5.1 Vektorer i tre dimensjoner | Matematikk R2

Introduksjon til romvektorer og koordinater.

50 min

16 oppgaver

RomkoordinaterVektorKomponenterLengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Fra planet til rommet

I R1 lærte du om vektorer i planet, altså i to dimensjoner. Nå skal vi utvide dette til tre dimensjoner - rommet vi lever i.

Mange praktiske problemer krever at vi arbeider i tre dimensjoner:
- Fly og droner som beveger seg i luftrommet
- Krefter som virker på konstruksjoner i alle retninger
- Molekyler og krystallstrukturer i kjemi
- Grafikk i dataspill og animasjonsfilmer
- GPS og navigasjon

Heldigvis er overgangen fra to til tre dimensjoner ganske naturlig. De fleste regnereglene fra R1 gjelder fortsatt - vi legger bare til en ekstra koordinat.

Det tredimensjonale koordinatsystemet

I to dimensjoner brukte vi $x$ -aksen og $y$ -aksen. I tre dimensjoner legger vi til en $z$ -akse som star vinkelrett på de to andre.

Vi bruker et rettvinklet (eller ortogonalt) koordinatsystem der alle tre aksene star vinkelrett på hverandre. Det vanligste er et høyrehåndssystem:

Høyrehåndsregelen:
Hold høyre hånd med fingrene pekende langs positiv $x$ -akse. Krøll fingrene mot positiv $y$ -akse. Da peker tommelen i retning av positiv $z$ -akse.

Et punkt $P$ i rommet angis med tre koordinater: $P = (x, y, z)$

- $x$ -koordinaten angir avstanden langs $x$ -aksen
- $y$ -koordinaten angir avstanden langs $y$ -aksen
- $z$ -koordinaten angir høyden over $xy$ -planet

Koordinater i rommet

P

✏️Eksempel 1: Punkter i rommet

Beskriv plasseringen av punktene:

a) $A = (3, 0, 0)$
b) $B = (2, 4, 0)$
c) $C = (1, 2, 3)$
d) $D = (0, 0, -2)$

Løsning:

a) $A = (3, 0, 0)$ ligger på $x$ -aksen, 3 enheter fra origo i positiv $x$ -retning.

b) $B = (2, 4, 0)$ ligger i $xy$ -planet (siden $z = 0$ ), 2 enheter langs $x$ -aksen og 4 enheter langs $y$ -aksen.

c) $C = (1, 2, 3)$ ligger 1 enhet langs $x$ -aksen, 2 enheter langs $y$ -aksen, og 3 enheter over $xy$ -planet.

d) $D = (0, 0, -2)$ ligger på $z$ -aksen, 2 enheter under $xy$ -planet (negativ $z$ -verdi).

Vektorer i rommet

En vektor i rommet er, akkurat som i planet, en størrelse med både lengde og retning.

Vi skriver vektorer med pil over: $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{v}$ , eller med fete bokstaver: $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{v}$ .

En vektor fra punkt $A$ til punkt $B$ skrives $\overrightarrow{AB}$ .

Vektor i rommet

\vec{a}

Posisjonsvektor og vektor mellom to punkter

Posisjonsvektoren til et punkt $P = (x, y, z)$ er vektoren fra origo til $P$ :

$\vec{OP} = [x, y, z]$

For å finne vektoren $\overrightarrow{AB}$ fra punkt $A = (a_1, a_2, a_3)$ til punkt $B = (b_1, b_2, b_3)$ , bruker vi samme regel som i to dimensjoner:

$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = [b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3]$

Med andre ord: slutt minus start for hver koordinat.

✏️Eksempel 2: Finne vektor mellom to punkter

La $A = (1, 3, 2)$ og $B = (4, -1, 5)$ .

a) Finn vektoren $\overrightarrow{AB}$
b) Finn vektoren $\overrightarrow{BA}$

Løsning:

a) Vi bruker formelen slutt minus start:
$\overrightarrow{AB} = [4-1, -1-3, 5-2] = [3, -4, 3]$

b) Vektoren $\overrightarrow{BA}$ går motsatt vei:
$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-(-1), 2-5] = [-3, 4, -3]$

Vi ser at $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ , akkurat som forventet.

Lengden av en vektor

Lengden (eller normen) til en vektor $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ er en naturlig utvidelse av formelen fra to dimensjoner. Vi bruker Pytagoras' setning to ganger.

📜Lengden av en vektor i rommet

For en vektor

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

er lengden gitt ved:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Utledning:
Tenk på vektoren $\vec{a}$ som diagonalen i en eske med sider $a_1$ , $a_2$ og $a_3$ .

