5.3 Skalarproduktet | Matematikk R2

Prikkprodukt og anvendelser.

55 min

18 oppgaver

SkalarproduktPrikkproduktVinkelOrtogonalitet

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er skalarproduktet?

Skalarproduktet (også kalt prikkproduktet eller indreproduktet) er en måte å "multiplisere" to vektorer på som gir et tall (en skalar) som resultat.

Skalarproduktet har mange viktige anvendelser:
- Finne vinkelen mellom to vektorer
- Avgjøre om to vektorer er ortogonale (vinkelrette)
- Projisere en vektor på en annen
- Beregne arbeid i fysikk ( $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ )

Skalarproduktet

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 1: Beregne skalarproduktet

Regn ut skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b}$ når:

a) $\vec{a} = [2, 3, 1]$ og $\vec{b} = [4, -1, 2]$
b) $\vec{a} = [1, 0, -2]$ og $\vec{b} = [3, 5, 1]$

Løsning:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = 8 - 3 + 2 = 7$

b) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 5 + (-2) \cdot 1 = 3 + 0 - 2 = 1$

📜Regneregler for skalarproduktet

For vektorer $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ og skalar $k$ gjelder:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (kommutativ)
2. $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ (distributiv)
3. $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$
4. $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ (lengde kvadrert)
5. $\vec{a} \cdot \vec{0} = 0$

Geometrisk tolkning av skalarproduktet

Det finnes en alternativ formel for skalarproduktet som involverer vinkelen mellom vektorene.

📜Geometrisk formel for skalarproduktet

For vektorer

\vec{a}

\vec{b}

med vinkel

\theta

mellom seg:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$

Denne formelen gir oss sammenhengen mellom skalarproduktet og vinkelen.

Vinkel mellom to vektorer

Ved å kombinere de to formlene for skalarproduktet kan vi finne vinkelen mellom to vektorer.

📜Vinkel mellom to vektorer

Vinkelen

\theta

mellom vektorene

\vec{a}

\vec{b}

er gitt ved:

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

der $0° \leq \theta \leq 180°$ (eller $0 \leq \theta \leq \pi$ i radianer).

✏️Eksempel 2: Finne vinkelen mellom to vektorer

Finn vinkelen mellom $\vec{a} = [1, 2, 2]$ og $\vec{b} = [3, 0, 4]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn skalarproduktet:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 3 + 0 + 8 = 11$

Steg 2: Finn lengdene:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Steg 3: Bruk vinkelformelen:
$\cos\theta = \frac{11}{3 \cdot 5} = \frac{11}{15}$

$\theta = \arccos\left(\frac{11}{15}\right) \approx 42{,}8°$

Ortogonale vektorer

Når vinkelen mellom to vektorer er $90°$ , sier vi at de er ortogonale (vinkelrette).

📜Ortogonalitet

To vektorer

\vec{a}

\vec{b}

er ortogonale hvis og bare hvis:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Vi skriver $\vec{a} \perp \vec{b}$ .

Forklaring: Når $\theta = 90°$ er $\cos 90° = 0$ , så $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cdot 0 = 0$ .

✏️Eksempel 3: Sjekke ortogonalitet

Undersøk om vektorene er ortogonale:

a) $\vec{a} = [2, 1, -1]$ og $\vec{b} = [1, -3, -1]$
b) $\vec{c} = [1, 2, 3]$ og $\vec{d} = [3, 0, -1]$

Løsning:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + (-1) \cdot (-1) = 2 - 3 + 1 = 0$

Siden $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ , er $\vec{a} \perp \vec{b}$ . Ja, de er ortogonale.

b) $\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) = 3 + 0 - 3 = 0$

Siden $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$ , er $\vec{c} \perp \vec{d}$ . Ja, de er ortogonale.

✏️Eksempel 4: Finne en ortogonal vektor

Finn alle verdier av $k$ slik at $\vec{u} = [2, k, 1]$ er ortogonal på $\vec{v} = [3, -1, k]$ .

Løsning:

For at $\vec{u} \perp \vec{v}$ må $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 3 + k \cdot (-1) + 1 \cdot k = 6 - k + k = 6$

Vi får $6 = 0$ , som er umulig.

Konklusjon: Det finnes ingen verdi av $k$ som gjør vektorene ortogonale.

Projeksjon av en vektor på en annen

Projeksjonen av $\vec{a}$ på $\vec{b}$ er den komponenten av $\vec{a}$ som ligger langs $\vec{b}$ .

