1.2 Rasjonale uttrykk | Matematikk S1

Forenkle, multiplisere og dividere rasjonale uttrykk.

50 min

14 oppgaver

Rasjonale uttrykkForkortingFellesnevnerAlgebraiske brøker

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer.

Eksempler:
- $\displaystyle \frac{x + 2}{x - 3}$
- $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$
- $\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 1}$

Rasjonale uttrykk følger de samme reglene som vanlige brøker, men vi må være oppmerksomme på definisjonsmengden.

Rasjonalt uttrykk

\frac{P(x)}{Q(x)}

Forkorting av rasjonale uttrykk

For å forkorte et rasjonalt uttrykk:
1. Faktoriser teller og nevner
2. Stryk felles faktorer

Viktig: Vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd!

✏️Eksempel 1: Forkorting

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser teller og nevner

Teller: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (konjugatsetningen)

Nevner: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ (fullstendig kvadrat)

Steg 2: Forkort
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Definisjonsmengde: $x \neq -2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-2}{x+2}$ , $x \neq -2$

📝Oppgave 1

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

📝Oppgave 2

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 2x}$ .

📝Oppgave 3

Forkort $\displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1}$ .

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

For å multiplisere rasjonale uttrykk:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

Tips: Faktoriser først, så kan du forkorte før du multipliserer.

✏️Eksempel 2: Multiplikasjon

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Steg 2: Skriv opp og forkort
$\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1}$
$= \frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)}$
$= x + 1$

Svar: $x + 1$ , $x \neq -3, 1$

📝Oppgave 4

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ .

Divisjon av rasjonale uttrykk

For å dividere rasjonale uttrykk, multipliserer vi med den omvendte brøken:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x} \div \frac{x + 3}{x^2}$ .

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk trenger vi fellesnevner.

$\frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) + R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

✏️Eksempel 3: Addisjon

Regn ut $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$ .

Løsning:

Fellesnevner: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Utvider brøkene:
$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Adderer tellerne:
$= \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{x^2 - 1}$
$= \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1}$
$= \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$

Svar: $\displaystyle \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$ , $x \neq \pm 1$

📝Oppgave 6

Regn ut $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$ .

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$ .

📝Oppgave 8

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} - \frac{2x-1}{x^2-x}$ .

📝Oppgave 9

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$ .

📝Oppgave 10

Forenkle $\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ .

📝Oppgave 11

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4x + 4}$ .

📝Oppgave 12

Vis at $\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$ for $x \neq 1$ .

Oppsummering

Rasjonalt uttrykk: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer

Forkorting: Faktoriser og stryk felles faktorer

Multiplikasjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$

Divisjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

Addisjon/Subtraksjon: Finn fellesnevner

Husk definisjonsmengden!

Forenkle, multiplisere og dividere rasjonale uttrykk.

50 min

14 oppgaver

Rasjonale uttrykkForkortingFellesnevnerAlgebraiske brøker

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er et rasjonalt uttrykk?

Et rasjonalt uttrykk er en brøk der teller og nevner er polynomer.

Eksempler:
- $\displaystyle \frac{x + 2}{x - 3}$
- $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x + 1}$
- $\displaystyle \frac{2x}{x^2 - 1}$

Rasjonale uttrykk følger de samme reglene som vanlige brøker, men vi må være oppmerksomme på definisjonsmengden.

Rasjonalt uttrykk

\frac{P(x)}{Q(x)}

Forkorting av rasjonale uttrykk

For å forkorte et rasjonalt uttrykk:
1. Faktoriser teller og nevner
2. Stryk felles faktorer

Viktig: Vi kan bare forkorte faktorer, ikke ledd!

✏️Eksempel 1: Forkorting

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser teller og nevner

Teller: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (konjugatsetningen)

Nevner: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ (fullstendig kvadrat)

Steg 2: Forkort
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Definisjonsmengde: $x \neq -2$

Svar: $\displaystyle \frac{x-2}{x+2}$ , $x \neq -2$

📝Oppgave 1

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3}$ .

📝Oppgave 2

Forkort $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 2x}$ .

📝Oppgave 3

Forkort $\displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1}$ .

Multiplikasjon av rasjonale uttrykk

For å multiplisere rasjonale uttrykk:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

Tips: Faktoriser først, så kan du forkorte før du multipliserer.

✏️Eksempel 2: Multiplikasjon

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Løsning:

Steg 1: Faktoriser
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

Steg 2: Skriv opp og forkort
$\frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1}$
$= \frac{(x-1)(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)}$
$= x + 1$

Svar: $x + 1$ , $x \neq -3, 1$

📝Oppgave 4

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x + 1} \cdot \frac{x^2 - 1}{x - 2}$ .

Divisjon av rasjonale uttrykk

For å dividere rasjonale uttrykk, multipliserer vi med den omvendte brøken:
$\frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)}$

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x} \div \frac{x + 3}{x^2}$ .

Addisjon og subtraksjon

For å addere eller subtrahere rasjonale uttrykk trenger vi fellesnevner.

$\frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) + R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)}$

✏️Eksempel 3: Addisjon

Regn ut $\displaystyle \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+1}$ .

Løsning:

Fellesnevner: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

Utvider brøkene:
$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$

Adderer tellerne:
$= \frac{2(x+1) + 3(x-1)}{x^2 - 1}$
$= \frac{2x + 2 + 3x - 3}{x^2 - 1}$
$= \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$

Svar: $\displaystyle \frac{5x - 1}{x^2 - 1}$ , $x \neq \pm 1$

📝Oppgave 6

Regn ut $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{2}{x+1}$ .

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2}$ .

📝Oppgave 8

Forenkle $\displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} - \frac{2x-1}{x^2-x}$ .

📝Oppgave 9

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$ .

📝Oppgave 10

Forenkle $\displaystyle \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$ .

📝Oppgave 11

Forenkle $\displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 + x - 2} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4x + 4}$ .

📝Oppgave 12

Vis at $\displaystyle \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1$ for $x \neq 1$ .

Oppsummering

Rasjonalt uttrykk: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P$ og $Q$ er polynomer

Forkorting: Faktoriser og stryk felles faktorer

Multiplikasjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$

Divisjon: $\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

Addisjon/Subtraksjon: Finn fellesnevner

Husk definisjonsmengden!