5.5 Areal og volum med vektorer | Matematikk R2

Beregne areal og volum ved hjelp av vektorprodukter.

55 min

16 oppgaver

ArealVolumParallellogramParallellpipedum

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Areal og volum med vektorer

Vektorregning gir oss elegante metoder for å beregne areal og volum av geometriske figurer i rommet. I dette kapittelet lærer vi hvordan kryssproduktet og trippelproduktet brukes til slike beregninger.

Arealet av et parallellogram

Et parallellogram utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ har et åreal som kan beregnes ved hjelp av kryssproduktet.

📜Arealet av et parallellogram

Arealet

A

av parallellogrammet utspent av

\vec{a}

\vec{b}

er:

$A = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Forklaring: Fra formelen $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ ser vi at dette er grunnlinje ganget med høyde, som er formelen for arealet av et parallellogram.

✏️Eksempel 1: Areal av parallellogram

Finn arealet av parallellogrammet utspent av $\vec{a} = [1, 2, 0]$ og $\vec{b} = [3, 0, 4]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn kryssproduktet:
$\vec{a} \times \vec{b} = [2 \cdot 4 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot 3 - 1 \cdot 4, \, 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3]$
$= [8, -4, -6]$

Steg 2: Finn lengden:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$

Arealet er $2\sqrt{29} \approx 10{,}77$ .

Arealet av en trekant

En trekant er halvparten av et parallellogram, så vi får en enkel formel.

📜Arealet av en trekant

Arealet

A

av trekanten med hjørner

A

B

C

er:

$A = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

Alternativt kan vi bruke hvilke som helst to sidevektorer fra samme hjørne.

✏️Eksempel 2: Areal av trekant i rommet

Finn arealet av trekanten med hjørner $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ og $C = (0, 0, 3)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn sidevektorene fra $A$ :
$\overrightarrow{AB} = [-1, 2, 0]$
$\overrightarrow{AC} = [-1, 0, 3]$

Steg 2: Beregn kryssproduktet:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3, \, (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)]$
$= [6, 3, 2]$

Steg 3: Finn lengden og del på 2:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

$A = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3{,}5$

Arealet av trekanten er $3{,}5$ .

Volumet av et parallellpipedum

Et parallellpipedum er en tredimensjonal figur der alle seks sideflater er parallellogrammer. Tenk på det som en "skjev boks" utspent av tre vektorer.

Det skalare trippelproduktet

\vec{a}

📜Volumet av et parallellpipedum

Volumet

V

av parallellpipedumet utspent av

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

er:

$V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$

Merk: Vi tar absoluttverdien fordi trippelproduktet kan være negativt (avhengig av orienteringen av vektorene).

✏️Eksempel 3: Volum av parallellpipedum

Finn volumet av parallellpipedumet utspent av $\vec{a} = [1, 0, 0]$ , $\vec{b} = [1, 2, 0]$ og $\vec{c} = [1, 2, 3]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn $\vec{b} \times \vec{c}$ :
$\vec{b} \times \vec{c} = [2 \cdot 3 - 0 \cdot 2, \, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3, \, 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1] = [6, -3, 0]$

Steg 2: Beregn skalarproduktet $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ :
$\vec{a} \cdot [6, -3, 0] = 1 \cdot 6 + 0 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 = 6$

Steg 3: Ta absoluttverdien:
$V = |6| = 6$

Volumet er 6.

Volumet av et tetraeder

Et tetraeder er en pyramide med fire trekantflater. Volumet er en sjettedel av det tilsvarende parallellpipedumet.

📜Volumet av et tetraeder

Et tetraeder med hjørner

A

B

C

D

har volum:

$V = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})|$

Dette følger av at et tetraeder har volum $\displaystyle \frac{1}{3}$ av en prismebase, og at prismen har volum $\displaystyle \frac{1}{2}$ av parallellpipedumet.

✏️Eksempel 4: Volum av tetraeder

Finn volumet av tetraederet med hjørner $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ og $D = (0, 0, 1)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn kantvektorene fra $A$ :
$\overrightarrow{AB} = [1, 0, 0]$
$\overrightarrow{AC} = [0, 1, 0]$
$\overrightarrow{AD} = [0, 0, 1]$

Steg 2: Beregn $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}$ :
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = [1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, \, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0] = [1, 0, 0]$

Steg 3: Beregn trippelproduktet:
$\overrightarrow{AB} \cdot [1, 0, 0] = 1$

Steg 4: Finn volumet:
$V = \frac{1}{6}|1| = \frac{1}{6}$

Volumet av tetraederet er $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

Koplanare vektorer

Tre vektorer er koplanare hvis de alle ligger i samme plan. Dette skjer når trippelproduktet er null.

