2.2 Rasjonale funksjoner | Matematikk S1

Egenskaper ved rasjonale funksjoner, asymptoter.

50 min

14 oppgaver

Rasjonale funksjonerVertikal asymptoteHorisontal asymptoteDefinisjonsmengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er en rasjonal funksjon?

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der teller og nevner er polynomer:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomfunksjoner og $Q(x) \neq 0$ .

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Eksempler på rasjonale funksjoner

- $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ (den enkleste rasjonale funksjonen)
- $\displaystyle g(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$
- $\displaystyle h(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$
- $\displaystyle p(x) = \frac{2x^3 - 5x + 1}{x^2 - 4}$

Asymptoter

Vertikale asymptoter

En vertikal asymptote er en vertikal linje

x = a

der funksjonen går mot

\pm\infty

Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null, men telleren er ulik null.

Horisontale asymptoter

En horisontal asymptote er en horisontal linje

y = b

som grafen nærmer seg for store verdier av

|x|

For å finne horisontale asymptoter ser vi på graden til teller og nevner:
- Grad teller < grad nevner: $y = 0$
- Grad teller = grad nevner: $\displaystyle y = \frac{\text{ledende koeff. teller}}{\text{ledende koeff. nevner}}$
- Grad teller > grad nevner: Ingen horisontal asymptote

✏️Finne asymptoter

Finn asymptotene til $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Vertikal asymptote:
Nevner lik null:

x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

Vertikal asymptote:

x = 3

Horisontal asymptote:
Grad teller = grad nevner = 1
$y = \frac{2}{1} = 2$
Horisontal asymptote: $y = 2$

Nullpunkter

Nullpunktene til en rasjonal funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ er verdiene der $P(x) = 0$ og $Q(x) \neq 0$ .

Med andre ord: telleren er null, men nevneren er ikke null.

✏️Finne nullpunkter

Finn nullpunktene til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$ .

Teller lik null:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Sjekk at nevner ikke er null:
- $x = 2$ : $2^2 - 1 = 3 \neq 0$ ✓
- $x = -2$ : $(-2)^2 - 1 = 3 \neq 0$ ✓

Nullpunktene er $x = -2$ og $x = 2$ .

Skrå asymptoter

Når graden til telleren er nøyaktig én mer enn graden til nevneren, har funksjonen en skrå asymptote.

Den skrå asymptoten finnes ved polynomdivisjon:
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}$

der $ax + b$ er den skrå asymptoten.

✏️Skrå asymptote

Finn den skrå asymptoten til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ .

Vi utfører polynomdivisjon:

$\frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = x + 3 + \frac{0}{x - 1} = x + 3$

Merk: I dette tilfellet går divisjonen opp! Det betyr at $f(x) = x + 3$ for alle $x \neq 1$ .

La oss verifisere: $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$ , så
$f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = x + 3 \text{ for } x \neq 1$

Grafen er altså en rett linje med et "hull" ved $x = 1$ .

Husk å alltid sjekke om teller og nevner har felles faktorer som kan forkortes. Dette kan avsløre "hull" i grafen og forenkle analysen.

For eksempel: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ for $x \neq 2$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn definisjonsmengden til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x - 4}$ .

Finn definisjonsmengden til $\displaystyle g(x) = \frac{3}{x^2 - 9}$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn vertikal asymptote til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Finn horisontal asymptote til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 2}$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn nullpunktet til $\displaystyle f(x) = \frac{x - 3}{x + 1}$ .

Finn nullpunktene til $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 2}$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 6}{x + 4}$ .

Finn nullpunktet.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$ .

Har funksjonen noen nullpunkter?

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Forenkle $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ og finn eventuelle "hull".

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn den skrå asymptoten til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$ .

Finn nullpunktene og vertikal asymptote.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1}$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn $k$ slik at grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{kx + 3}{x - 2}$ går gjennom punktet $(1, -2)$ .

Med denne verdien av $k$ , finn alle asymptoter.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs ulikheten $\displaystyle \frac{x + 1}{x - 2} > 0$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn en rasjonal funksjon som har vertikale asymptoter i $x = 1$ og $x = -2$ , horisontal asymptote $y = 3$ , og nullpunkt i $x = 0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Analyser og skisser grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$ . Finn nullpunkter, asymptoter og eventuelle hull.