1. Først finner vi diagonalen i bunnen (i $xy$ -planet): $d = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
2. Så bruker vi Pytagoras igjen med denne diagonalen og høyden $a_3$ :
$|\vec{a}| = \sqrt{d^2 + a_3^2} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

✏️Eksempel 3: Lengde av vektor

Finn lengden av vektoren $\vec{v} = [2, -3, 6]$ .

Løsning:

Vi bruker lengdeformelen:

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Lengden av $\vec{v}$ er 7.

Avstand mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter $A$ og $B$ er det samme som lengden av vektoren $\overrightarrow{AB}$ .

📜Avstand mellom to punkter i rommet

Avstanden mellom punktene

A = (a_1, a_2, a_3)

B = (b_1, b_2, b_3)

er:

$|AB| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

✏️Eksempel 4: Avstand mellom punkter

Finn avstanden mellom punktene $P = (1, -2, 3)$ og $Q = (4, 2, -1)$ .

Løsning:

Vi bruker avstandsformelen:

$|PQ| = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2 + (-1-3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16 + 16}$
$= \sqrt{41}$

Avstanden er $\sqrt{41} \approx 6{,}40$ .

Enhetsvektor

En enhetsvektor er en vektor med lengde 1. Enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ finner vi ved å dele $\vec{a}$ på sin egen lengde.

Enhetsvektor

\hat{a}

✏️Eksempel 5: Finne enhetsvektor

Finn enhetsvektoren i samme retning som $\vec{u} = [3, 4, 0]$ .

Løsning:

Først finner vi lengden:
$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Enhetsvektoren blir:
$\hat{u} = \frac{1}{5}[3, 4, 0] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right]$

Kontroll: $\displaystyle |\hat{u}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1$ ✓

Oppgaver

📝Oppgave 5.1.1

Beskriv plasseringen av følgende punkter:

P = (2, 3, 1)

Q = (0, 4, 0)

R = (-1, 2, 5)

S = (3, 0, -2)

📝Oppgave 5.1.2

Finn vektoren $\overrightarrow{AB}$ når:

A = (1, 2, 3)

B = (4, 5, 6)

A = (0, 0, 0)

B = (1, -2, 3)

A = (2, -1, 4)

B = (-1, 3, 2)

A = (5, 2, -3)

B = (5, 2, 4)

📝Oppgave 5.1.3

Finn lengden av vektorene:

\vec{a} = [1, 2, 2]

\vec{b} = [4, 0, 3]

\vec{c} = [1, 1, 1]

\vec{d} = [6, -2, 3]

📝Oppgave 5.1.4

Finn avstanden mellom punktene:

A = (1, 0, 2)

B = (3, 4, 2)

C = (2, -1, 3)

D = (-1, 2, 7)

E = (0, 0, 0)

F = (1, 2, 2)

📝Oppgave 5.1.5

Finn enhetsvektoren i samme retning som:

\vec{a} = [4, 0, 3]

\vec{b} = [1, 2, 2]

\vec{c} = [2, -2, 1]

📝Oppgave 5.1.6

Et punkt $P$ har posisjonsvektor $\vec{OP} = [2, 3, 1]$ og et punkt $Q$ har posisjonsvektor $\vec{OQ} = [5, -1, 4]$ .

Finn koordinatene til $P$ og $Q$ .

Finn vektoren $\overrightarrow{PQ}$ .

Finn lengden $|PQ|$ .

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket $PQ$ .

📝Oppgave 5.1.7

Vis at trekanten med hjørner $A = (1, 0, 1)$ , $B = (3, 2, 1)$ og $C = (1, 2, 3)$ er likebeint.

Finn lengdene $|AB|$ , $|BC|$ og $|AC|$ .

Hva slags trekant er dette?

📝Oppgave 5.1.8

Punktet $A = (1, 2, 3)$ og punktet $B = (4, 6, 3)$ er gitt. Finn alle punkter $P$ på $z$ -aksen som har lik avstand til $A$ og $B$ .

Skriv opp koordinatene til et generelt punkt $P$ på $z$ -aksen.

Sett opp likningen $|PA| = |PB|$ .

Løs likningen og finn $P$ .

📝Oppgave 5.1.9

En kule har sentrum i $S = (2, 1, 3)$ og går gjennom punktet $P = (4, 3, 6)$ .

Finn radien $r$ til kulen.

Bestem om punktet $Q = (2, 1, 3 + \sqrt{17})$ ligger på kulen.

Finn et punkt på kulen som ligger i $xy$ -planet.

📝Oppgave 5.1.10

Skriv vektoren $\vec{v} = [6, 3, -6]$ som summen av en vektor parallell med $\vec{a} = [2, 1, -2]$ og en vektor ortogonal på $\vec{a}$ .