Projeksjonen av en vektor

\vec{a}

✏️Eksempel 5: Projeksjon av vektor

Finn projeksjonen av $\vec{a} = [4, 3, 0]$ på $\vec{b} = [2, 0, 0]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn skalarproduktet og lengden av $\vec{b}$ :
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 8$
$|\vec{b}|^2 = 2^2 + 0^2 + 0^2 = 4$
$|\vec{b}| = 2$

Steg 2: Skalar projeksjon:
$\text{comp}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{8}{2} = 4$

Steg 3: Vektor projeksjon:
$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{8}{4} \cdot [2, 0, 0] = 2 \cdot [2, 0, 0] = [4, 0, 0]$

Projeksjonen er vektoren $[4, 0, 0]$ , som er komponenten av $\vec{a}$ langs $x$ -aksen.

Oppgaver

📝Oppgave 5.3.1

Regn ut skalarproduktet $\vec{a} \cdot \vec{b}$ :

\vec{a} = [1, 2, 3]

\vec{b} = [4, 5, 6]

\vec{a} = [2, -1, 3]

\vec{b} = [3, 2, -1]

\vec{a} = [1, 0, -1]

\vec{b} = [2, 5, 2]

\vec{a} = [4, -3, 0]

\vec{b} = [0, 0, 5]

📝Oppgave 5.3.2

Avgjør om vektorparene er ortogonale:

\vec{u} = [1, 2, -2]

\vec{v} = [2, 1, 2]

\vec{u} = [3, 1, 2]

\vec{v} = [1, -1, -1]

\vec{u} = [1, 1, 1]

\vec{v} = [1, 1, -2]

\vec{u} = [2, 3, 1]

\vec{v} = [1, -1, 1]

📝Oppgave 5.3.3

Finn vinkelen mellom vektorene:

\vec{a} = [1, 0, 0]

\vec{b} = [0, 1, 0]

\vec{a} = [1, 1, 0]

\vec{b} = [1, 0, 0]

\vec{a} = [1, 1, 1]

\vec{b} = [1, 1, 1]

\vec{a} = [2, 1, 2]

\vec{b} = [1, -2, 0]

📝Oppgave 5.3.4

Finn vinkelen mellom vektorene $\vec{u} = [3, -1, 2]$ og $\vec{v} = [1, 2, 1]$ . Gi svaret i grader.

Beregn $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Beregn $|\vec{u}|$ og $|\vec{v}|$ .

Finn vinkelen $\theta$ .

📝Oppgave 5.3.5

Finn verdien av $t$ slik at vektorene er ortogonale:

\vec{a} = [t, 2, 1]

\vec{b} = [3, -1, 1]

\vec{a} = [1, t, 2]

\vec{b} = [4, 2, t]

\vec{a} = [t, t, 1]

\vec{b} = [1, -1, t]

📝Oppgave 5.3.6

Finn projeksjonen av $\vec{a}$ på $\vec{b}$ :

\vec{a} = [3, 4, 0]

\vec{b} = [1, 0, 0]

\vec{a} = [1, 2, 3]

\vec{b} = [1, 1, 1]

\vec{a} = [4, 3, 2]

\vec{b} = [2, 0, 1]

📝Oppgave 5.3.7

En trekant har hjørner $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ og $C = (0, 0, 3)$ . Finn vinkelen i hjørnet $A$ .

Finn vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

Beregn vinkelen mellom $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ .

📝Oppgave 5.3.8

Finn alle verdier av $k$ slik at vinkelen mellom $\vec{a} = [1, 1, k]$ og $\vec{b} = [1, k, 1]$ er $60°$ .

Sett opp likningen ved hjelp av vinkelformelen.

Løs likningen.

📝Oppgave 5.3.9

Vektoren $\vec{v} = [3, 1, 2]$ skal dekomponeres i en komponent parallell med $\vec{u} = [1, 1, 0]$ og en komponent ortogonal på $\vec{u}$ .

Finn $\vec{v}_{\parallel}$ , den parallelle komponenten.

Finn $\vec{v}_{\perp}$ , den ortogonale komponenten.

Verifiser at $\vec{v}_{\perp} \perp \vec{u}$ .

📝Oppgave 5.3.10

Vis at for alle vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ gjelder: $|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)$ (parallellogramidentiteten).

Utvid $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ ved hjelp av skalarproduktet.

Utvid $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ tilsvarende.

Adder uttrykkene og vis identiteten.