📜Test for koplanaritet

Tre vektorer

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

er koplanare hvis og bare hvis:

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

Geometrisk tolkning: Hvis vektorene er koplanare, har parallellpipedumet volum null - det er "flatt".

✏️Eksempel 5: Undersøke koplanaritet

Undersøk om vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ , $\vec{b} = [4, 5, 6]$ og $\vec{c} = [7, 8, 9]$ er koplanare.

Løsning:

Vi beregner trippelproduktet:

Steg 1: Finn $\vec{b} \times \vec{c}$ :
$\vec{b} \times \vec{c} = [5 \cdot 9 - 6 \cdot 8, \, 6 \cdot 7 - 4 \cdot 9, \, 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7]$
$= [45 - 48, 42 - 36, 32 - 35] = [-3, 6, -3]$

Steg 2: Finn $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ :
$[1, 2, 3] \cdot [-3, 6, -3] = -3 + 12 - 9 = 0$

Siden trippelproduktet er 0, er vektorene koplanare.

(Dette gir mening fordi $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ : $[1,2,3] + [4,5,6] + [2,1,0] = [7,8,9]$ ... Nei, la oss sjekke: de ligger faktisk i et plan fordi $\vec{c} - \vec{b} = [3, 3, 3]$ og $\vec{b} - \vec{a} = [3, 3, 3]$ , så de er i aritmetisk progresjon.)

Oppgaver

📝Oppgave 5.5.1

Finn arealet av parallellogrammet utspent av vektorene:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 2, 0]

\vec{a} = [3, 0, 0]

\vec{b} = [0, 0, 4]

\vec{a} = [1, 1, 0]

\vec{b} = [0, 1, 1]

📝Oppgave 5.5.2

Finn arealet av trekanten med hjørner:

A = (0, 0, 0)

B = (1, 0, 0)

C = (0, 1, 0)

A = (1, 1, 1)

B = (2, 1, 1)

C = (1, 2, 1)

📝Oppgave 5.5.3

Finn arealet av trekanten med hjørner $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 0, 5)$ og $C = (2, 1, 0)$ .

Finn $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Beregn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Finn arealet.

📝Oppgave 5.5.4

Finn volumet av parallellpipedumet utspent av:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{c} = [0, 0, 1]

\vec{a} = [2, 0, 0]

\vec{b} = [0, 3, 0]

\vec{c} = [0, 0, 4]

📝Oppgave 5.5.5

Finn volumet av tetraederet med hjørner $A = (0, 0, 0)$ , $B = (2, 0, 0)$ , $C = (0, 3, 0)$ og $D = (0, 0, 4)$ .

Finn kantvektorene fra $A$ .

Beregn trippelproduktet.

Finn volumet.

📝Oppgave 5.5.6

Undersøk om vektorene er koplanare:

\vec{a} = [1, 0, 1]

\vec{b} = [0, 1, 1]

\vec{c} = [1, 1, 2]

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{c} = [1, 1, 1]

📝Oppgave 5.5.7

Et parallellogram har hjørner $A = (1, 0, 2)$ , $B = (3, 1, 1)$ , $C$ og $D = (2, 2, 3)$ , der $ABCD$ er et parallellogram (i den rekkefølgen).

Finn koordinatene til $C$ .

Finn arealet av parallellogrammet.

📝Oppgave 5.5.8

Vis at arealet av trekanten med hjørner $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ og $(x_3, y_3)$ i $xy$ -planet er $\displaystyle \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ .

Skriv hjørnene som 3D-punkter med $z = 0$ .

Finn kryssproduktet $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Utvid og forenkle $z$ -komponenten.

📝Oppgave 5.5.9

Finn volumet av tetraederet med hjørner $A = (1, 1, 1)$ , $B = (2, 3, 1)$ , $C = (1, 2, 3)$ og $D = (3, 1, 2)$ .

Finn kantvektorene fra $A$ .

Beregn trippelproduktet.

Finn volumet.

📝Oppgave 5.5.10

Fire punkter $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ og $D = (a, b, c)$ danner et tetraeder med volum $\displaystyle \frac{1}{3}$ . Finn en sammenheng mellom $a$ , $b$ og $c$ .

