Introduksjon til romvektorer og koordinater.
I R1 lærte du om vektorer i planet, altså i to dimensjoner. Nå skal vi utvide dette til tre dimensjoner - rommet vi lever i.
Mange praktiske problemer krever at vi arbeider i tre dimensjoner:
- Fly og droner som beveger seg i luftrommet
- Krefter som virker på konstruksjoner i alle retninger
- Molekyler og krystallstrukturer i kjemi
- Grafikk i dataspill og animasjonsfilmer
- GPS og navigasjon
Heldigvis er overgangen fra to til tre dimensjoner ganske naturlig. De fleste regnereglene fra R1 gjelder fortsatt - vi legger bare til en ekstra koordinat.
I to dimensjoner brukte vi -aksen og -aksen. I tre dimensjoner legger vi til en -akse som star vinkelrett på de to andre.
Vi bruker et rettvinklet (eller ortogonalt) koordinatsystem der alle tre aksene star vinkelrett på hverandre. Det vanligste er et høyrehåndssystem:
Høyrehåndsregelen:
Hold høyre hånd med fingrene pekende langs positiv -akse. Krøll fingrene mot positiv -akse. Da peker tommelen i retning av positiv -akse.
Et punkt i rommet angis med tre koordinater:
- -koordinaten angir avstanden langs -aksen
- -koordinaten angir avstanden langs -aksen
- -koordinaten angir høyden over -planet
Et punkt i rommet beskrives entydig ved tre koordinater .
- -planet er planet der
- -planet er planet der
- -planet er planet der
- Origo er punktet
Beskriv plasseringen av punktene:
a)
b)
c)
d)
a) ligger på -aksen, 3 enheter fra origo i positiv -retning.
b) ligger i -planet (siden ), 2 enheter langs -aksen og 4 enheter langs -aksen.
c) ligger 1 enhet langs -aksen, 2 enheter langs -aksen, og 3 enheter over -planet.
d) ligger på -aksen, 2 enheter under -planet (negativ -verdi).
En vektor i rommet er, akkurat som i planet, en størrelse med både lengde og retning.
Vi skriver vektorer med pil over: , , , eller med fete bokstaver: , , .
En vektor fra punkt til punkt skrives .
der , og er vektorens komponenter i henholdsvis -, - og -retning.
Alternativt kan vi skrive vektoren som en lineærkombinasjon av enhetsvektorene:
der , og er enhetsvektorene langs aksene.
Posisjonsvektoren til et punkt er vektoren fra origo til :
For å finne vektoren fra punkt til punkt , bruker vi samme regel som i to dimensjoner:
Med andre ord: slutt minus start for hver koordinat.
La og .
a) Finn vektoren
b) Finn vektoren
a) Vi bruker formelen slutt minus start:
b) Vektoren går motsatt vei:
Vi ser at , akkurat som forventet.
Lengden (eller normen) til en vektor er en naturlig utvidelse av formelen fra to dimensjoner. Vi bruker Pytagoras' setning to ganger.
Utledning:
Tenk på vektoren som diagonalen i en eske med sider , og .
1. Først finner vi diagonalen i bunnen (i -planet):
2. Så bruker vi Pytagoras igjen med denne diagonalen og høyden :
Finn lengden av vektoren .
Vi bruker lengdeformelen:
Lengden av er 7.
Avstanden mellom to punkter og er det samme som lengden av vektoren .
Finn avstanden mellom punktene og .
Vi bruker avstandsformelen:
Avstanden er .
En enhetsvektor er en vektor med lengde 1. Enhetsvektoren i samme retning som finner vi ved å dele på sin egen lengde.
Merk:
Finn enhetsvektoren i samme retning som .
Først finner vi lengden:
Enhetsvektoren blir:
Kontroll: ✓
Beskriv plasseringen av følgende punkter:
Finn vektoren når:
Finn lengden av vektorene:
Finn avstanden mellom punktene:
Finn enhetsvektoren i samme retning som:
Et punkt har posisjonsvektor og et punkt har posisjonsvektor .
Finn koordinatene til og .
Finn vektoren .
Finn lengden .
Finn midtpunktet på linjestykket .
Vis at trekanten med hjørner , og er likebeint.
Finn lengdene , og .
Hva slags trekant er dette?
Punktet og punktet er gitt. Finn alle punkter på -aksen som har lik avstand til og .
Skriv opp koordinatene til et generelt punkt på -aksen.
Sett opp likningen .
Løs likningen og finn .
En kule har sentrum i og går gjennom punktet .
Finn radien til kulen.
Bestem om punktet ligger på kulen.
Finn et punkt på kulen som ligger i -planet.
Skriv vektoren som summen av en vektor parallell med og en vektor ortogonal på .
Finn en vektor parallell med slik at for et tall .
Hva blir ?