5.7 Linjer i rommet | Matematikk R2

Parameterframstilling og retningsvektor.

55 min

16 oppgaver

LinjeParameterframstillingRetningsvektorSkjæring

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Innledning

En linje i rommet kan ikke beskrives med én enkelt ligning slik som i planet. I stedet bruker vi parameterframstilling, som beskriver alle punkter på linjen ved hjelp av én parameter.

I dette kapittelet skal vi lære å:
- Sette opp parameterframstilling for linjer
- Finne skjæringspunkter mellom linjer
- Klassifisere linjepar (parallelle, skjærende, vindskjeve)
- Beregne vinkler mellom linjer

Parameterframstilling for en linje

P_0 = (x_0, y_0, z_0)

✏️Linje gjennom to punkter

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom $A = (1, 2, 3)$ og $B = (4, -1, 5)$ .

Retningsvektoren er:

\vec{v} = \overrightarrow{AB} = [4-1, -1-2, 5-3] = [3, -3, 2]

Med $A$ som basispunkt får vi:
$\vec{r} = [1, 2, 3] + t[3, -3, 2]$

På koordinatform:
$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 - 3t \\ z = 3 + 2t \end{cases}$

Kontroll: For $t = 0$ får vi $A = (1, 2, 3)$ . For $t = 1$ får vi $(4, -1, 5) = B$ .

Samme linje, ulike framstillinger:

En linje kan beskrives på uendelig mange måter ved å velge:
- Forskjellige basispunkt på linjen
- Forskjellige retningsvektorer (parallelle vektorer)

For eksempel beskriver $\vec{r} = [4, -1, 5] + t[-6, 6, -4]$ samme linje som i eksempelet over.

Klassifisering av linjepar

\vec{v}_1 = k \cdot \vec{v}_2

✏️Finne skjæringspunkt

Finn eventuelt skjæringspunkt mellom linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 0] + s[1, 1, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [2, 1, 1] + t[1, -1, 0]$

For at linjene skal skjære, må det finnes

s

t

slik at punktene er like:

$\begin{cases} 1 + s = 2 + t \\ 2 + s = 1 - t \\ 0 + s = 1 + 0 \cdot t \end{cases}$

Fra tredje ligning: $s = 1$

Setter inn i første ligning: $1 + 1 = 2 + t \Rightarrow t = 0$

Kontroll i andre ligning: $2 + 1 = 3$ og $1 - 0 = 1$ . Dette stemmer ikke!

Konklusjon: Linjene skjærer ikke.

Siden retningsvektorene $[1, 1, 1]$ og $[1, -1, 0]$ ikke er parallelle, er linjene vindskjeve.

✏️Skjærende linjer

Finn skjæringspunktet mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [0, 1, 2] + s[1, 2, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [3, 5, 1] + t[1, 1, -1]$

Vi setter koordinatene like:

$\begin{cases} s = 3 + t \\ 1 + 2s = 5 + t \\ 2 + s = 1 - t \end{cases}$

Fra første: $s = 3 + t$

Setter inn i andre: $1 + 2(3 + t) = 5 + t \Rightarrow 1 + 6 + 2t = 5 + t \Rightarrow t = -2$

Da er $s = 3 + (-2) = 1$

Kontroll i tredje: $2 + 1 = 3$ og $1 - (-2) = 3$ . Stemmer!

Skjæringspunktet (sett inn $s = 1$ i $\ell_1$ ):
$(0 + 1, 1 + 2, 2 + 1) = (1, 3, 3)$

📜Vinkel mellom linjer

Vinkelen

\theta

mellom to linjer med retningsvektorer

\vec{v}_1

\vec{v}_2

er gitt ved:

$\cos \theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{|\vec{v}_1| \cdot |\vec{v}_2|}$

Vi bruker absoluttverdi fordi vi ønsker den spisse vinkelen ( $0° \leq \theta \leq 90°$ ).

