallikningHomogenInhomogenIntegrerende faktor

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Lineære første ordens differensiallikninger

En lineær første ordens differensiallikning har formen:
$y' + p(x)y = q(x)$

der $p(x)$ og $q(x)$ er kjente funksjoner.

📜Løsningsmetode

For å løse

y' + p(x)y = q(x)

1. Finn integrerende faktor: $\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}$

2. Multipliser likningen med $\mu(x)$ :
$\mu y' + \mu p y = \mu q$
$\frac{d}{dx}(\mu y) = \mu q$

3. Integrer: $\mu y = \int \mu q \, dx + C$

4. Løs for $y$ : $\displaystyle y = \frac{1}{\mu}\int \mu q \, dx + \frac{C}{\mu}$

✏️Lineær differensiallikning

Løs $y' + 2y = 4$ .

Her er

p(x) = 2

q(x) = 4

Integrerende faktor:
$\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

Multipliser:
$e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}$
$\frac{d}{dx}(e^{2x}y) = 4e^{2x}$

Integrer:
$e^{2x}y = 2e^{2x} + C$

Løs for $y$ :
$y = 2 + Ce^{-2x}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' + y = 2$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' - y = 0$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $y' + 3y = 6$ med $y(0) = 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Løs $y' + y = e^x$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $y' - 2y = 4x$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs $xy' + y = x^2$ for $x > 0$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Et innskudd vokser med rente $r$ og får årlige innskudd $A$ : $\displaystyle \frac{dP}{dt} = rP + A$ . Løs med $P(0) = P_0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y' + 2xy = x$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En tank med 100 L vann får tilført saltløsning (20 g/L) med 5 L/min. Blanding renner ut med 5 L/min. Finn saltmengden $S(t)$ hvis $S(0) = 0$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' + \frac{2y}{x} = \frac{1}{x^2}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn likevektsløsningen til $y' + 2y = 6$ og beskriv oppførselen til andre løsninger.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Løs $y' + y\tan x = \sec x$ for $\displaystyle -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ .

2.3 Lineære differensiallikninger | Matematikk S2 | Eksamenssett