6.2 Derivasjon av vektorfunksjoner | Matematikk R2

Derivere kurver gitt ved parameterframstilling.

55 min

16 oppgaver

VektorfunksjonDerivasjonTangentvektor

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Fra statiske kurver til bevegelse

I forrige kapittel larte vi om parameterframstilling av kurver. Na skal vi se på hvordan vi kan derivere vektorfunksjoner for a beskrive bevegelse langs en kurve.

Nar vi deriverer en vektorfunksjon, far vi informasjon om:
- Retningen kurven beveger seg i (tangentvektor)
- Hastigheten til et objekt som beveger seg langs kurven
- Farten (hvor raskt objektet beveger seg)
- Buelengden (hvor langt kurven strekker seg)

Dette har mange praktiske anvendelser:
- Beregne banen til en ball kastet gjennom luften
- Finne hastigheten til en bil i en sving
- Bestemme lengden av en sti eller vei
- Animasjon og bevegelse i dataspill

Vektorfunksjoner

En vektorfunksjon (eller banekurve) beskriver en kurve i planet ved hjelp av en parameter $t$ .

Vektorfunksjon

\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}

✏️Eksempel 1: Sirkel som vektorfunksjon

Beskriv sirkelen med radius 3 og sentrum i origo som en vektorfunksjon.

Løsning:

Vi bruker parameterframstillingen for en sirkel:

$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 3\cos t \\ 3\sin t \end{pmatrix}, \quad t \in [0, 2\pi]$

Her er:
- $x(t) = 3\cos t$
- $y(t) = 3\sin t$

Nar $t$ gar fra $0$ til $2\pi$ , beveger vi oss en gang rundt sirkelen mot klokken.

Kontroll: $x^2 + y^2 = 9\cos^2 t + 9\sin^2 t = 9(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9$ \checkmark

✏️Eksempel 2: Rettlinjet bevegelse

En partikkel starter i punktet $(1, 2)$ og beveger seg med konstant hastighet i retning $\vec{v} = (3, 4)$ . Skriv opp vektorfunksjonen for partikkelens bane.

Løsning:

Startpunktet er $(1, 2)$ , og partikkelen beveger seg langs retningsvektoren $(3, 4)$ .

Vektorfunksjonen blir:

$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 2 + 4t \end{pmatrix}$

Her er:
- $x(t) = 1 + 3t$
- $y(t) = 2 + 4t$

Nar $t = 0$ , er partikkelen i $(1, 2)$ .
Nar $t = 1$ , er partikkelen i $(4, 6)$ .
Nar $t = 2$ , er partikkelen i $(7, 10)$ .

Partikkelen beveger seg langs en rett linje.

Derivasjon av vektorfunksjoner

For a derivere en vektorfunksjon, deriverer vi ganske enkelt hver komponent for seg.

Den deriverte av en vektorfunksjon

\vec{r}(t) = (x(t), y(t))

✏️Eksempel 3: Derivere en vektorfunksjon

Finn $\vec{r}'(t)$ nar $\vec{r}(t) = (t^2, t^3 - 2t)$ .

Løsning:

Vi deriverer hver komponent for seg:

$x(t) = t^2 \quad \Rightarrow \quad x'(t) = 2t$

$y(t) = t^3 - 2t \quad \Rightarrow \quad y'(t) = 3t^2 - 2$

Dermed er:

$\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ 3t^2 - 2 \end{pmatrix}$

✏️Eksempel 4: Derivere trigonometrisk vektorfunksjon

La $\vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$ vare parameterframstillingen for en sirkel. Finn $\vec{r}'(t)$ .

Løsning:

Vi deriverer hver komponent:

$x(t) = 3\cos t \quad \Rightarrow \quad x'(t) = -3\sin t$

$y(t) = 3\sin t \quad \Rightarrow \quad y'(t) = 3\cos t$

Dermed er:

$\vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} -3\sin t \\ 3\cos t \end{pmatrix}$

Tangentvektoren

Den deriverte $\vec{r}'(t)$ har en viktig geometrisk betydning: den er en tangentvektor til kurven.

Tangentvektor

\vec{r}(t)

✏️Eksempel 5: Tangentvektor til sirkel

For sirkelen $\vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$ , finn tangentvektoren for $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ og vis at den star vinkelrett på posisjonsvektoren.