Sett opp volumformelen.

Løs for sammenhengen.

Beregne areal og volum ved hjelp av vektorprodukter.

55 min

16 oppgaver

ArealVolumParallellogramParallellpipedum

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Areal og volum med vektorer

Arealet av et parallellogram

Et parallellogram utspent av vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ har et åreal som kan beregnes ved hjelp av kryssproduktet.

📜Arealet av et parallellogram

Arealet

A

av parallellogrammet utspent av

\vec{a}

\vec{b}

er:

$A = |\vec{a} \times \vec{b}|$

Forklaring: Fra formelen $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ ser vi at dette er grunnlinje ganget med høyde, som er formelen for arealet av et parallellogram.

✏️Eksempel 1: Areal av parallellogram

Finn arealet av parallellogrammet utspent av $\vec{a} = [1, 2, 0]$ og $\vec{b} = [3, 0, 4]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn kryssproduktet:
$\vec{a} \times \vec{b} = [2 \cdot 4 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot 3 - 1 \cdot 4, \, 1 \cdot 0 - 2 \cdot 3]$
$= [8, -4, -6]$

Steg 2: Finn lengden:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 16 + 36} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$

Arealet er $2\sqrt{29} \approx 10{,}77$ .

Arealet av en trekant

En trekant er halvparten av et parallellogram, så vi får en enkel formel.

📜Arealet av en trekant

Arealet

A

av trekanten med hjørner

A

B

C

er:

$A = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$

Alternativt kan vi bruke hvilke som helst to sidevektorer fra samme hjørne.

✏️Eksempel 2: Areal av trekant i rommet

Finn arealet av trekanten med hjørner $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ og $C = (0, 0, 3)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn sidevektorene fra $A$ :
$\overrightarrow{AB} = [-1, 2, 0]$
$\overrightarrow{AC} = [-1, 0, 3]$

Steg 2: Beregn kryssproduktet:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = [2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, \, 0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3, \, (-1) \cdot 0 - 2 \cdot (-1)]$
$= [6, 3, 2]$

Steg 3: Finn lengden og del på 2:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

$A = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3{,}5$

Arealet av trekanten er $3{,}5$ .

Volumet av et parallellpipedum

Et parallellpipedum er en tredimensjonal figur der alle seks sideflater er parallellogrammer. Tenk på det som en "skjev boks" utspent av tre vektorer.

Det skalare trippelproduktet

\vec{a}

📜Volumet av et parallellpipedum

Volumet

V

av parallellpipedumet utspent av

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

er:

$V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$

Merk: Vi tar absoluttverdien fordi trippelproduktet kan være negativt (avhengig av orienteringen av vektorene).

✏️Eksempel 3: Volum av parallellpipedum

Finn volumet av parallellpipedumet utspent av $\vec{a} = [1, 0, 0]$ , $\vec{b} = [1, 2, 0]$ og $\vec{c} = [1, 2, 3]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn $\vec{b} \times \vec{c}$ :
$\vec{b} \times \vec{c} = [2 \cdot 3 - 0 \cdot 2, \, 0 \cdot 1 - 1 \cdot 3, \, 1 \cdot 2 - 2 \cdot 1] = [6, -3, 0]$

Steg 2: Beregn skalarproduktet $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ :
$\vec{a} \cdot [6, -3, 0] = 1 \cdot 6 + 0 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 = 6$

Steg 3: Ta absoluttverdien:
$V = |6| = 6$

Volumet er 6.

Volumet av et tetraeder

Et tetraeder er en pyramide med fire trekantflater. Volumet er en sjettedel av det tilsvarende parallellpipedumet.

📜Volumet av et tetraeder

Et tetraeder med hjørner

A

B

C

D

har volum:

$V = \frac{1}{6}|\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})|$

Dette følger av at et tetraeder har volum $\displaystyle \frac{1}{3}$ av en prismebase, og at prismen har volum $\displaystyle \frac{1}{2}$ av parallellpipedumet.

✏️Eksempel 4: Volum av tetraeder

Finn volumet av tetraederet med hjørner $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ og $D = (0, 0, 1)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn kantvektorene fra $A$ :
$\overrightarrow{AB} = [1, 0, 0]$
$\overrightarrow{AC} = [0, 1, 0]$
$\overrightarrow{AD} = [0, 0, 1]$

Steg 3: Beregn trippelproduktet:
$\overrightarrow{AB} \cdot [1, 0, 0] = 1$

Steg 4: Finn volumet:
$V = \frac{1}{6}|1| = \frac{1}{6}$

Volumet av tetraederet er $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

Koplanare vektorer

Tre vektorer er koplanare hvis de alle ligger i samme plan. Dette skjer når trippelproduktet er null.

