5.8 Avstand punkt-linje og punkt-plan

Vi bruker formelen med $a = 2$, $b = -2$, $c = 1$, $e = 6$ og $(x_0, y_0, z_0) = (2, 3, 1)$:

$$d = \frac{|2 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$$

$$= \frac{|4 - 6 + 1 - 6|}{\sqrt{4 + 4 + 1}}$$

$$= \frac{|-7|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$$

Svar: Avstanden er $\displaystyle \frac{7}{3} \approx 2.33$ lengdeenheter.

Steg 1: Normalvektoren til planet er $\vec{n} = [1, 2, 2]$.

Steg 2: Linjen gjennom $P$ vinkelrett på planet:
$$\vec{r} = [1, 0, 2] + t[1, 2, 2]$$

Steg 3: Finn $t$ der linjen treffer planet:
$$(1 + t) + 2(2t) + 2(2 + 2t) = 9$$
$$1 + t + 4t + 4 + 4t = 9$$
$$5 + 9t = 9$$
$$t = \frac{4}{9}$$

Steg 4: Fotpunktet:
$$F = \left(1 + \frac{4}{9}, 0 + \frac{8}{9}, 2 + \frac{8}{9}\right) = \left(\frac{13}{9}, \frac{8}{9}, \frac{26}{9}\right)$$

Vi velger $Q = (1, 1, 1)$ på linjen og $\vec{v} = [1, 2, 2]$.

Vektor fra Q til P:
$$\overrightarrow{QP} = [3-1, 4-1, 5-1] = [2, 3, 4]$$

Kryssprodukt $\overrightarrow{QP} \times \vec{v}$:
$$= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$
$$= \vec{i}(3 \cdot 2 - 4 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 2 - 4 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 1)$$
$$= \vec{i}(6 - 8) - \vec{j}(4 - 4) + \vec{k}(4 - 3)$$
$$= [-2, 0, 1]$$

Lengder:
$$|\overrightarrow{QP} \times \vec{v}| = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$$
$$|\vec{v}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$$

Avstand:
$$d = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$$

Planene har samme normalvektor $\vec{n} = [2, -1, 2]$, så de er parallelle.

Avstand:
$$d = \frac{|3 - 12|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{9}{3} = 3$$

Svar: Avstanden mellom planene er 3 lengdeenheter.

Siden linjene er parallelle, bruker vi avstand punkt-linje.

Vi finner avstanden fra et punkt på $\ell_2$ (f.eks. $(0, 3, 1)$) til $\ell_1$.

$Q = (1, 0, 0)$ på $\ell_1$, $\vec{v} = [2, 1, 2]$

$\overrightarrow{QP} = [0-1, 3-0, 1-0] = [-1, 3, 1]$

Kryssprodukt:
$$\overrightarrow{QP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$
$$= [3 \cdot 2 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2, (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2]$$
$$= [5, 4, -7]$$

Avstand:
$$d = \frac{\sqrt{25 + 16 + 49}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\sqrt{90}}{3} = \frac{3\sqrt{10}}{3} = \sqrt{10} \approx 3.16$$

Vi har $\vec{a} = [1, 0, 0]$, $\vec{b} = [0, 0, 1]$, $\vec{u} = [1, 1, 0]$, $\vec{v} = [0, 1, 1]$.

Kryssprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$:
$$= [1 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0] = [1, -1, 1]$$

Forbindelsesvektor:
$$\vec{b} - \vec{a} = [0-1, 0-0, 1-0] = [-1, 0, 1]$$

Skalarprodukt:
$$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = -1 + 0 + 1 = 0$$

Vent, dette gir $d = 0$! La oss sjekke om linjene faktisk skjærer...

$[1 + s, s, 0] = [0, t, 1 + t]$

Fra tredje komponent: $0 = 1 + t \Rightarrow t = -1$

Fra første: $1 + s = 0 \Rightarrow s = -1$

Fra andre: $-1 = -1 \checkmark$

Linjene skjærer i punktet $(0, -1, 0)$!

$\vec{a} = [0, 0, 0]$, $\vec{b} = [0, 1, 1]$, $\vec{u} = [1, 0, 0]$, $\vec{v} = [0, 0, 1]$

Kryssprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$:
$$= [0 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0] = [0, -1, 0]$$

Forbindelsesvektor:
$$\vec{b} - \vec{a} = [0, 1, 1]$$

Skalarprodukt:
$$(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -1$$

Avstand:
$$d = \frac{|-1|}{\sqrt{0 + 1 + 0}} = \frac{1}{1} = 1$$