2.4 Logaritmefunksjoner | Matematikk S1

Logaritmer og logaritmefunksjoner.

60 min

18 oppgaver

LogaritmeLogaritmefunksjonLogaritmereglerNaturlig logaritme

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er en logaritme?

Logaritmen er den inverse operasjonen til eksponentiering:

$\log_b(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad b^y = x$

Med andre ord: Logaritmen $\log_b(x)$ svarer på spørsmålet "Hvilken potens må vi opphøye $b$ i for å få $x$ ?"

Logaritme

b

✏️Beregne logaritmer

Finn verdien av:
a) $\log_2(8)$
b) $\log_3(81)$
c) $\lg(1000)$

a) $\log_2(8) = ?$ betyr $2^? = 8 = 2^3$ , så $\log_2(8) = 3$

b) $\log_3(81) = ?$ betyr $3^? = 81 = 3^4$ , så $\log_3(81) = 4$

c) $\lg(1000) = ?$ betyr $10^? = 1000 = 10^3$ , så $\lg(1000) = 3$

📜Logaritmeregler

For $a, b > 0$ , $a \neq 1$ og $x, y > 0$ :

Produktregel: $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$

Kvotientregel: $\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$

Potensregel: $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$

Spesielle verdier:
- $\log_a(1) = 0$ (fordi $a^0 = 1$ )
- $\log_a(a) = 1$ (fordi $a^1 = a$ )

✏️Bruke logaritmeregler

Forenkle uttrykkene:
a) $\log_2(8) + \log_2(4)$
b) $\lg(100) - \lg(10)$
c) $\log_3(9^5)$

a) $\log_2(8) + \log_2(4) = \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(32) = \log_2(2^5) = 5$

b) $\displaystyle \lg(100) - \lg(10) = \lg\left(\frac{100}{10}\right) = \lg(10) = 1$

c) $\log_3(9^5) = 5 \cdot \log_3(9) = 5 \cdot \log_3(3^2) = 5 \cdot 2 = 10$

Logaritmefunksjonen grafisk

Logaritmefunksjonen $f(x) = \log_b(x)$ er den inverse funksjonen til $g(x) = b^x$ .

Egenskaper:
- Definisjonsmengde: $(0, \infty)$ - bare positive tall
- Verdimengde: $\mathbb{R}$ - alle reelle tall
- Skjæring med $x$ -aksen: $(1, 0)$
- Vertikal asymptote: $x = 0$

For $b > 1$ : Funksjonen er stigende
For $0 < b < 1$ : Funksjonen er synkende

📜Grunntallsskifte

For å omskrive logaritmer fra ett grunntall til et annet:

$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \frac{\lg(x)}{\lg(a)}$

Dette er nyttig for å beregne logaritmer med kalkulator.

✏️Løse eksponentiallikninger

Løs likningen $5^x = 200$ .

Vi tar logaritmen på begge sider:

\lg(5^x) = \lg(200)

x \cdot \lg(5) = \lg(200)

x = \frac{\lg(200)}{\lg(5)} = \frac{2{,}301}{0{,}699} \approx 3{,}29

Sjekk: $5^{3{,}29} \approx 200$ ✓

Anvendelser av logaritmer

Logaritmer brukes til å:
- Løse eksponentiallikninger
- Finne tid for dobling/halvering
- Linearisere eksponentielle sammenhenger
- Skalaer som pH, desibel og Richter

Eksempel - Doblingstid:
For $N(t) = N_0 \cdot b^t$ er doblingstiden:
$T_d = \frac{\ln(2)}{\ln(b)} = \frac{\lg(2)}{\lg(b)}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn $\log_2(16)$ .

Finn $\log_5(125)$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn $\lg(10000)$ .

Finn $\lg(0{,}01)$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv om $\log_4(64)$ som en potens og finn verdien.

Finn $\log_9(3)$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Forenkle $\lg(50) + \lg(20)$ .

Forenkle $\ln(e^3) - \ln(e)$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Forenkle $2\lg(5) + \lg(4)$ .

Forenkle $\log_2(8) + 3\log_2(2) - \log_2(4)$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs likningen $3^x = 20$ .

Løs likningen $e^x = 10$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Løs likningen $2^{2x} = 64$ .

Løs likningen $5 \cdot 3^x = 135$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En investering på 50 000 kr vokser med 4% per år. Etter hvor mange år er investeringen verdt 100 000 kr?

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Løs likningen $\lg(x) + \lg(x-3) = 1$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Vis at $\log_a(b) \cdot \log_b(a) = 1$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Løs likningen $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Decibel-skalaen for lydstyrke er definert ved $\displaystyle L = 10 \cdot \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)$ der $I$ er lydintensitet. Hvor mange ganger sterkere er 80 dB sammenlignet med 50 dB?

