2.3 Eksponentialfunksjoner

Hva er en eksponentialfunksjon?

En eksponentialfunksjon er en funksjon der variabelen står i eksponenten:

$$f(x) = a \cdot b^x$$

der $a \neq 0$, $b > 0$ og $b \neq 1$.

Eksponentialfunksjoner brukes til å modellere situasjoner med konstant prosentvis vekst eller nedgang, for eksempel befolkningsvekst, radioaktivt forfall og rentesregning.

Vekstfaktor og prosentvis endring

Vekstfaktoren $b$ er knyttet til prosentvis endring $p$ per tidsenhet:

$$b = 1 + \frac{p}{100}$$

Eksempler:
- 5% økning: $b = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$
- 3% nedgang: $b = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$
- 12% økning: $b = 1 + 0{,}12 = 1{,}12$

Den naturlige eksponentialfunksjonen

Den naturlige eksponentialfunksjonen har grunntall $e \approx 2{,}718$:

$$f(x) = e^x$$

Tallet $e$ er definert som:
$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828$$

Denne funksjonen er spesielt viktig fordi den er sin egen deriverte: $(e^x)' = e^x$

Grafiske egenskaper

Alle eksponentialfunksjoner $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ har:
- Definisjonsmengde: alle reelle tall
- Verdimengde: $(0, \infty)$ (alltid positive verdier)
- Skjæring med $y$-aksen: $(0, a)$
- Ingen nullpunkter (grafen krysser aldri $x$-aksen)
- Horisontal asymptote: $y = 0$

For $b > 1$: Grafen er stigende
For $0 < b < 1$: Grafen er synkende

Kontinuerlig vekst

For kontinuerlig vekst med veksthastighet $k$ bruker vi:
$$f(t) = a \cdot e^{kt}$$

- $k > 0$: vekst
- $k < 0$: nedgang

Sammenhengen med diskret vekstfaktor $b$:
$$b = e^k \quad \text{eller} \quad k = \ln(b)$$