Beregne areal og volum ved hjelp av vektorprodukter.
Vektorregning gir oss elegante metoder for å beregne areal og volum av geometriske figurer i rommet. I dette kapittelet lærer vi hvordan kryssproduktet og trippelproduktet brukes til slike beregninger.
Et parallellogram utspent av vektorene og har et åreal som kan beregnes ved hjelp av kryssproduktet.
Forklaring: Fra formelen ser vi at dette er grunnlinje ganget med høyde, som er formelen for arealet av et parallellogram.
Finn arealet av parallellogrammet utspent av og .
Steg 1: Beregn kryssproduktet:
Steg 2: Finn lengden:
Arealet er .
En trekant er halvparten av et parallellogram, så vi får en enkel formel.
Alternativt kan vi bruke hvilke som helst to sidevektorer fra samme hjørne.
Finn arealet av trekanten med hjørner , og .
Steg 1: Finn sidevektorene fra :
Steg 2: Beregn kryssproduktet:
Steg 3: Finn lengden og del på 2:
Arealet av trekanten er .
Et parallellpipedum er en tredimensjonal figur der alle seks sideflater er parallellogrammer. Tenk på det som en "skjev boks" utspent av tre vektorer.
Dette kan også beregnes som en determinant:
Merk: Vi tar absoluttverdien fordi trippelproduktet kan være negativt (avhengig av orienteringen av vektorene).
Finn volumet av parallellpipedumet utspent av , og .
Steg 1: Beregn :
Steg 2: Beregn skalarproduktet :
Steg 3: Ta absoluttverdien:
Volumet er 6.
Et tetraeder er en pyramide med fire trekantflater. Volumet er en sjettedel av det tilsvarende parallellpipedumet.
Dette følger av at et tetraeder har volum av en prismebase, og at prismen har volum av parallellpipedumet.
Finn volumet av tetraederet med hjørner , , og .
Steg 1: Finn kantvektorene fra :
Steg 2: Beregn :
Steg 3: Beregn trippelproduktet:
Steg 4: Finn volumet:
Volumet av tetraederet er .
Tre vektorer er koplanare hvis de alle ligger i samme plan. Dette skjer når trippelproduktet er null.
Geometrisk tolkning: Hvis vektorene er koplanare, har parallellpipedumet volum null - det er "flatt".
Undersøk om vektorene , og er koplanare.
Vi beregner trippelproduktet:
Steg 1: Finn :
Steg 2: Finn :
Siden trippelproduktet er 0, er vektorene koplanare.
(Dette gir mening fordi : ... Nei, la oss sjekke: de ligger faktisk i et plan fordi og , så de er i aritmetisk progresjon.)
Finn arealet av parallellogrammet utspent av vektorene:
Finn arealet av trekanten med hjørner:
Finn arealet av trekanten med hjørner , og .
Finn og .
Beregn .
Finn arealet.
Finn volumet av parallellpipedumet utspent av:
Finn volumet av tetraederet med hjørner , , og .
Finn kantvektorene fra .
Beregn trippelproduktet.
Finn volumet.
Undersøk om vektorene er koplanare:
Et parallellogram har hjørner , , og , der er et parallellogram (i den rekkefølgen).
Finn koordinatene til .
Finn arealet av parallellogrammet.
Vis at arealet av trekanten med hjørner , og i -planet er .
Skriv hjørnene som 3D-punkter med .
Finn kryssproduktet .
Utvid og forenkle -komponenten.
Finn volumet av tetraederet med hjørner , , og .
Finn kantvektorene fra .
Beregn trippelproduktet.
Finn volumet.
Fire punkter , , og danner et tetraeder med volum . Finn en sammenheng mellom , og .
Sett opp volumformelen.
Løs for sammenhengen.