Finn en vektor $\vec{v}_{\parallel}$ parallell med $\vec{a}$ slik at $\vec{v}_{\parallel} = k\vec{a}$ for et tall $k$ .

Hva blir $\vec{v}_{\perp}$ ?

Introduksjon til romvektorer og koordinater.

50 min

16 oppgaver

RomkoordinaterVektorKomponenterLengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Fra planet til rommet

I R1 lærte du om vektorer i planet, altså i to dimensjoner. Nå skal vi utvide dette til tre dimensjoner - rommet vi lever i.

Heldigvis er overgangen fra to til tre dimensjoner ganske naturlig. De fleste regnereglene fra R1 gjelder fortsatt - vi legger bare til en ekstra koordinat.

Det tredimensjonale koordinatsystemet

I to dimensjoner brukte vi $x$ -aksen og $y$ -aksen. I tre dimensjoner legger vi til en $z$ -akse som star vinkelrett på de to andre.

Vi bruker et rettvinklet (eller ortogonalt) koordinatsystem der alle tre aksene star vinkelrett på hverandre. Det vanligste er et høyrehåndssystem:

Høyrehåndsregelen:
Hold høyre hånd med fingrene pekende langs positiv $x$ -akse. Krøll fingrene mot positiv $y$ -akse. Da peker tommelen i retning av positiv $z$ -akse.

Et punkt $P$ i rommet angis med tre koordinater: $P = (x, y, z)$

- $x$ -koordinaten angir avstanden langs $x$ -aksen
- $y$ -koordinaten angir avstanden langs $y$ -aksen
- $z$ -koordinaten angir høyden over $xy$ -planet

Koordinater i rommet

P

✏️Eksempel 1: Punkter i rommet

Beskriv plasseringen av punktene:

a) $A = (3, 0, 0)$
b) $B = (2, 4, 0)$
c) $C = (1, 2, 3)$
d) $D = (0, 0, -2)$

Løsning:

a) $A = (3, 0, 0)$ ligger på $x$ -aksen, 3 enheter fra origo i positiv $x$ -retning.

b) $B = (2, 4, 0)$ ligger i $xy$ -planet (siden $z = 0$ ), 2 enheter langs $x$ -aksen og 4 enheter langs $y$ -aksen.

c) $C = (1, 2, 3)$ ligger 1 enhet langs $x$ -aksen, 2 enheter langs $y$ -aksen, og 3 enheter over $xy$ -planet.

d) $D = (0, 0, -2)$ ligger på $z$ -aksen, 2 enheter under $xy$ -planet (negativ $z$ -verdi).

Vektorer i rommet

En vektor i rommet er, akkurat som i planet, en størrelse med både lengde og retning.

Vi skriver vektorer med pil over: $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{v}$ , eller med fete bokstaver: $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ , $\mathbf{v}$ .

En vektor fra punkt $A$ til punkt $B$ skrives $\overrightarrow{AB}$ .

Vektor i rommet

\vec{a}

Posisjonsvektor og vektor mellom to punkter

Posisjonsvektoren til et punkt $P = (x, y, z)$ er vektoren fra origo til $P$ :

$\vec{OP} = [x, y, z]$

For å finne vektoren $\overrightarrow{AB}$ fra punkt $A = (a_1, a_2, a_3)$ til punkt $B = (b_1, b_2, b_3)$ , bruker vi samme regel som i to dimensjoner:

$\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = [b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3]$

Med andre ord: slutt minus start for hver koordinat.

✏️Eksempel 2: Finne vektor mellom to punkter

La $A = (1, 3, 2)$ og $B = (4, -1, 5)$ .

a) Finn vektoren $\overrightarrow{AB}$
b) Finn vektoren $\overrightarrow{BA}$

Løsning:

a) Vi bruker formelen slutt minus start:
$\overrightarrow{AB} = [4-1, -1-3, 5-2] = [3, -4, 3]$

b) Vektoren $\overrightarrow{BA}$ går motsatt vei:
$\overrightarrow{BA} = [1-4, 3-(-1), 2-5] = [-3, 4, -3]$

Vi ser at $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ , akkurat som forventet.

Lengden av en vektor

Lengden (eller normen) til en vektor $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ er en naturlig utvidelse av formelen fra to dimensjoner. Vi bruker Pytagoras' setning to ganger.

📜Lengden av en vektor i rommet

For en vektor

\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]

er lengden gitt ved:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Utledning:
Tenk på vektoren $\vec{a}$ som diagonalen i en eske med sider $a_1$ , $a_2$ og $a_3$ .

✏️Eksempel 3: Lengde av vektor

Finn lengden av vektoren $\vec{v} = [2, -3, 6]$ .

Løsning:

Vi bruker lengdeformelen:

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

Lengden av $\vec{v}$ er 7.