Egenskaper ved rasjonale funksjoner, asymptoter.

50 min

14 oppgaver

Rasjonale funksjonerVertikal asymptoteHorisontal asymptoteDefinisjonsmengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er en rasjonal funksjon?

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der teller og nevner er polynomer:

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomfunksjoner og $Q(x) \neq 0$ .

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Eksempler på rasjonale funksjoner

Asymptoter

Vertikale asymptoter

En vertikal asymptote er en vertikal linje

x = a

der funksjonen går mot

\pm\infty

Vertikale asymptoter oppstår der nevneren er null, men telleren er ulik null.

Horisontale asymptoter

En horisontal asymptote er en horisontal linje

y = b

som grafen nærmer seg for store verdier av

|x|

✏️Finne asymptoter

Finn asymptotene til $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Vertikal asymptote:
Nevner lik null:

x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3

Vertikal asymptote:

x = 3

Horisontal asymptote:
Grad teller = grad nevner = 1
$y = \frac{2}{1} = 2$
Horisontal asymptote: $y = 2$

Nullpunkter

Nullpunktene til en rasjonal funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ er verdiene der $P(x) = 0$ og $Q(x) \neq 0$ .

Med andre ord: telleren er null, men nevneren er ikke null.

✏️Finne nullpunkter

Finn nullpunktene til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$ .

Teller lik null:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Sjekk at nevner ikke er null:
- $x = 2$ : $2^2 - 1 = 3 \neq 0$ ✓
- $x = -2$ : $(-2)^2 - 1 = 3 \neq 0$ ✓

Nullpunktene er $x = -2$ og $x = 2$ .

Skrå asymptoter

Når graden til telleren er nøyaktig én mer enn graden til nevneren, har funksjonen en skrå asymptote.

Den skrå asymptoten finnes ved polynomdivisjon:
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = ax + b + \frac{R(x)}{Q(x)}$

der $ax + b$ er den skrå asymptoten.

✏️Skrå asymptote

Finn den skrå asymptoten til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}$ .

Vi utfører polynomdivisjon:

$\frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = x + 3 + \frac{0}{x - 1} = x + 3$

Merk: I dette tilfellet går divisjonen opp! Det betyr at $f(x) = x + 3$ for alle $x \neq 1$ .

La oss verifisere: $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$ , så
$f(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{x-1} = x + 3 \text{ for } x \neq 1$

Grafen er altså en rett linje med et "hull" ved $x = 1$ .

Husk å alltid sjekke om teller og nevner har felles faktorer som kan forkortes. Dette kan avsløre "hull" i grafen og forenkle analysen.

For eksempel: $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ for $x \neq 2$

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Finn definisjonsmengden til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x - 4}$ .

Finn definisjonsmengden til $\displaystyle g(x) = \frac{3}{x^2 - 9}$ .

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Finn vertikal asymptote til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 2}$ .

Finn horisontal asymptote til $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 2}$ .

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn nullpunktet til $\displaystyle f(x) = \frac{x - 3}{x + 1}$ .

Finn nullpunktene til $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 2}$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 6}{x + 4}$ .

Finn nullpunktet.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 4}$ .

Har funksjonen noen nullpunkter?

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Forenkle $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ og finn eventuelle "hull".

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

Finn den skrå asymptoten til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$ .

Finn nullpunktene og vertikal asymptote.

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Finn alle asymptoter til $\displaystyle f(x) = \frac{2x^2 + x - 1}{x + 1}$ .

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Finn $k$ slik at grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{kx + 3}{x - 2}$ går gjennom punktet $(1, -2)$ .

Med denne verdien av $k$ , finn alle asymptoter.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Løs ulikheten $\displaystyle \frac{x + 1}{x - 2} > 0$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

Finn en rasjonal funksjon som har vertikale asymptoter i $x = 1$ og $x = -2$ , horisontal asymptote $y = 3$ , og nullpunkt i $x = 0$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Analyser og skisser grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 2}$ . Finn nullpunkter, asymptoter og eventuelle hull.