Addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon.
Vektorregning i tre dimensjoner fungerer på samme måte som i to dimensjoner. Vi utfører operasjonene komponent for komponent. I dette kapittelet ser vi på de grunnleggende regneoperasjonene: addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon.
Når vi adderer to vektorer, legger vi sammen tilsvarende komponenter.
Geometrisk tolkning: Legg i enden av . Summen er vektoren fra starten av til enden av .
La og . Finn .
Vi adderer komponent for komponent:
Subtraksjon fungerer analogt med addisjon.
Geometrisk tolkning: er vektoren fra enden av til enden av (når begge starter i samme punkt).
La og . Finn og .
Merk at , akkurat som forventet.
Når vi multipliserer en vektor med et tall (en skalar), multipliserer vi hver komponent med dette tallet.
Geometrisk tolkning:
- : Vektoren blir lengre
- : Vektoren blir kortere
- : Vektoren snur retning
- : Gir nullvektoren
La . Finn:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
For vektorer , , og skalarer , gjelder:
Addisjon:
1. (kommutativ)
2. (assosiativ)
3. (nullvektor)
4. (motsatt vektor)
Skalarmultiplikasjon:
5. (distributiv)
6. (distributiv)
7. (assosiativ)
8.
La og . Regn ut .
Først regner vi ut hver del:
Så subtraherer vi:
En lineærkombinasjon av vektorer er en sum der hver vektor er multiplisert med en skalar.
der er skalarer (tall).
Skriv vektoren som en lineærkombinasjon av og .
Vi søker og slik at :
Fra tredje komponent:
Fra andre komponent:
Kontroll: ✓
Altså:
To vektorer er parallelle hvis den ene er et skalarmultiplum av den andre.
Vi skriver .
- Hvis : Vektorene peker i samme retning
- Hvis : Vektorene peker i motsatt retning
Undersøk om følgende vektorpar er parallelle:
a) og
b) og
a) Vi sjekker om for et tall :
Fra første komponent:
Sjekk: ✓
Ja, med .
b) Vi sjekker om :
- Fra første komponent:
- Fra andre komponent:
- Fra tredje komponent:
Siden -verdiene ikke er like, er vektorene ikke parallelle.
Ved hjelp av vektorregning kan vi finne punkter som deler et linjestykke i et gitt forhold.
Spesialtilfelle: Midtpunktet (der ):
La og .
a) Finn midtpunktet på .
b) Finn punktet som deler i forholdet .
a) Midtpunktet har koordinater:
b) For forholdet (med og ):
Så .
La og . Regn ut:
La , og . Regn ut:
Undersøk om følgende vektorpar er parallelle:
Finn , og slik at når:
Finn midtpunktet på linjestykket når:
Skriv vektoren som en lineærkombinasjon av og .
Sett opp likningssystemet.
Løs systemet og skriv svaret.
Punktene og er gitt. Finn punktet som deler i forholdet:
I en trekant har vi , og . Tyngdepunktet i trekanten er gjennomsnittet av hjørnene.
Finn koordinatene til tyngdepunktet .
Vis at .
Vektorene , og er gitt. Finn verdien av slik at kan skrives som en lineærkombinasjon av og .
Sett opp likningssystemet .
Løs for og fra likning (2) og (3).
Finn .
Et parallellogram har hjørner , og . Finn koordinatene til .
Bruk at til å finne .
Verifiser at .