Avstand mellom to punkter

Avstanden mellom to punkter $A$ og $B$ er det samme som lengden av vektoren $\overrightarrow{AB}$ .

📜Avstand mellom to punkter i rommet

Avstanden mellom punktene

A = (a_1, a_2, a_3)

B = (b_1, b_2, b_3)

er:

$|AB| = \sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2 + (b_3-a_3)^2}$

✏️Eksempel 4: Avstand mellom punkter

Finn avstanden mellom punktene $P = (1, -2, 3)$ og $Q = (4, 2, -1)$ .

Løsning:

Vi bruker avstandsformelen:

$|PQ| = \sqrt{(4-1)^2 + (2-(-2))^2 + (-1-3)^2}$
$= \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16 + 16}$
$= \sqrt{41}$

Avstanden er $\sqrt{41} \approx 6{,}40$ .

Enhetsvektor

En enhetsvektor er en vektor med lengde 1. Enhetsvektoren i samme retning som $\vec{a}$ finner vi ved å dele $\vec{a}$ på sin egen lengde.

Enhetsvektor

\hat{a}

✏️Eksempel 5: Finne enhetsvektor

Finn enhetsvektoren i samme retning som $\vec{u} = [3, 4, 0]$ .

Løsning:

Først finner vi lengden:
$|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Enhetsvektoren blir:
$\hat{u} = \frac{1}{5}[3, 4, 0] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0\right]$

Kontroll: $\displaystyle |\hat{u}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{1} = 1$ ✓

Oppgaver

📝Oppgave 5.1.1

Beskriv plasseringen av følgende punkter:

P = (2, 3, 1)

Q = (0, 4, 0)

R = (-1, 2, 5)

S = (3, 0, -2)

📝Oppgave 5.1.2

Finn vektoren $\overrightarrow{AB}$ når:

A = (1, 2, 3)

B = (4, 5, 6)

A = (0, 0, 0)

B = (1, -2, 3)

A = (2, -1, 4)

B = (-1, 3, 2)

A = (5, 2, -3)

B = (5, 2, 4)

📝Oppgave 5.1.3

Finn lengden av vektorene:

\vec{a} = [1, 2, 2]

\vec{b} = [4, 0, 3]

\vec{c} = [1, 1, 1]

\vec{d} = [6, -2, 3]

📝Oppgave 5.1.4

Finn avstanden mellom punktene:

A = (1, 0, 2)

B = (3, 4, 2)

C = (2, -1, 3)

D = (-1, 2, 7)

E = (0, 0, 0)

F = (1, 2, 2)

📝Oppgave 5.1.5

Finn enhetsvektoren i samme retning som:

\vec{a} = [4, 0, 3]

\vec{b} = [1, 2, 2]

\vec{c} = [2, -2, 1]

📝Oppgave 5.1.6

Et punkt $P$ har posisjonsvektor $\vec{OP} = [2, 3, 1]$ og et punkt $Q$ har posisjonsvektor $\vec{OQ} = [5, -1, 4]$ .

Finn koordinatene til $P$ og $Q$ .

Finn vektoren $\overrightarrow{PQ}$ .

Finn lengden $|PQ|$ .

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket $PQ$ .

📝Oppgave 5.1.7

Vis at trekanten med hjørner $A = (1, 0, 1)$ , $B = (3, 2, 1)$ og $C = (1, 2, 3)$ er likebeint.

Finn lengdene $|AB|$ , $|BC|$ og $|AC|$ .

Hva slags trekant er dette?

📝Oppgave 5.1.8

Punktet $A = (1, 2, 3)$ og punktet $B = (4, 6, 3)$ er gitt. Finn alle punkter $P$ på $z$ -aksen som har lik avstand til $A$ og $B$ .

Skriv opp koordinatene til et generelt punkt $P$ på $z$ -aksen.

Sett opp likningen $|PA| = |PB|$ .

Løs likningen og finn $P$ .

📝Oppgave 5.1.9

En kule har sentrum i $S = (2, 1, 3)$ og går gjennom punktet $P = (4, 3, 6)$ .

Finn radien $r$ til kulen.

Bestem om punktet $Q = (2, 1, 3 + \sqrt{17})$ ligger på kulen.

Finn et punkt på kulen som ligger i $xy$ -planet.

📝Oppgave 5.1.10

Skriv vektoren $\vec{v} = [6, 3, -6]$ som summen av en vektor parallell med $\vec{a} = [2, 1, -2]$ og en vektor ortogonal på $\vec{a}$ .

Finn en vektor $\vec{v}_{\parallel}$ parallell med $\vec{a}$ slik at $\vec{v}_{\parallel} = k\vec{a}$ for et tall $k$ .

Hva blir $\vec{v}_{\perp}$ ?