5.2 Vektorkoordinater og regning | Matematikk R2

Addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon.

50 min

18 oppgaver

VektoraddisjonSubtraksjonSkalarmultiplikasjonAvstand

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Regning med vektorer i rommet

Vektorregning i tre dimensjoner fungerer på samme måte som i to dimensjoner. Vi utfører operasjonene komponent for komponent. I dette kapittelet ser vi på de grunnleggende regneoperasjonene: addisjon, subtraksjon og skalarmultiplikasjon.

Addisjon av vektorer

Når vi adderer to vektorer, legger vi sammen tilsvarende komponenter.

Addisjon av vektorer

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 1: Addisjon av vektorer

La $\vec{a} = [2, -1, 3]$ og $\vec{b} = [1, 4, -2]$ . Finn $\vec{a} + \vec{b}$ .

Løsning:

Vi adderer komponent for komponent:

$\vec{a} + \vec{b} = [2+1, -1+4, 3+(-2)] = [3, 3, 1]$

Subtraksjon av vektorer

Subtraksjon fungerer analogt med addisjon.

Subtraksjon av vektorer

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 2: Subtraksjon av vektorer

La $\vec{a} = [5, 2, -1]$ og $\vec{b} = [3, -1, 4]$ . Finn $\vec{a} - \vec{b}$ og $\vec{b} - \vec{a}$ .

Løsning:

$\vec{a} - \vec{b} = [5-3, 2-(-1), -1-4] = [2, 3, -5]$

$\vec{b} - \vec{a} = [3-5, -1-2, 4-(-1)] = [-2, -3, 5]$

Merk at $\vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b})$ , akkurat som forventet.

Skalarmultiplikasjon

Når vi multipliserer en vektor med et tall (en skalar), multipliserer vi hver komponent med dette tallet.

Skalarmultiplikasjon

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

✏️Eksempel 3: Skalarmultiplikasjon

La $\vec{v} = [2, -3, 1]$ . Finn:
a) $3\vec{v}$
b) $-2\vec{v}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}$

Løsning:

a) $3\vec{v} = 3[2, -3, 1] = [6, -9, 3]$

b) $-2\vec{v} = -2[2, -3, 1] = [-4, 6, -2]$

c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2}[2, -3, 1] = \left[1, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right]$

📜Regneregler for vektorer

For vektorer $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ og skalarer $k$ , $m$ gjelder:

Addisjon:
1. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (kommutativ)
2. $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (assosiativ)
3. $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ (nullvektor)
4. $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ (motsatt vektor)

Skalarmultiplikasjon:
5. $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ (distributiv)
6. $(k + m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$ (distributiv)
7. $k(m\vec{a}) = (km)\vec{a}$ (assosiativ)
8. $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

✏️Eksempel 4: Kombinerte operasjoner

La $\vec{a} = [1, 2, -1]$ og $\vec{b} = [3, 0, 2]$ . Regn ut $2\vec{a} - 3\vec{b}$ .

Løsning:

Først regner vi ut hver del:
$2\vec{a} = 2[1, 2, -1] = [2, 4, -2]$
$3\vec{b} = 3[3, 0, 2] = [9, 0, 6]$

Så subtraherer vi:
$2\vec{a} - 3\vec{b} = [2, 4, -2] - [9, 0, 6] = [2-9, 4-0, -2-6] = [-7, 4, -8]$

Lineærkombinasjoner

En lineærkombinasjon av vektorer er en sum der hver vektor er multiplisert med en skalar.

Lineærkombinasjon

\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n

✏️Eksempel 5: Lineærkombinasjon

Skriv vektoren $\vec{w} = [7, 5, 3]$ som en lineærkombinasjon av $\vec{u} = [1, 1, 1]$ og $\vec{v} = [2, 1, 0]$ .

Løsning:

Vi søker $a$ og $b$ slik at $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{w}$ :

$a[1, 1, 1] + b[2, 1, 0] = [7, 5, 3]$
$[a + 2b, a + b, a] = [7, 5, 3]$

Fra tredje komponent: $a = 3$

Fra andre komponent: $3 + b = 5 \Rightarrow b = 2$

Kontroll: $3[1, 1, 1] + 2[2, 1, 0] = [3, 3, 3] + [4, 2, 0] = [7, 5, 3]$ ✓

Altså: $\vec{w} = 3\vec{u} + 2\vec{v}$

Parallelle vektorer

To vektorer er parallelle hvis den ene er et skalarmultiplum av den andre.

Parallelle vektorer

\vec{a}

✏️Eksempel 6: Avgjøre om vektorer er parallelle

Undersøk om følgende vektorpar er parallelle:
a) $\vec{a} = [2, 4, 6]$ og $\vec{b} = [1, 2, 3]$
b) $\vec{c} = [3, -1, 2]$ og $\vec{d} = [6, -2, 5]$

Løsning:

a) Vi sjekker om $\vec{a} = k\vec{b}$ for et tall $k$ :
$[2, 4, 6] = k[1, 2, 3]$

Fra første komponent: $2 = k \cdot 1 \Rightarrow k = 2$

Sjekk: $2 \cdot [1, 2, 3] = [2, 4, 6] = \vec{a}$ ✓

Ja, $\vec{a} \parallel \vec{b}$ med $k = 2$ .

b) Vi sjekker om $\vec{c} = k\vec{d}$ :
- Fra første komponent: $\displaystyle 3 = 6k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
- Fra andre komponent: $\displaystyle -1 = -2k \Rightarrow k = \frac{1}{2}$
- Fra tredje komponent: $\displaystyle 2 = 5k \Rightarrow k = \frac{2}{5}$

Siden $k$ -verdiene ikke er like, er vektorene ikke parallelle.