Løsning:

Fra eksempel 4 har vi $\vec{r}'(t) = (-3\sin t, 3\cos t)$ .

For $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ :

$\vec{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(3\cos\frac{\pi}{2}, 3\sin\frac{\pi}{2}\right) = (0, 3)$

$\vec{r}'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left(-3\sin\frac{\pi}{2}, 3\cos\frac{\pi}{2}\right) = (-3, 0)$

Tangentvektoren i punktet $(0, 3)$ er $(-3, 0)$ , som peker i negativ $x$ -retning.

Sjekk ortogonalitet:

$\vec{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \vec{r}'\left(\frac{\pi}{2}\right) = (0, 3) \cdot (-3, 0) = 0 \cdot (-3) + 3 \cdot 0 = 0$

Siden skalarproduktet er null, star vektorene vinkelrett på hverandre. Dette gir mening fordi tangentvektoren til en sirkel alltid er vinkelrett på radiusvektoren.

✏️Eksempel 6: Tangentlinje til parabel

En kurve er gitt ved $\vec{r}(t) = (t, t^2)$ . Finn likningen for tangentlinjen i punktet der $t = 2$ .

Løsning:

Punktet på kurven:
$\vec{r}(2) = (2, 4)$

Tangentvektoren:
$\vec{r}'(t) = (1, 2t)$
$\vec{r}'(2) = (1, 4)$

Tangentlinjen gar gjennom $(2, 4)$ med retningsvektor $(1, 4)$ :

$\vec{\ell}(s) = (2, 4) + s(1, 4) = (2 + s, 4 + 4s)$

Pa kartesisk form: Stigningstallet er $\displaystyle \frac{4}{1} = 4$ .

$y - 4 = 4(x - 2)$
$y = 4x - 4$

Normalvektoren

Normalvektoren star vinkelrett på tangentvektoren og peker mot "innsiden" av kurven.

Normalvektor

\vec{r}'(t) = (a, b)

For a sjekke at normalvektoren star vinkelrett på tangentvektoren, beregn skalarproduktet:

$(a, b) \cdot (-b, a) = -ab + ab = 0 \quad \checkmark$

Skalarproduktet er null, sa vektorene er ortogonale.

✏️Eksempel 7: Tangent- og normalvektor

For kurven $\vec{r}(t) = (t^2, t^3)$ , finn tangent- og normalvektoren i punktet der $t = 1$ .

Løsning:

Punktet:
$\vec{r}(1) = (1, 1)$

Tangentvektoren:
$\vec{r}'(t) = (2t, 3t^2)$
$\vec{r}'(1) = (2, 3)$

Normalvektoren (rotert $90°$ mot klokken):
$\vec{n}(1) = (-3, 2)$

Kontroll: $(2, 3) \cdot (-3, 2) = -6 + 6 = 0$ \checkmark

Hastighetsvektoren

Nar parameteren $t$ representerer tid, far tangentvektoren en fysisk tolkning som hastighetsvektor.

Hastighetsvektor

\vec{r}(t)

✏️Eksempel 8: Hastighetsvektor for kast

En ball kastes fra bakken med starthastighet $20$ m/s i en vinkel på $60°$ med horisontalplanet. Finn hastighetsvektoren som funksjon av tid. (Bruk $g = 10$ m/s².)

Løsning:

Starthastighet:
- Horisontal komponent: $v_{0x} = 20 \cos 60° = 10$ m/s
- Vertikal komponent: $v_{0y} = 20 \sin 60° = 10\sqrt{3}$ m/s

Posisjonsvektoren:
$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} 10t \\ 10\sqrt{3}t - 5t^2 \end{pmatrix}$

Hastighetsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = \begin{pmatrix} 10 \\ 10\sqrt{3} - 10t \end{pmatrix}$

For $t = 0$ : $\vec{v}(0) = (10, 10\sqrt{3})$ (starthastigheten)

For $t = \sqrt{3}$ : $\vec{v}(\sqrt{3}) = (10, 0)$ (toppunktet, kun horisontal bevegelse)

Fart

Fart er lengden av hastighetsvektoren. Mens hastighet er en vektor med retning, er fart et tall som bare angir hvor raskt objektet beveger seg.

Fart

v(t)

✏️Eksempel 9: Fart langs en sirkel

En partikkel beveger seg langs sirkelen $\vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$ . Finn farten.

