2.5 Omvendte funksjoner | Matematikk S1

Finne og analysere omvendte funksjoner.

45 min

12 oppgaver

Omvendt funksjonInversSymmetriEksistens

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Hva er en invers funksjon?

En invers funksjon (omvendt funksjon) "reverserer" virkningen av en funksjon. Hvis $f$ tar $x$ til $y$ , tar den inverse funksjonen $f^{-1}$ $y$ tilbake til $x$ .

$f(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$

Merk: Notasjonen $f^{-1}$ betyr "den inverse funksjonen til $f$ ", ikke $\displaystyle \frac{1}{f}$ .

Invers funksjon

f

Hvordan finne den inverse funksjonen

For å finne $f^{-1}$ algebraisk:
1. Skriv $y = f(x)$
2. Løs likningen for $x$ (få $x$ alene på venstre side)
3. Bytt om $x$ og $y$

Det resulterende uttrykket er $f^{-1}(x)$ .

✏️Finne invers funksjon

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 3x - 5$ .

Steg 1:

y = 3x - 5

Steg 2: Løs for $x$ :
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$

Steg 3: Bytt $x$ og $y$ :
$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

Sjekk:
$f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \frac{x+5}{3} - 5 = x + 5 - 5 = x \checkmark$
$f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x-5)+5}{3} = \frac{3x}{3} = x \checkmark$

Grafisk sammenheng

Grafen til $f^{-1}$ er speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y = x$ .

Hvis punktet $(a, b)$ ligger på grafen til $f$ , så ligger punktet $(b, a)$ på grafen til $f^{-1}$ .

Domenene og verdimengdene byttes:
- Definisjonsmengden til $f^{-1}$ = Verdimengden til $f$
- Verdimengden til $f^{-1}$ = Definisjonsmengden til $f$

✏️Eksponential og logaritme

Vis at $f(x) = e^x$ og $g(x) = \ln(x)$ er inverse av hverandre.

Sjekk 1:

f(g(x)) = e^{\ln(x)} = x

for

x > 0

✓

Sjekk 2: $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ for alle $x$ ✓

Altså er $f$ og $g$ inverse av hverandre.

Grafisk: Grafene til $y = e^x$ og $y = \ln(x)$ er speilbilder om linjen $y = x$ .

Når eksisterer den inverse?

Ikke alle funksjoner har en invers. En funksjon må være en-til-en (injektiv) for å ha en invers.

Eksempel: $f(x) = x^2$ har ikke en invers fordi $f(2) = f(-2) = 4$ .

Løsning: Vi kan begrense definisjonsmengden. For $f(x) = x^2$ med $x \geq 0$ er den inverse $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .

✏️Begrense definisjonsmengden

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = x^2 + 1$ for $x \geq 0$ .

Steg 1:

y = x^2 + 1

Steg 2: Løs for $x$ :
$y - 1 = x^2$
$x = \sqrt{y - 1}$ (velger positiv rot siden $x \geq 0$ )

Steg 3: Bytt $x$ og $y$ :
$f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$

Definisjonsmengde for $f^{-1}$ : $x \geq 1$ (verdimengden til $f$ )

En funksjon har en invers hvis og bare hvis hver horisontal linje skjærer grafen høyst én gang. Dette kalles den horisontale linjetesten.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = x + 7$ .

Finn den inverse funksjonen til $g(x) = 2x$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 4x - 3$ .

Sjekk at $f(f^{-1}(x)) = x$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn $f^{-1}(5)$ hvis $f(3) = 5$ .

Hvis $(2, 7)$ ligger på grafen til $f$ , hvilket punkt ligger på grafen til $f^{-1}$ ?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{2}$ .

Verifiser at $f^{-1}(f(x)) = x$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = \sqrt{x + 4}$ for $x \geq -4$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 3^x$ .

Hva er definisjonsmengden til $f^{-1}$ ?

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ for $x \neq 0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ for $x \neq 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = (x-2)^3 + 1$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Avgjør om $f(x) = x^3 - x$ har en invers funksjon.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 2^{x-3} + 1$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at hvis $f$ er en-til-en og har invers $f^{-1}$ , så er også $f^{-1}$ en-til-en med invers $f$ .

Finne og analysere omvendte funksjoner.

45 min

12 oppgaver

Omvendt funksjonInversSymmetriEksistens

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Hva er en invers funksjon?

