2.1 Introduksjon til differensiallikninger

Hva er differensiallikninger og løsningsbegreper.

45 min

12 oppgaver

DifferensiallikningLøsningGenerell løsningPartikulær løsning

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Hva er en differensiallikning?

En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og dens deriverte. Vi vil finne funksjonen som tilfredsstiller likningen.

Eksempel: $y' = 2x$ er en differensiallikning. Løsningen er $y = x^2 + C$ .

Differensiallikning

y = y(x)

✏️Enkel differensiallikning

Løs $y' = 3x^2$ med initialbetingelse $y(0) = 5$ .

Generell løsning: Integrer begge sider.

y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C

Partikulær løsning: Bruk $y(0) = 5$ :
$5 = 0^3 + C \Rightarrow C = 5$

Svar: $y = x^3 + 5$

Anvendelser

Differensiallikninger brukes til å modellere:
- Befolkningsvekst
- Radioaktivt forfall
- Temperaturendring (Newtons avkjølingslov)
- Økonomisk vekst
- Spredning av sykdommer

✏️Vekstmodell

En bakteriekultur vokser med en rate proporsjonal med størrelsen. Sett opp differensiallikningen.

N(t)

være antall bakterier ved tid

t

"Rate proporsjonal med størrelsen" betyr:
$\frac{dN}{dt} = kN$

der $k > 0$ er vekstkonstanten.

Dette er den klassiske eksponentiell vekst-modellen.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' = 4x$ .

Finn den partikulære løsningen der $y(0) = 3$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' = e^x$ med $y(0) = 2$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' = \frac{1}{x}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Verifiser at $y = Ce^{2x}$ er løsning av $y' = 2y$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $y' = x + 1$ med $y(2) = 0$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Hastigheten til en partikkel er $v(t) = 6t - 2$ . Finn posisjon $s(t)$ hvis $s(0) = 5$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Sett opp differensiallikningen for radioaktivt forfall der nedbrytningsraten er proporsjonal med mengden.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y'' = 6x$ med $y'(0) = 2$ og $y(0) = 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Verifiser at $y = x^2 + Cx$ tilfredsstiller $xy' - y = x^2$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Akselerasjonen til et fallende objekt med luftmotstand kan modelleres som $a = g - kv$ . Sett opp differensiallikningen for $v(t)$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn alle funksjoner $f$ slik at $f'(x) = f(x)$ og $f(0) = 1$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En funksjon tilfredsstiller $y' = 2xy$ og $y(0) = 1$ . Verifiser at $y = e^{x^2}$ er løsningen.

Matematikk S2Tilbake

2.1 Introduksjon til differensiallikninger

Hva er differensiallikninger og løsningsbegreper.

45 min

12 oppgaver

DifferensiallikningLøsningGenerell løsningPartikulær løsning

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Hva er en differensiallikning?

En differensiallikning er en likning som inneholder en ukjent funksjon og dens deriverte. Vi vil finne funksjonen som tilfredsstiller likningen.

Eksempel: $y' = 2x$ er en differensiallikning. Løsningen er $y = x^2 + C$ .

Differensiallikning

y = y(x)

✏️Enkel differensiallikning

Løs $y' = 3x^2$ med initialbetingelse $y(0) = 5$ .

Generell løsning: Integrer begge sider.

y = \int 3x^2 \, dx = x^3 + C

Partikulær løsning: Bruk $y(0) = 5$ :
$5 = 0^3 + C \Rightarrow C = 5$

Svar: $y = x^3 + 5$

Anvendelser

Differensiallikninger brukes til å modellere:
- Befolkningsvekst
- Radioaktivt forfall
- Temperaturendring (Newtons avkjølingslov)
- Økonomisk vekst
- Spredning av sykdommer

✏️Vekstmodell

En bakteriekultur vokser med en rate proporsjonal med størrelsen. Sett opp differensiallikningen.

N(t)

være antall bakterier ved tid

t

"Rate proporsjonal med størrelsen" betyr:
$\frac{dN}{dt} = kN$

der $k > 0$ er vekstkonstanten.

Dette er den klassiske eksponentiell vekst-modellen.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Løs $y' = 4x$ .

Finn den partikulære løsningen der $y(0) = 3$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Løs $y' = e^x$ med $y(0) = 2$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Løs $\displaystyle y' = \frac{1}{x}$ for $x > 0$ med $y(1) = 0$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Verifiser at $y = Ce^{2x}$ er løsning av $y' = 2y$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Løs $y' = x + 1$ med $y(2) = 0$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Hastigheten til en partikkel er $v(t) = 6t - 2$ . Finn posisjon $s(t)$ hvis $s(0) = 5$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Sett opp differensiallikningen for radioaktivt forfall der nedbrytningsraten er proporsjonal med mengden.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Løs $y'' = 6x$ med $y'(0) = 2$ og $y(0) = 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Verifiser at $y = x^2 + Cx$ tilfredsstiller $xy' - y = x^2$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Akselerasjonen til et fallende objekt med luftmotstand kan modelleres som $a = g - kv$ . Sett opp differensiallikningen for $v(t)$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn alle funksjoner $f$ slik at $f'(x) = f(x)$ og $f(0) = 1$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

En funksjon tilfredsstiller $y' = 2xy$ og $y(0) = 1$ . Verifiser at $y = e^{x^2}$ er løsningen.

2.1 Introduksjon til differensiallikninger | Matematikk S2 | Eksamenssett