Løsning:

Hastighetsvektoren:
$\vec{r}'(t) = (-3\sin t, 3\cos t)$

Farten:
$v(t) = |\vec{r}'(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2}$
$= \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t}$
$= \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)}$
$= \sqrt{9} = 3$

Farten er konstant lik 3 for alle $t$ . Dette er typisk for bevegelse langs en sirkel med konstant vinkelhastighet.

✏️Eksempel 10: Fart langs en parabel

En partikkel beveger seg langs kurven $\vec{r}(t) = (t, t^2)$ for $t \geq 0$ . Finn farten som funksjon av $t$ og bestem farten nar $t = 2$ .

Løsning:

Hastighetsvektoren:
$\vec{r}'(t) = (1, 2t)$

Farten:
$v(t) = |\vec{r}'(t)| = \sqrt{1^2 + (2t)^2} = \sqrt{1 + 4t^2}$

For $t = 2$ :
$v(2) = \sqrt{1 + 4 \cdot 4} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$

Merk at farten oker med $t$ . Nar $t = 0$ er farten $v(0) = 1$ , og nar $t$ oker, oker ogsa farten.

Buelengde

Buelengden er den totale lengden av en kurve mellom to punkter. For å finne buelengden integrerer vi farten.

Buelengde

\vec{r}(t) = (x(t), y(t))

Intuitivt gir dette mening: Hvis du gar med konstant fart $v$ i tid $T$ , tilbakelegger du en strekning $L = v \cdot T$ . Nar farten varierer, ma vi integrere.

✏️Eksempel 11: Buelengde av sirkel

Finn omkretsen av sirkelen $\vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t)$ for $t \in [0, 2\pi]$ .

Løsning:

Fra eksempel 9 vet vi at farten er konstant lik 3.

Buelengden:
$L = \int_0^{2\pi} |\vec{r}'(t)|\, dt = \int_0^{2\pi} 3\, dt = 3t \Big|_0^{2\pi} = 3 \cdot 2\pi - 0 = 6\pi$

Omkretsen er $6\pi$ , som stemmer med formelen $2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$ . \checkmark

✏️Eksempel 12: Buelengde av linjestykke

Finn lengden av linjestykket fra $(1, 2)$ til $(4, 6)$ ved hjelp av parameterframstilling og integrasjon.

Løsning:

Parameterframstilling: Vi kan skrive linjestykket som
$\vec{r}(t) = (1 + 3t, 2 + 4t), \quad t \in [0, 1]$

Nar $t = 0$ : $(1, 2)$
Nar $t = 1$ : $(4, 6)$

Hastighetsvektor:
$\vec{r}'(t) = (3, 4)$

Fart:
$|\vec{r}'(t)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Buelengde:
$L = \int_0^1 5\, dt = 5t \Big|_0^1 = 5$

Kontroll med avstandsformelen:
$L = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \quad \checkmark$

✏️Eksempel 13: Buelengde av kurve

Finn buelengden av kurven $\displaystyle \vec{r}(t) = (t, \frac{2}{3}t^{3/2})$ for $t \in [0, 3]$ .

Løsning:

Hastighetsvektor:
$x'(t) = 1$
$y'(t) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}t^{1/2} = t^{1/2} = \sqrt{t}$

$\vec{r}'(t) = (1, \sqrt{t})$

Fart:
$|\vec{r}'(t)| = \sqrt{1 + t}$

Buelengde:
$L = \int_0^3 \sqrt{1 + t}\, dt$

La $u = 1 + t$ , da er $du = dt$ .
Nar $t = 0$ : $u = 1$
Nar $t = 3$ : $u = 4$

$L = \int_1^4 \sqrt{u}\, du = \int_1^4 u^{1/2}\, du = \frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^4$
$= \frac{2}{3}(4^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$

Buelengden er $\displaystyle \frac{14}{3} \approx 4{,}67$ .

✏️Eksempel 14: Akselerasjonsvektor

En partikkel har posisjon $\vec{r}(t) = (t^2, t^3)$ . Finn hastighetsvektoren, farten og akselerasjonsvektoren nar $t = 1$ .

Løsning:

Posisjon:
$\vec{r}(t) = (t^2, t^3)$

Hastighetsvektor (forste deriverte):
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = (2t, 3t^2)$
$\vec{v}(1) = (2, 3)$

Fart:
$v(1) = |\vec{v}(1)| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$

Akselerasjonsvektor (andre deriverte):
$\vec{a}(t) = \vec{r}''(t) = (2, 6t)$
$\vec{a}(1) = (2, 6)$

Akselerasjonsvektoren viser hvordan hastigheten endrer seg.

