2.1 Polynomfunksjoner | Matematikk S1

Egenskaper ved polynomfunksjoner og deres grafer.

55 min

16 oppgaver

PolynomfunksjonGrafNullpunkterEkstremalpunkterVendepunkt

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Hva er en polynomfunksjon?

En polynomfunksjon er en funksjon som kan skrives på formen:

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

der $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0$ er konstanter og $a_n \neq 0$ .

Graden til polynomfunksjonen er den høyeste potensen av $x$ , altså $n$ .

Polynomfunksjon

n

Ulike polynomfunksjoner

Grad	Navn	Generell form
0	Konstant funksjon	$f(x) = a_0$
1	Lineær funksjon	$f(x) = ax + b$
2	Kvadratisk funksjon	$f(x) = ax^2 + bx + c$
3	Kubisk funksjon	$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
4	Kvartisk funksjon	$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

✏️Identifisere polynomfunksjoner

Avgjør om følgende funksjoner er polynomfunksjoner, og angi eventuelt graden:

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
b) $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} + x$
c) $h(x) = \sqrt{x}$
d) $p(x) = 7$

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$ er en polynomfunksjon av grad 4 (kvartisk).

b) $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} + x = x^{-1} + x$ er ikke en polynomfunksjon fordi $x^{-1}$ har negativ eksponent.

c) $h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ er ikke en polynomfunksjon fordi eksponenten ikke er et heltall.

d) $p(x) = 7$ er en polynomfunksjon av grad 0 (konstant funksjon).

Nullpunkter

Et nullpunkt til en funksjon $f$ er en $x$ -verdi der $f(x) = 0$ .

For polynomfunksjoner gjelder:
- En polynomfunksjon av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter
- Nullpunktene kan finnes ved faktorisering eller ved numeriske metoder

📜Faktorteoremet

Hvis $x = a$ er et nullpunkt for polynomfunksjonen $f(x)$ , så er $(x - a)$ en faktor i $f(x)$ .

Det vil si: $f(a) = 0 \Leftrightarrow f(x) = (x - a) \cdot q(x)$ for en polynomfunksjon $q(x)$ .

✏️Finne nullpunkter

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Vi prøver først å finne ett nullpunkt ved å teste noen verdier:
-

f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0

✓

Siden $x = 1$ er et nullpunkt, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

Vi faktoriserer videre:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Dermed:
$f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunktene er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

Grafiske egenskaper

Endeoppførsel

For store verdier av

|x|

dominerer leddet med høyest potens:

- Partallsgrad ( $n = 2, 4, 6, \ldots$ ):
- $a_n > 0$ : Grafen går mot $+\infty$ for $x \to \pm\infty$
- $a_n < 0$ : Grafen går mot $-\infty$ for $x \to \pm\infty$

- Oddetallsgrad ( $n = 1, 3, 5, \ldots$ ):
- $a_n > 0$ : Grafen går mot $-\infty$ for $x \to -\infty$ og $+\infty$ for $x \to +\infty$
- $a_n < 0$ : Grafen går mot $+\infty$ for $x \to -\infty$ og $-\infty$ for $x \to +\infty$

✏️Skissere graf

Skisser grafen til $f(x) = -x^3 + 3x$ ved å finne nullpunkter og bestemme endeoppførsel.

Nullpunkter:

-x^3 + 3x = 0

-x(x^2 - 3) = 0

x = 0 \text{ eller } x = \pm\sqrt{3}

Nullpunktene er $x = -\sqrt{3} \approx -1{,}73$ , $x = 0$ og $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ .

Endeoppførsel:
Dette er en polynomfunksjon av grad 3 (oddetallsgrad) med negativ ledende koeffisient ( $-1$ ).
- For $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$
- For $x \to +\infty$ : $f(x) \to -\infty$

Tilleggspunkter:
- $f(-1) = -(-1) + 3(-1) = 1 - 3 = -2$
- $f(1) = -1 + 3 = 2$

Grafen starter oppe til venstre, krysser $x$ -aksen ved $x = -\sqrt{3}$ , når et toppunkt rundt $x = -1$ , krysser i $x = 0$ , når et bunnpunkt rundt $x = 1$ , og fortsetter nedover mot høyre.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Hvilken grad har polynomfunksjonen $f(x) = 2x^5 - 3x^3 + x - 7$ ?

Hva er den ledende koeffisienten og konstantleddet?

📝Oppgave 2

Løs oppgavene:

Er $\displaystyle f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ en polynomfunksjon?

Er $g(x) = x^3 - \sqrt{2}x + 1$ en polynomfunksjon?

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Finn nullpunktene til $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .

Finn nullpunktene til $g(x) = x^2 - 4$ .

📝Oppgave 4

Løs oppgavene:

Vis at $x = 2$ er et nullpunkt for $f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ .

Bruk faktorteoremet til å faktorisere $f(x)$ fullstendig og finn alle nullpunkter.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - x$ ved faktorisering.

Beskriv endeoppførselen til $f(x)$ .

📝Oppgave 6

Løs oppgavene:

Finn alle nullpunktene til $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ .

Beskriv endeoppførselen til $f(x)$ .

📝Oppgave 7

Løs oppgavene:

En polynomfunksjon har nullpunkter $x = -1$ , $x = 2$ og $x = 3$ . Skriv opp en mulig funksjonsuttrykk.

Hvis funksjonen i tillegg skal gå gjennom punktet $(0, 12)$ , hva blir funksjonsuttrykket?

📝Oppgave 8

Løs oppgavene:

Vis at $x = -1$ er et nullpunkt for $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ .

Faktoriser $f(x)$ fullstendig.

📝Oppgave 9

Løs oppgavene:

Hvor mange nullpunkter kan en polynomfunksjon av grad 5 ha? Forklar.

Gi et eksempel på en polynomfunksjon av grad 5 med nøyaktig tre nullpunkter.

📝Oppgave 10

Løs oppgavene:

Finn $k$ slik at $x = 3$ er et nullpunkt for $f(x) = x^3 - kx^2 + 2x - 6$ .

Med verdien av $k$ fra oppgave a, finn alle nullpunktene til $f(x)$ .

📝Oppgave 11

Løs oppgavene:

En kubisk funksjon $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ har nullpunkter i $x = -2$ , $x = 1$ og $x = 4$ , og $f(0) = -8$ . Bestem $a$ , $b$ , $c$ og $d$ .

📝Oppgave 12

Løs oppgavene:

Skisser grafen til $f(x) = x^4 - 4x^3$ ved å finne nullpunkter, fortegn og endeoppførsel.

Grad

Navn

Generell form

Konstant funksjon

f(x) = a_0

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

Kvadratisk funksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

Kubisk funksjon

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

Kvartisk funksjon

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e