✏️Vinkel mellom linjer

Finn vinkelen mellom linjene:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 2] + s[2, 1, 1]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 1, 0] + t[1, -1, 2]$

Retningsvektorer:

\vec{v}_1 = [2, 1, 1]

\vec{v}_2 = [1, -1, 2]

Skalarprodukt:
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 2 - 1 + 2 = 3$

Lengder:
$|\vec{v}_1| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
$|\vec{v}_2| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Vinkelen:
$\cos \theta = \frac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = 0.5$

$\theta = \arccos(0.5) = 60°$

✏️Er linjene parallelle?

Undersøk om linjene er parallelle:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 3] + s[2, -4, 6]$
- $\ell_2: \vec{r} = [0, 0, 1] + t[-1, 2, -3]$

Vi sjekker om retningsvektorene er parallelle:

$\vec{v}_1 = [2, -4, 6]$ og $\vec{v}_2 = [-1, 2, -3]$

Vi ser at $\vec{v}_1 = -2 \cdot \vec{v}_2$ :
$[2, -4, 6] = -2 \cdot [-1, 2, -3] = [2, -4, 6] \checkmark$

Konklusjon: Linjene er parallelle.

For å sjekke om de er identiske, tester vi om et punkt fra $\ell_2$ ligger på $\ell_1$ :

Punktet $(0, 0, 1)$ fra $\ell_2$ : Ligger det på $\ell_1$ ?
$\begin{cases} 0 = 1 + 2s \Rightarrow s = -\frac{1}{2} \\ 0 = 2 - 4s \Rightarrow s = \frac{1}{2} \end{cases}$

Ulike verdier av $s$ betyr at punktet ikke ligger på $\ell_1$ .

Linjene er parallelle, men ikke sammenfallende.

Vindskjeve linjer

I tre dimensjoner kan to linjer være vindskjeve - de skjærer ikke og er ikke parallelle. Dette er en viktig forskjell fra planet, der to linjer enten er parallelle eller skjærende.

Vindskjeve linjer ligger i ulike plan og "passerer forbi hverandre" uten å møtes.

📝Oppgave 5.7.1

Skriv parameterframstillingen for linjen gjennom $P = (2, -1, 3)$ med retningsvektor $\vec{v} = [1, 4, -2]$ .

📝Oppgave 5.7.2

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom $A = (3, 1, 2)$ og $B = (1, 4, -1)$ .

📝Oppgave 5.7.3

Ligger punktet $Q = (5, 7, 0)$ på linjen $\ell: \vec{r} = [1, 3, 2] + t[2, 2, -1]$ ?

📝Oppgave 5.7.4

Avgjør om linjene er parallelle, skjærende eller vindskjeve:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 0, 1] + s[1, 2, 3]$
- $\ell_2: \vec{r} = [2, 2, 4] + t[2, 4, 6]$

📝Oppgave 5.7.5

Finn skjæringspunktet mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [2, 1, 0] + s[1, -1, 2]$
- $\ell_2: \vec{r} = [4, 0, 3] + t[1, 0, -1]$

📝Oppgave 5.7.6

Finn vinkelen mellom linjene $\ell_1: \vec{r} = [0, 0, 0] + s[1, 1, 0]$ og $\ell_2: \vec{r} = [1, 0, 1] + t[0, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.7.7

Finn ligningen for linjen som går gjennom $P = (1, 2, 3)$ og er parallell med linjen $\ell: \vec{r} = [0, 1, 0] + t[2, -1, 4]$ .

📝Oppgave 5.7.8

Finn skjæringspunktet mellom:
- $\ell_1: \vec{r} = [1, 2, 1] + s[2, 1, 3]$
- $\ell_2: \vec{r} = [3, 0, 4] + t[-1, 2, 0]$

📝Oppgave 5.7.9

Finn parameterframstillingen for linjen som går gjennom punktet $P = (2, 1, -1)$ og skjærer begge linjene:
- $\ell_1$ : $x$ -aksen
- $\ell_2$ : Linjen $\vec{r} = [0, 1, 1] + t[1, 0, 0]$

📝Oppgave 5.7.10

En linje $\ell$ går gjennom punktet $A = (1, 2, 3)$ og er vinkelrett på planet $\alpha: 2x - y + 2z = 5$ .

a) Finn parameterframstillingen for $\ell$ .
b) Finn skjæringspunktet mellom $\ell$ og $\alpha$ .
c) Finn avstanden fra $A$ til planet $\alpha$ .