Logaritmer og logaritmefunksjoner.

60 min

18 oppgaver

LogaritmeLogaritmefunksjonLogaritmereglerNaturlig logaritme

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er en logaritme?

Logaritmen er den inverse operasjonen til eksponentiering:

$\log_b(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad b^y = x$

Med andre ord: Logaritmen $\log_b(x)$ svarer på spørsmålet "Hvilken potens må vi opphøye $b$ i for å få $x$ ?"

Logaritme

b

✏️Beregne logaritmer

Finn verdien av:
a) $\log_2(8)$
b) $\log_3(81)$
c) $\lg(1000)$

a) $\log_2(8) = ?$ betyr $2^? = 8 = 2^3$ , så $\log_2(8) = 3$

b) $\log_3(81) = ?$ betyr $3^? = 81 = 3^4$ , så $\log_3(81) = 4$

c) $\lg(1000) = ?$ betyr $10^? = 1000 = 10^3$ , så $\lg(1000) = 3$

📜Logaritmeregler

For $a, b > 0$ , $a \neq 1$ og $x, y > 0$ :

Produktregel: $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$

Kvotientregel: $\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$

Potensregel: $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$

Spesielle verdier:
- $\log_a(1) = 0$ (fordi $a^0 = 1$ )
- $\log_a(a) = 1$ (fordi $a^1 = a$ )

✏️Bruke logaritmeregler

Forenkle uttrykkene:
a) $\log_2(8) + \log_2(4)$
b) $\lg(100) - \lg(10)$
c) $\log_3(9^5)$

a) $\log_2(8) + \log_2(4) = \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(32) = \log_2(2^5) = 5$

b) $\displaystyle \lg(100) - \lg(10) = \lg\left(\frac{100}{10}\right) = \lg(10) = 1$

c) $\log_3(9^5) = 5 \cdot \log_3(9) = 5 \cdot \log_3(3^2) = 5 \cdot 2 = 10$

Logaritmefunksjonen grafisk

Logaritmefunksjonen $f(x) = \log_b(x)$ er den inverse funksjonen til $g(x) = b^x$ .

For $b > 1$ : Funksjonen er stigende
For $0 < b < 1$ : Funksjonen er synkende

📜Grunntallsskifte

For å omskrive logaritmer fra ett grunntall til et annet:

$\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)} = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \frac{\lg(x)}{\lg(a)}$

Dette er nyttig for å beregne logaritmer med kalkulator.

✏️Løse eksponentiallikninger

Løs likningen $5^x = 200$ .

Vi tar logaritmen på begge sider:

\lg(5^x) = \lg(200)

x \cdot \lg(5) = \lg(200)

x = \frac{\lg(200)}{\lg(5)} = \frac{2{,}301}{0{,}699} \approx 3{,}29

Sjekk: $5^{3{,}29} \approx 200$ ✓

Anvendelser av logaritmer

Logaritmer brukes til å:
- Løse eksponentiallikninger
- Finne tid for dobling/halvering
- Linearisere eksponentielle sammenhenger
- Skalaer som pH, desibel og Richter

Eksempel - Doblingstid:
For $N(t) = N_0 \cdot b^t$ er doblingstiden:
$T_d = \frac{\ln(2)}{\ln(b)} = \frac{\lg(2)}{\lg(b)}$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn $\log_2(16)$ .

Finn $\log_5(125)$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn $\lg(10000)$ .

Finn $\lg(0{,}01)$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Skriv om $\log_4(64)$ som en potens og finn verdien.

Finn $\log_9(3)$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Forenkle $\lg(50) + \lg(20)$ .

Forenkle $\ln(e^3) - \ln(e)$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Forenkle $2\lg(5) + \lg(4)$ .

Forenkle $\log_2(8) + 3\log_2(2) - \log_2(4)$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Løs likningen $3^x = 20$ .

Løs likningen $e^x = 10$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Løs likningen $2^{2x} = 64$ .

Løs likningen $5 \cdot 3^x = 135$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

En investering på 50 000 kr vokser med 4% per år. Etter hvor mange år er investeringen verdt 100 000 kr?

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Løs likningen $\lg(x) + \lg(x-3) = 1$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Vis at $\log_a(b) \cdot \log_b(a) = 1$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Løs likningen $4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Decibel-skalaen for lydstyrke er definert ved $\displaystyle L = 10 \cdot \lg\left(\frac{I}{I_0}\right)$ der $I$ er lydintensitet. Hvor mange ganger sterkere er 80 dB sammenlignet med 50 dB?