5.6 Ligninger for plan | Matematikk R2

Parameterframstilling og normalform for plan.

60 min

18 oppgaver

PlanlikningNormalvektorParameterframstilling

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Innledning

Et plan i rommet kan beskrives på flere måter. I dette kapittelet skal vi lære tre hovedmetoder:

1. Parameterframstilling - ved hjelp av et punkt og to retningsvektorer
2. Normalvektorform - ved hjelp av et punkt og en normalvektor
3. Determinantform - ved hjelp av tre punkter

Alle disse metodene gir oss verktøy til å arbeide med plan i rommet, for eksempel for å finne skjæringspunkter, vinkler og avstander.

Parameterframstilling for et plan

P_0 = (x_0, y_0, z_0)

✏️Parameterframstilling gjennom tre punkter

Finn parameterframstillingen for planet gjennom punktene $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 2, 1)$ og $C = (2, 5, 0)$ .

Vi velger

A

som basispunkt og finner retningsvektorene:

$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = [4-1, 2-2, 1-3] = [3, 0, -2]$

$\vec{v} = \overrightarrow{AC} = [2-1, 5-2, 0-3] = [1, 3, -3]$

Parameterframstillingen blir:
$\vec{r} = [1, 2, 3] + s \cdot [3, 0, -2] + t \cdot [1, 3, -3]$

På koordinatform:
$\begin{cases} x = 1 + 3s + t \\ y = 2 + 3t \\ z = 3 - 2s - 3t \end{cases}$

Normalvektor og normalform

\vec{n}

✏️Fra parameterframstilling til normalform

Finn normalformen for planet fra forrige eksempel, gjennom $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 2, 1)$ og $C = (2, 5, 0)$ .

Vi har retningsvektorene

\vec{u} = [3, 0, -2]

\vec{v} = [1, 3, -3]

Normalvektoren finner vi med kryssproduktet:
$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(0 \cdot (-3) - (-2) \cdot 3) - \vec{j}(3 \cdot (-3) - (-2) \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot 3 - 0 \cdot 1)$
$= \vec{i}(0 + 6) - \vec{j}(-9 + 2) + \vec{k}(9 - 0)$
$= [6, 7, 9]$

Planligningen med $A = (1, 2, 3)$ og $\vec{n} = [6, 7, 9]$ :
$6(x - 1) + 7(y - 2) + 9(z - 3) = 0$
$6x - 6 + 7y - 14 + 9z - 27 = 0$
$6x + 7y + 9z = 47$

📜Avlesning av normalvektor

For et plan med ligning

ax + by + cz = d

er normalvektoren:

\vec{n} = [a, b, c]

Koeffisientene foran $x$ , $y$ og $z$ gir altså direkte normalvektoren.

✏️Parallelle plan

Undersøk om planene $\alpha: 2x - 4y + 6z = 12$ og $\beta: x - 2y + 3z = 5$ er parallelle.

Vi finner normalvektorene:

$\vec{n}_\alpha = [2, -4, 6]$

$\vec{n}_\beta = [1, -2, 3]$

Vi ser at $\vec{n}_\alpha = 2 \cdot \vec{n}_\beta$ , så normalvektorene er parallelle.

Konklusjon: Planene er parallelle.

For å sjekke om de er identiske, tester vi om et punkt i det ene planet også ligger i det andre:
- Fra $\alpha$ med $x = 0, y = 0$ : $6z = 12 \Rightarrow z = 2$ . Punktet $(0, 0, 2)$ ligger i $\alpha$ .
- Setter vi inn i $\beta$ : $0 - 0 + 3 \cdot 2 = 6 \neq 5$ .

Planene er parallelle, men ikke identiske.

✏️Plan gjennom punkt med gitt normalvektor

Finn ligningen for planet gjennom $P = (2, -1, 4)$ med normalvektor $\vec{n} = [3, 1, -2]$ .

Vi bruker normalformen direkte:

3(x - 2) + 1(y - (-1)) + (-2)(z - 4) = 0

3x - 6 + y + 1 - 2z + 8 = 0

3x + y - 2z = -3

Svar: $3x + y - 2z = -3$

Determinantform for plan

P_1 = (x_1, y_1, z_1)

✏️Punkt i planet?

Ligger punktet $Q = (3, 5, 1)$ i planet $2x - y + 3z = 4$ ?

Vi setter inn koordinatene til

Q

i planligningen:

2 \cdot 3 - 5 + 3 \cdot 1 = 6 - 5 + 3 = 4 \checkmark

Siden venstre side er lik høyre side, ligger $Q$ i planet.

Sjekke om et punkt ligger i et plan:

Et punkt $(x_0, y_0, z_0)$ ligger i planet $ax + by + cz = d$ hvis og bare hvis:
$ax_0 + by_0 + cz_0 = d$

📝Oppgave 5.6.1

Finn normalvektoren til planet $4x - 2y + 5z = 10$ .

📝Oppgave 5.6.2

Skriv opp parameterframstillingen for planet gjennom $P = (2, 1, 0)$ med retningsvektorer $\vec{u} = [1, 0, 1]$ og $\vec{v} = [0, 1, -1]$ .

📝Oppgave 5.6.3

Finn ligningen for planet gjennom punktene $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ og $C = (0, 0, 3)$ .

📝Oppgave 5.6.4

Avgjør om punktet $Q = (2, 1, -1)$ ligger i planet $3x - 2y + 4z = 0$ .

📝Oppgave 5.6.5

Finn ligningen for planet som går gjennom $P = (1, 2, 3)$ og er parallelt med planet $2x + y - z = 5$ .

📝Oppgave 5.6.6

Finn ligningen for planet gjennom origo som inneholder vektorene $\vec{a} = [1, 2, 1]$ og $\vec{b} = [2, 1, -1]$ .

📝Oppgave 5.6.7

Finn skjæringspunktet mellom planet $2x - y + z = 4$ og linjen som går gjennom $A = (1, 0, 1)$ med retningsvektor $\vec{v} = [1, 1, 1]$ .

📝Oppgave 5.6.8

Finn ligningen for planet som inneholder linjen $\ell: \vec{r} = [1, 0, 2] + t[1, 1, 0]$ og punktet $P = (0, 2, 1)$ .

📝Oppgave 5.6.9

Finn skjæringslinjen mellom planene $\alpha: x + 2y - z = 3$ og $\beta: 2x - y + z = 1$ .

📝Oppgave 5.6.10

Et tetraeder har hjørner i $A = (0, 0, 0)$ , $B = (4, 0, 0)$ , $C = (0, 3, 0)$ og $D = (0, 0, 5)$ .

a) Finn ligningen for planet gjennom $B$ , $C$ og $D$ .
b) Finn vinkelen mellom dette planet og $xy$ -planet.