1.1 Polynomer | Matematikk S1

Polynomdivisjon og faktorisering av polynomer.

55 min

16 oppgaver

PolynomerPolynomdivisjonFaktoriseringNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Hva er et polynom?

Et polynom er et uttrykk som består av ledd med variabler opphøyd i ikke-negative heltall, multiplisert med koeffisienter.

Generelt polynom av grad $n$ :
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

der $a_n \neq 0$ og $n$ er et ikke-negativt heltall.

Eksempler:
- $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ er et tredjegradspolynom
- $Q(x) = x^2 - 4$ er et andregradspolynom
- $R(x) = 5x + 2$ er et førstegradspolynom

Polynom

P(x)

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon fungerer på samme måte som lang divisjon med tall. Vi kan dele et polynom $P(x)$ på et polynom $D(x)$ og få:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten (grad mindre enn $D(x)$ )

✏️Eksempel 1: Polynomdivisjon

Del $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ på $D(x) = x + 3$ .

Løsning:

Vi setter opp polynomdivisjon:

``x² - x - 2 ____________ x + 3 | x³ + 2x² - 5x - 6 x³ + 3x² ----------- - x² - 5x - x² - 3x ---------- -2x - 6 -2x - 6 ------- 0``

Steg for steg:
1. $x^3 \div x = x^2$ , så $x^2 \cdot (x+3) = x^3 + 3x^2$
2. $(x^3 + 2x^2) - (x^3 + 3x^2) = -x^2$
3. $-x^2 \div x = -x$ , så $-x \cdot (x+3) = -x^2 - 3x$
4. $(-x^2 - 5x) - (-x^2 - 3x) = -2x$
5. $-2x \div x = -2$ , så $-2 \cdot (x+3) = -2x - 6$
6. $(-2x - 6) - (-2x - 6) = 0$

Svar: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2)$

Resten er 0, så $(x+3)$ er en faktor i $P(x)$ .

📝Oppgave 1

Utfør polynomdivisjon: $(x^3 - 7x + 6) \div (x - 2)$

📝Oppgave 2

Utfør polynomdivisjon: $(2x^3 + 5x^2 - x - 6) \div (x + 2)$

📜Faktorsetningen

Hvis $P(a) = 0$ for et polynom $P(x)$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Ekvivalent: Hvis $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ , så er $P(a) = 0$ .

Konsekvens: For å finne faktorer kan vi:
1. Gjette nullpunkter (ofte heltall som deler konstantleddet)
2. Verifisere ved å sette inn i polynomet
3. Bruke polynomdivisjon til å finne resten av faktorene

✏️Eksempel 2: Bruke faktorsetningen

Faktoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Løsning:

Steg 1: Finn kandidater til nullpunkter
Konstantleddet er $-6$ , så vi prøver divisorene av 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Steg 2: Test kandidatene
- $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Så $(x - 1)$ er en faktor!

Steg 3: Polynomdivisjon
$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Steg 4: Faktoriser resten
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunktene er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 3

Bruk faktorsetningen til å faktorisere $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ fullstendig.

📝Oppgave 4

Faktoriser $P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ fullstendig.

📝Oppgave 5

Faktoriser $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12$ fullstendig.

📝Oppgave 6

Gitt at $x = -1$ er et nullpunkt for $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$ . Faktoriser polynomet fullstendig.

📝Oppgave 7

Vis at $P(x) = x^3 - 3x + 2$ har et dobbelt nullpunkt, og finn alle nullpunkter.

📝Oppgave 8

Finn polynomet $P(x)$ av grad 3 med ledende koeffisient 1 som har nullpunkter $x = -2$ , $x = 1$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 9

Bestem verdien av $k$ slik at $(x + 2)$ er en faktor i $P(x) = x^3 + kx^2 - x - 6$ .

📝Oppgave 10

Et polynom $P(x)$ av grad 3 med ledende koeffisient 2 har nullpunkter $x = 1$ og $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ . Det tredje nullpunktet er dobbelt så stort som det første. Finn $P(x)$ .

📝Oppgave 11

Utfør divisjonen $(x^4 - 1) \div (x - 1)$ og bruk resultatet til å faktorisere $x^4 - 1$ fullstendig.

📝Oppgave 12

Del $P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 4$ på $D(x) = x^2 + x - 2$ og uttrykk $P(x)$ på formen $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ .

Oppsummering

Polynomdivisjon:
$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Faktorsetningen:
$P(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a)$ er faktor i $P(x)$

Fremgangsmåte for faktorisering:
1. Gjett nullpunkter (divisorer av konstantleddet)
2. Verifiser ved innsetting
3. Del polynomet på $(x - a)$
4. Gjenta til polynomet er fullstendig faktorisert

Polynomdivisjon og faktorisering av polynomer.

55 min

16 oppgaver

PolynomerPolynomdivisjonFaktoriseringNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Hva er et polynom?

Et polynom er et uttrykk som består av ledd med variabler opphøyd i ikke-negative heltall, multiplisert med koeffisienter.

Generelt polynom av grad $n$ :
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$

der $a_n \neq 0$ og $n$ er et ikke-negativt heltall.

Eksempler:
- $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ er et tredjegradspolynom
- $Q(x) = x^2 - 4$ er et andregradspolynom
- $R(x) = 5x + 2$ er et førstegradspolynom

Polynom

P(x)

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon fungerer på samme måte som lang divisjon med tall. Vi kan dele et polynom $P(x)$ på et polynom $D(x)$ og få:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten (grad mindre enn $D(x)$ )

✏️Eksempel 1: Polynomdivisjon

Del $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ på $D(x) = x + 3$ .

Løsning:

Vi setter opp polynomdivisjon:

``x² - x - 2 ____________ x + 3 | x³ + 2x² - 5x - 6 x³ + 3x² ----------- - x² - 5x - x² - 3x ---------- -2x - 6 -2x - 6 ------- 0``

Svar: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 3)(x^2 - x - 2)$

Resten er 0, så $(x+3)$ er en faktor i $P(x)$ .

📝Oppgave 1

Utfør polynomdivisjon: $(x^3 - 7x + 6) \div (x - 2)$

📝Oppgave 2

Utfør polynomdivisjon: $(2x^3 + 5x^2 - x - 6) \div (x + 2)$

📜Faktorsetningen

Hvis $P(a) = 0$ for et polynom $P(x)$ , så er $(x - a)$ en faktor i $P(x)$ .

Ekvivalent: Hvis $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ , så er $P(a) = 0$ .

✏️Eksempel 2: Bruke faktorsetningen

Faktoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Løsning:

Steg 1: Finn kandidater til nullpunkter
Konstantleddet er $-6$ , så vi prøver divisorene av 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Steg 2: Test kandidatene
- $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Så $(x - 1)$ er en faktor!

Steg 3: Polynomdivisjon
$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Steg 4: Faktoriser resten
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunktene er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 3

Bruk faktorsetningen til å faktorisere $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ fullstendig.

📝Oppgave 4

Faktoriser $P(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ fullstendig.

📝Oppgave 5

Faktoriser $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12$ fullstendig.

📝Oppgave 6

Gitt at $x = -1$ er et nullpunkt for $P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6$ . Faktoriser polynomet fullstendig.

📝Oppgave 7

Vis at $P(x) = x^3 - 3x + 2$ har et dobbelt nullpunkt, og finn alle nullpunkter.

📝Oppgave 8

Finn polynomet $P(x)$ av grad 3 med ledende koeffisient 1 som har nullpunkter $x = -2$ , $x = 1$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 9

Bestem verdien av $k$ slik at $(x + 2)$ er en faktor i $P(x) = x^3 + kx^2 - x - 6$ .

📝Oppgave 10

Et polynom $P(x)$ av grad 3 med ledende koeffisient 2 har nullpunkter $x = 1$ og $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ . Det tredje nullpunktet er dobbelt så stort som det første. Finn $P(x)$ .

📝Oppgave 11

Utfør divisjonen $(x^4 - 1) \div (x - 1)$ og bruk resultatet til å faktorisere $x^4 - 1$ fullstendig.

📝Oppgave 12

Del $P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 4$ på $D(x) = x^2 + x - 2$ og uttrykk $P(x)$ på formen $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$ .

Oppsummering

Polynomdivisjon:
$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Faktorsetningen:
$P(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a)$ er faktor i $P(x)$

Fremgangsmåte for faktorisering:
1. Gjett nullpunkter (divisorer av konstantleddet)
2. Verifiser ved innsetting
3. Del polynomet på $(x - a)$
4. Gjenta til polynomet er fullstendig faktorisert