📜Test for koplanaritet

Tre vektorer

\vec{a}

\vec{b}

\vec{c}

er koplanare hvis og bare hvis:

$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

Geometrisk tolkning: Hvis vektorene er koplanare, har parallellpipedumet volum null - det er "flatt".

✏️Eksempel 5: Undersøke koplanaritet

Undersøk om vektorene $\vec{a} = [1, 2, 3]$ , $\vec{b} = [4, 5, 6]$ og $\vec{c} = [7, 8, 9]$ er koplanare.

Løsning:

Vi beregner trippelproduktet:

Steg 1: Finn $\vec{b} \times \vec{c}$ :
$\vec{b} \times \vec{c} = [5 \cdot 9 - 6 \cdot 8, \, 6 \cdot 7 - 4 \cdot 9, \, 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7]$
$= [45 - 48, 42 - 36, 32 - 35] = [-3, 6, -3]$

Steg 2: Finn $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ :
$[1, 2, 3] \cdot [-3, 6, -3] = -3 + 12 - 9 = 0$

Siden trippelproduktet er 0, er vektorene koplanare.

Oppgaver

📝Oppgave 5.5.1

Finn arealet av parallellogrammet utspent av vektorene:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 2, 0]

\vec{a} = [3, 0, 0]

\vec{b} = [0, 0, 4]

\vec{a} = [1, 1, 0]

\vec{b} = [0, 1, 1]

📝Oppgave 5.5.2

Finn arealet av trekanten med hjørner:

A = (0, 0, 0)

B = (1, 0, 0)

C = (0, 1, 0)

A = (1, 1, 1)

B = (2, 1, 1)

C = (1, 2, 1)

📝Oppgave 5.5.3

Finn arealet av trekanten med hjørner $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 0, 5)$ og $C = (2, 1, 0)$ .

Finn $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Beregn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Finn arealet.

📝Oppgave 5.5.4

Finn volumet av parallellpipedumet utspent av:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{c} = [0, 0, 1]

\vec{a} = [2, 0, 0]

\vec{b} = [0, 3, 0]

\vec{c} = [0, 0, 4]

📝Oppgave 5.5.5

Finn volumet av tetraederet med hjørner $A = (0, 0, 0)$ , $B = (2, 0, 0)$ , $C = (0, 3, 0)$ og $D = (0, 0, 4)$ .

Finn kantvektorene fra $A$ .

Beregn trippelproduktet.

Finn volumet.

📝Oppgave 5.5.6

Undersøk om vektorene er koplanare:

\vec{a} = [1, 0, 1]

\vec{b} = [0, 1, 1]

\vec{c} = [1, 1, 2]

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{c} = [1, 1, 1]

📝Oppgave 5.5.7

Et parallellogram har hjørner $A = (1, 0, 2)$ , $B = (3, 1, 1)$ , $C$ og $D = (2, 2, 3)$ , der $ABCD$ er et parallellogram (i den rekkefølgen).

Finn koordinatene til $C$ .

Finn arealet av parallellogrammet.

📝Oppgave 5.5.8

Vis at arealet av trekanten med hjørner $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ og $(x_3, y_3)$ i $xy$ -planet er $\displaystyle \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ .

Skriv hjørnene som 3D-punkter med $z = 0$ .

Finn kryssproduktet $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ .

Utvid og forenkle $z$ -komponenten.

📝Oppgave 5.5.9

Finn volumet av tetraederet med hjørner $A = (1, 1, 1)$ , $B = (2, 3, 1)$ , $C = (1, 2, 3)$ og $D = (3, 1, 2)$ .

Finn kantvektorene fra $A$ .

Beregn trippelproduktet.

Finn volumet.

📝Oppgave 5.5.10

Fire punkter $A = (0, 0, 0)$ , $B = (1, 0, 0)$ , $C = (0, 1, 0)$ og $D = (a, b, c)$ danner et tetraeder med volum $\displaystyle \frac{1}{3}$ . Finn en sammenheng mellom $a$ , $b$ og $c$ .

Sett opp volumformelen.

Løs for sammenhengen.