✏️Eksempel 15: Ellipse

En ellipse er gitt ved $\vec{r}(t) = (4\cos t, 2\sin t)$ for $t \in [0, 2\pi]$ .

a) Finn tangentvektoren nar $\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$ .
b) Finn farten nar $\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$ .

Løsning:

a) Tangentvektoren:

$\vec{r}'(t) = (-4\sin t, 2\cos t)$

For $\displaystyle t = \frac{\pi}{4}$ :
$\vec{r}'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(-4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = (-2\sqrt{2}, \sqrt{2})$

b) Farten:

$v\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$

✏️Eksempel 16: Tilbakelagt strekning

En bil kjorer langs en vei beskrevet av $\vec{r}(t) = (t^2, 2t)$ for $t \in [0, 2]$ (posisjon i km, tid i timer). Hvor langt kjorer bilen?

Løsning:

Hastighetsvektor:
$\vec{r}'(t) = (2t, 2)$

Fart:
$v(t) = |\vec{r}'(t)| = \sqrt{4t^2 + 4} = 2\sqrt{t^2 + 1}$

Buelengde (tilbakelagt strekning):
$L = \int_0^2 2\sqrt{t^2 + 1}\, dt$

For å løse dette integralet bruker vi substitusjon $t = \sinh u$ eller tabelloppslag.

Med formelen $\displaystyle \int \sqrt{t^2 + 1}\, dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2 + 1} + \frac{1}{2}\ln|t + \sqrt{t^2 + 1}| + C$ :

$L = 2 \left[ \frac{t}{2}\sqrt{t^2 + 1} + \frac{1}{2}\ln|t + \sqrt{t^2 + 1}| \right]_0^2$
$= \left[ t\sqrt{t^2 + 1} + \ln|t + \sqrt{t^2 + 1}| \right]_0^2$
$= 2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5}) - (0 + \ln 1)$
$= 2\sqrt{5} + \ln(2 + \sqrt{5})$
$\approx 4{,}47 + 1{,}44 \approx 5{,}92 \text{ km}$

📜Oppsummering av viktige formler

\vec{r}(t) = (x(t), y(t))

vare en vektorfunksjon.

Tangentvektor (hastighetsvektor):
$\vec{r}'(t) = (x'(t), y'(t))$

Normalvektor:
$\vec{n}(t) = (-y'(t), x'(t))$

Fart:
$v(t) = |\vec{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}$

Buelengde:
$L = \int_a^b |\vec{r}'(t)|\, dt = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\, dt$

Akselerasjonsvektor:
$\vec{a}(t) = \vec{r}''(t) = (x''(t), y''(t))$

Oppgaver

📝Oppgave 6.2.1

Finn $\vec{r}'(t)$ for folgende vektorfunksjoner:

\vec{r}(t) = (2t, 3t^2)

\vec{r}(t) = (t^3, t^2 - 1)

\vec{r}(t) = (\sin t, \cos t)

\vec{r}(t) = (e^t, e^{-t})

📝Oppgave 6.2.2

Finn $\vec{r}'(t)$ og $\vec{r}''(t)$ for:

\vec{r}(t) = (4t - 1, t^2 + 2t)

\vec{r}(t) = (t^3, t^4)

\vec{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t)

📝Oppgave 6.2.3

En partikkel beveger seg langs kurven $\vec{r}(t) = (t^2, 2t)$ .

Finn posisjonen nar $t = 2$ .

Finn hastighetsvektoren nar $t = 2$ .

Finn farten nar $t = 2$ .

📝Oppgave 6.2.4

For kurven $\vec{r}(t) = (t, t^2)$ , finn tangentvektoren og normalvektoren i punktet der $t = 1$ .

📝Oppgave 6.2.5

En sirkel har parameterframstillingen $\vec{r}(t) = (5\cos t, 5\sin t)$ .

Finn tangentvektoren.

Finn farten.

Finn omkretsen ved å beregne buelengden for $t \in [0, 2\pi]$ .

📝Oppgave 6.2.6

Finn likningen for tangentlinjen til kurven $\vec{r}(t) = (t^2 - 1, t^3)$ i punktet der $t = 1$ .

