1.3 Likninger og ulikheter

Steg 1: Finn ett nullpunkt ved å prøve divisorer av 6
$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓

Steg 2: Polynomdivisjon
$(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) \div (x - 1) = x^2 - x - 6$

Steg 3: Faktoriser resten
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

Steg 4: Fullstendig faktorisering
$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0$

Løsninger: $x = 1$, $x = 3$, $x = -2$

Fellesnevner: $x(x-1)$

Multipliser med fellesnevner:
$\displaystyle \frac{x(x-1)}{x} + \frac{2x(x-1)}{x-1} = 3x(x-1)$
$(x-1) + 2x = 3x(x-1)$
$3x - 1 = 3x^2 - 3x$
$0 = 3x^2 - 6x + 1$

ABC-formelen:
$\displaystyle x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Sjekk: Ingen av løsningene gir $x = 0$ eller $x = 1$.

Løsninger: $\displaystyle x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ og $\displaystyle x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Nullpunkter: $x = 1$ og $x = -2$

Fortegnslinje:
``
-2 1
────────┼────────┼────────
x - 1: - - - | +
x + 2: - | + +
────────────────────────────
Produkt: + | - | +
``

Analyse:
- For $x < -2$: $(-)(-) = +$ (positiv)
- For $-2 < x < 1$: $(-)(+) = -$ (negativ)
- For $x > 1$: $(+)(+) = +$ (positiv)

Løsning: $x < -2$ eller $x > 1$

I intervallnotasjon: $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$

Kritiske punkter:
- Teller = 0: $x = -1$
- Nevner = 0: $x = 2$ (ikke definert)

Fortegnslinje:
``
-1 2
──────┼────────┼────────
x + 1: - | + +
x - 2: - - | +
────────────────────────────
Brøk: + | - | +
``

Brøken er positiv når teller og nevner har samme fortegn.

Løsning: $x < -1$ eller $x > 2$

I intervallnotasjon: $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$