1.4 Integrasjonsmetoder

Delvis integrasjon og substitusjon.

65 min

20 oppgaver

Delvis integrasjonSubstitusjonVariabelskifte

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Praktiske anvendelser

Integrasjon brukes til å løse mange praktiske problemer:
- Finne total mengde fra en rate
- Beregne arbeid fra kraft over avstand
- Finne gjennomsnittsverdi av en funksjon
- Beregne forbrukernes og produsentenes overskudd i økonomi

Gjennomsnittsverdi

f

✏️Gjennomsnittstemperatur

Temperaturen en dag er gitt ved $\displaystyle T(t) = 20 + 8\sin(\frac{\pi t}{12})$ grader der $t$ er timer etter midnatt. Finn gjennomsnittstemperaturen fra kl. 6 til kl. 18.

\bar{T} = \frac{1}{18-6} \int_6^{18} (20 + 8\sin(\frac{\pi t}{12})) \, dt

$= \frac{1}{12} [20t - 8 \cdot \frac{12}{\pi}\cos(\frac{\pi t}{12})]_6^{18}$

$= \frac{1}{12} [(360 - \frac{96}{\pi} \cdot (-1)) - (120 - \frac{96}{\pi} \cdot 0)]$

$= \frac{1}{12} [360 + \frac{96}{\pi} - 120] = \frac{240 + \frac{96}{\pi}}{12} \approx 22{,}5°\text{C}$

Konsument- og produsentoverskudd

I økonomi kan integrasjon brukes til å beregne:

Konsumentoverskudd: Differansen mellom hva forbrukere er villige til å betale og hva de faktisk betaler.

Produsentoverskudd: Differansen mellom hva produsenter mottar og hva de er villige til å produsere for.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = 2x + 1$ på $[0, 4]$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Vanntilførsel til et basseng er $r(t) = 100 + 20t$ liter/time. Hvor mye vann tilføres de første 3 timene?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Befolkningsveksten er $P'(t) = 1000e^{0{,}02t}$ per år. Finn økningen de første 10 årene.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Hastighet er $v(t) = 3t^2$ m/s. Finn total tilbakelagt avstand fra $t = 0$ til $t = 4$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = e^x$ på $[0, 2]$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Marginalkostnaden er $K'(x) = 20 + 0{,}1x$ kr. Finn kostnadsøkningen når produksjonen øker fra 100 til 200 enheter.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Temperatur varierer som $\displaystyle T(t) = 15 + 10\cos(\frac{\pi t}{12})$ over et døgn ( $t$ i timer). Finn gjennomsnittstemperaturen.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En bakteriekoloni vokser med rate $r(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ per time. Hvor mange bakterier tilføres fra time 0 til time 6?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Strømforbruk varierer som $\displaystyle P(t) = 2000 + 500\sin(\frac{\pi t}{12})$ W. Finn energiforbruket (i kWh) over 24 timer.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Akselerasjon $a(t) = 6t$ m/s². Finn hastighet og posisjon som funksjoner av $t$ hvis $v(0) = 5$ m/s og $s(0) = 0$ m.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at gjennomsnittsverdien av en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ på $[c, d]$ er lik funksjonsverdien i midtpunktet.

Matematikk S2Tilbake

1.4 Integrasjonsmetoder

Delvis integrasjon og substitusjon.

65 min

20 oppgaver

Delvis integrasjonSubstitusjonVariabelskifte

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Praktiske anvendelser

Gjennomsnittsverdi

f

✏️Gjennomsnittstemperatur

Temperaturen en dag er gitt ved $\displaystyle T(t) = 20 + 8\sin(\frac{\pi t}{12})$ grader der $t$ er timer etter midnatt. Finn gjennomsnittstemperaturen fra kl. 6 til kl. 18.

\bar{T} = \frac{1}{18-6} \int_6^{18} (20 + 8\sin(\frac{\pi t}{12})) \, dt

$= \frac{1}{12} [20t - 8 \cdot \frac{12}{\pi}\cos(\frac{\pi t}{12})]_6^{18}$

$= \frac{1}{12} [(360 - \frac{96}{\pi} \cdot (-1)) - (120 - \frac{96}{\pi} \cdot 0)]$

$= \frac{1}{12} [360 + \frac{96}{\pi} - 120] = \frac{240 + \frac{96}{\pi}}{12} \approx 22{,}5°\text{C}$

Konsument- og produsentoverskudd

I økonomi kan integrasjon brukes til å beregne:

Konsumentoverskudd: Differansen mellom hva forbrukere er villige til å betale og hva de faktisk betaler.

Produsentoverskudd: Differansen mellom hva produsenter mottar og hva de er villige til å produsere for.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = 2x + 1$ på $[0, 4]$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Vanntilførsel til et basseng er $r(t) = 100 + 20t$ liter/time. Hvor mye vann tilføres de første 3 timene?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Befolkningsveksten er $P'(t) = 1000e^{0{,}02t}$ per år. Finn økningen de første 10 årene.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Hastighet er $v(t) = 3t^2$ m/s. Finn total tilbakelagt avstand fra $t = 0$ til $t = 4$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn gjennomsnittsverdien av $f(x) = e^x$ på $[0, 2]$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Marginalkostnaden er $K'(x) = 20 + 0{,}1x$ kr. Finn kostnadsøkningen når produksjonen øker fra 100 til 200 enheter.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Temperatur varierer som $\displaystyle T(t) = 15 + 10\cos(\frac{\pi t}{12})$ over et døgn ( $t$ i timer). Finn gjennomsnittstemperaturen.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

En bakteriekoloni vokser med rate $r(t) = 100 \cdot 2^{t/3}$ per time. Hvor mange bakterier tilføres fra time 0 til time 6?

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Strømforbruk varierer som $\displaystyle P(t) = 2000 + 500\sin(\frac{\pi t}{12})$ W. Finn energiforbruket (i kWh) over 24 timer.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Akselerasjon $a(t) = 6t$ m/s². Finn hastighet og posisjon som funksjoner av $t$ hvis $v(0) = 5$ m/s og $s(0) = 0$ m.

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at gjennomsnittsverdien av en lineær funksjon $f(x) = ax + b$ på $[c, d]$ er lik funksjonsverdien i midtpunktet.

1.4 Integrasjonsmetoder | Matematikk S2 | Eksamenssett