En invers funksjon (omvendt funksjon) "reverserer" virkningen av en funksjon. Hvis $f$ tar $x$ til $y$ , tar den inverse funksjonen $f^{-1}$ $y$ tilbake til $x$ .

$f(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad f^{-1}(y) = x$

Merk: Notasjonen $f^{-1}$ betyr "den inverse funksjonen til $f$ ", ikke $\displaystyle \frac{1}{f}$ .

Invers funksjon

f

Hvordan finne den inverse funksjonen

For å finne $f^{-1}$ algebraisk:
1. Skriv $y = f(x)$
2. Løs likningen for $x$ (få $x$ alene på venstre side)
3. Bytt om $x$ og $y$

Det resulterende uttrykket er $f^{-1}(x)$ .

✏️Finne invers funksjon

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 3x - 5$ .

Steg 1:

y = 3x - 5

Steg 2: Løs for $x$ :
$y + 5 = 3x$
$x = \frac{y + 5}{3}$

Steg 3: Bytt $x$ og $y$ :
$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

Sjekk:
$f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \frac{x+5}{3} - 5 = x + 5 - 5 = x \checkmark$
$f^{-1}(f(x)) = \frac{(3x-5)+5}{3} = \frac{3x}{3} = x \checkmark$

Grafisk sammenheng

Grafen til $f^{-1}$ er speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y = x$ .

Hvis punktet $(a, b)$ ligger på grafen til $f$ , så ligger punktet $(b, a)$ på grafen til $f^{-1}$ .

Domenene og verdimengdene byttes:
- Definisjonsmengden til $f^{-1}$ = Verdimengden til $f$
- Verdimengden til $f^{-1}$ = Definisjonsmengden til $f$

✏️Eksponential og logaritme

Vis at $f(x) = e^x$ og $g(x) = \ln(x)$ er inverse av hverandre.

Sjekk 1:

f(g(x)) = e^{\ln(x)} = x

for

x > 0

✓

Sjekk 2: $g(f(x)) = \ln(e^x) = x$ for alle $x$ ✓

Altså er $f$ og $g$ inverse av hverandre.

Grafisk: Grafene til $y = e^x$ og $y = \ln(x)$ er speilbilder om linjen $y = x$ .

Når eksisterer den inverse?

Ikke alle funksjoner har en invers. En funksjon må være en-til-en (injektiv) for å ha en invers.

Eksempel: $f(x) = x^2$ har ikke en invers fordi $f(2) = f(-2) = 4$ .

Løsning: Vi kan begrense definisjonsmengden. For $f(x) = x^2$ med $x \geq 0$ er den inverse $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .

✏️Begrense definisjonsmengden

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = x^2 + 1$ for $x \geq 0$ .

Steg 1:

y = x^2 + 1

Steg 2: Løs for $x$ :
$y - 1 = x^2$
$x = \sqrt{y - 1}$ (velger positiv rot siden $x \geq 0$ )

Steg 3: Bytt $x$ og $y$ :
$f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$

Definisjonsmengde for $f^{-1}$ : $x \geq 1$ (verdimengden til $f$ )

En funksjon har en invers hvis og bare hvis hver horisontal linje skjærer grafen høyst én gang. Dette kalles den horisontale linjetesten.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = x + 7$ .

Finn den inverse funksjonen til $g(x) = 2x$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 4x - 3$ .

Sjekk at $f(f^{-1}(x)) = x$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn $f^{-1}(5)$ hvis $f(3) = 5$ .

Hvis $(2, 7)$ ligger på grafen til $f$ , hvilket punkt ligger på grafen til $f^{-1}$ ?

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{2}$ .

Verifiser at $f^{-1}(f(x)) = x$ .

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = \sqrt{x + 4}$ for $x \geq -4$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 3^x$ .

Hva er definisjonsmengden til $f^{-1}$ ?

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ for $x \neq 0$ .

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ for $x \neq 1$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = (x-2)^3 + 1$ .

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Avgjør om $f(x) = x^3 - x$ har en invers funksjon.

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn den inverse funksjonen til $f(x) = 2^{x-3} + 1$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Vis at hvis $f$ er en-til-en og har invers $f^{-1}$ , så er også $f^{-1}$ en-til-en med invers $f$ .