📝Oppgave 6.2.7

En partikkel beveger seg slik at $\vec{r}(t) = (3t, 4t)$ for $t \geq 0$ (posisjon i meter, tid i sekunder).

Vis at partikkelen beveger seg langs en rett linje.

Finn farten.

Hvor lang strekning har partikkelen tilbakelagt etter 10 sekunder?

📝Oppgave 6.2.8

Finn buelengden av kurven $\vec{r}(t) = (2t, t^2)$ for $t \in [0, 1]$ .

📝Oppgave 6.2.9

En ball kastes horisontalt fra 80 m høyde med starthastighet 20 m/s. Posisjonsvektoren er $\vec{r}(t) = (20t, 80 - 5t^2)$ (bruk $g = 10$ m/s²).

Finn hastighetsvektoren.

Finn farten som funksjon av tid.

Hvor lang tid tar det for ballen treffer bakken?

Finn farten i det ballen treffer bakken.

📝Oppgave 6.2.10

Vis at tangentvektoren til sirkelen $\vec{r}(t) = (R\cos t, R\sin t)$ alltid star vinkelrett på posisjonsvektoren.

📝Oppgave 6.2.11

En ellipse er gitt ved $\vec{r}(t) = (3\cos t, 2\sin t)$ for $t \in [0, 2\pi]$ .

Finn tangentvektoren.

Finn farten som funksjon av $t$ .

Ved hvilke verdier av $t$ er farten størst og minst?

📝Oppgave 6.2.12

Finn buelengden av kurven $\vec{r}(t) = (\cos^3 t, \sin^3 t)$ for $\displaystyle t \in [0, \frac{\pi}{2}]$ . (Denne kurven kalles en astroide.)

📝Oppgave 6.2.13

En sykloid er kurven som et punkt på kanten av et rullende hjul beskriver. Hvis hjulet har radius $R$ og ruller langs $x$ -aksen, er parameterframstillingen:

$\vec{r}(t) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t))$

Finn hastighetsvektoren.

Finn farten som funksjon av $t$ .

Nar er farten null? Hva betyr dette fysisk?

📝Oppgave 6.2.14

En partikkel beveger seg slik at posisjonsvektoren er $\vec{r}(t) = (e^t\cos t, e^t\sin t)$ for $t \geq 0$ .

Finn hastighetsvektoren.

Finn farten som funksjon av $t$ .

Vis at farten vokser eksponentielt.

📝Oppgave 6.2.15

En kurve har enhetstangentvektor $\displaystyle \hat{T}(t) = \frac{\vec{r}'(t)}{|\vec{r}'(t)|}$ . For kurven $\vec{r}(t) = (t, \ln(\cos t))$ for $\displaystyle t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ :

Finn $\vec{r}'(t)$ .

Finn farten $|\vec{r}'(t)|$ .

Finn enhetstangentvektoren $\hat{T}(t)$ .

📝Oppgave 6.2.16

Finn buelengden av spiralen $\vec{r}(t) = (t\cos t, t\sin t)$ for $t \in [0, 2\pi]$ .

📝Oppgave 6.2.17

La $\vec{r}(t) = (a\cos t, b\sin t)$ vare en ellipse med halvakser $a$ og $b$ der $a > b > 0$ .

Finn farten $v(t)$ som funksjon av $t$ .

I hvilke punkter er farten størst?

I hvilke punkter er farten minst?

📝Oppgave 6.2.18

En partikkel beveger seg langs kurven $\displaystyle \vec{r}(t) = (t^2, \frac{2}{3}t^3)$ for $t \geq 0$ .

Finn hastighetsvektoren og farten.

Finn akselerasjonsvektoren.

Finn buelengden fra $t = 0$ til $t = 2$ .

Oppgaver

Lett3 oppgaver

6.2.1Opplasting

6.2.2Opplasting

6.2.3Opplasting

Medium7 oppgaver

6.2.4Opplasting

6.2.5Opplasting

6.2.6Opplasting

6.2.7Opplasting

6.2.8Opplasting

6.2.9Opplasting

6.2.10Opplasting

Vanskelig8 oppgaver

6.2.11Opplasting

6.2.12Opplasting

6.2.13Opplasting

6.2.14Opplasting

6.2.15Opplasting

6.2.16Opplasting

6.2.17Opplasting

6.2.18Opplasting