Deling av linjestykke

Ved hjelp av vektorregning kan vi finne punkter som deler et linjestykke i et gitt forhold.

📜Delingspunkt på linjestykke

A

B

være to punkter. Punktet

P

som deler

AB

i forholdet

m:n

(der

|AP|:|PB| = m:n

) har posisjonsvektor:

$\vec{OP} = \frac{n \cdot \vec{OA} + m \cdot \vec{OB}}{m + n}$

Spesialtilfelle: Midtpunktet $M$ (der $m = n = 1$ ):
$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

✏️Eksempel 7: Midtpunkt og delingspunkt

La $A = (1, 3, 5)$ og $B = (7, -1, 2)$ .

a) Finn midtpunktet $M$ på $AB$ .
b) Finn punktet $P$ som deler $AB$ i forholdet $2:1$ .

Løsning:

a) Midtpunktet har koordinater:
$M = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(4, 1, \frac{7}{2}\right)$

b) For forholdet $2:1$ (med $m = 2$ og $n = 1$ ):
$\vec{OP} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB}}{2 + 1} = \frac{[1, 3, 5] + 2[7, -1, 2]}{3}$
$= \frac{[1, 3, 5] + [14, -2, 4]}{3} = \frac{[15, 1, 9]}{3} = [5, \frac{1}{3}, 3]$

Så $\displaystyle P = \left(5, \frac{1}{3}, 3\right)$ .

Oppgaver

📝Oppgave 5.2.1

La $\vec{a} = [3, -1, 2]$ og $\vec{b} = [1, 4, -3]$ . Regn ut:

\vec{a} + \vec{b}

\vec{a} - \vec{b}

\vec{b} - \vec{a}

2\vec{a} + 3\vec{b}

📝Oppgave 5.2.2

La $\vec{u} = [2, 0, -1]$ , $\vec{v} = [-1, 3, 2]$ og $\vec{w} = [0, 1, 1]$ . Regn ut:

\vec{u} + \vec{v} + \vec{w}

2\vec{u} - \vec{v}

\vec{u} - 2\vec{v} + 3\vec{w}

📝Oppgave 5.2.3

Undersøk om følgende vektorpar er parallelle:

\vec{a} = [4, -2, 6]

\vec{b} = [2, -1, 3]

\vec{c} = [1, 2, 3]

\vec{d} = [2, 4, 5]

\vec{e} = [3, -6, 9]

\vec{f} = [-1, 2, -3]

📝Oppgave 5.2.4

Finn $x$ , $y$ og $z$ slik at $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ når:

\vec{a} = [x, 2, 3]

\vec{b} = [1, y, -1]

\vec{c} = [4, 5, z]

\vec{a} = [2x, 1, -2]

\vec{b} = [3, y-1, z]

\vec{c} = [7, 4, 1]

📝Oppgave 5.2.5

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket $AB$ når:

A = (2, 4, 6)

B = (8, 2, 4)

A = (-1, 3, 5)

B = (5, -1, 3)

A = (0, 0, 0)

B = (4, -2, 6)

📝Oppgave 5.2.6

Skriv vektoren $\vec{w} = [5, 4, 7]$ som en lineærkombinasjon av $\vec{u} = [1, 0, 1]$ og $\vec{v} = [1, 1, 2]$ .

Sett opp likningssystemet.

Løs systemet og skriv svaret.

📝Oppgave 5.2.7

Punktene $A = (1, 2, 3)$ og $B = (7, 5, 9)$ er gitt. Finn punktet $P$ som deler $AB$ i forholdet:

1:2

(fra

A

)

2:1

(fra

A

)

📝Oppgave 5.2.8

I en trekant $ABC$ har vi $A = (1, 0, 2)$ , $B = (3, 4, 0)$ og $C = (5, 2, 6)$ . Tyngdepunktet $T$ i trekanten er gjennomsnittet av hjørnene.

Finn koordinatene til tyngdepunktet $T$ .

Vis at $\overrightarrow{TA} + \overrightarrow{TB} + \overrightarrow{TC} = \vec{0}$ .

📝Oppgave 5.2.9

Vektorene $\vec{a} = [2, -1, 3]$ , $\vec{b} = [1, 2, -1]$ og $\vec{c} = [k, 5, 1]$ er gitt. Finn verdien av $k$ slik at $\vec{c}$ kan skrives som en lineærkombinasjon av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Sett opp likningssystemet $s\vec{a} + t\vec{b} = \vec{c}$ .

Løs for $s$ og $t$ fra likning (2) og (3).

Finn $k$ .

📝Oppgave 5.2.10

Et parallellogram $ABCD$ har hjørner $A = (1, 2, 3)$ , $B = (4, 3, 5)$ og $C = (6, 7, 8)$ . Finn koordinatene til $D$ .

Bruk at $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ til å finne $D$ .

Verifiser at $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ .