4.8 Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Vi leser av verdiene fra enhetssirkelen eller grafen:

a) $\sin(0) = 0$

b) $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ (maksimumspunkt)

c) $\sin(\pi) = 0$ (nullpunkt)

d) $\displaystyle \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ (minimumspunkt)

e) $\sin(2\pi) = 0$ (vi er tilbake der vi startet)

Merk at $\sin(2\pi) = \sin(0)$ fordi sinusfunksjonen har periode $2\pi$.

Vi beregner begge sider og sammenligner:

a) For $x = 0$:
- $\cos(0) = 1$
- $\displaystyle \sin\left(0 + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ ✓

b) For $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$:
- $\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
- $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) = 0$ ✓

c) For $x = \pi$:
- $\cos(\pi) = -1$
- $\displaystyle \sin\left(\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$ ✓

Verdiene stemmer overens, noe som bekrefter sammenhengen.

a) $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{0}$

Divisjon med null er ikke definert, så $\tan(x)$ har en vertikal asymptote ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$.

b) Beregninger:
- $\displaystyle \tan(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$

- $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$

- $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

c) Når $\displaystyle x \to \frac{\pi}{2}^-$ (fra venstre):
- $\sin(x) \to 1$
- $\cos(x) \to 0^+$ (nærmer seg 0 fra positive verdier)
- Derfor $\displaystyle \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \to +\infty$

Grafen går mot uendelig når vi nærmer oss asymptoten fra venstre.

a) $f(x) = 3\sin(2x)$
- Amplitude: $|A| = |3| = 3$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$

b) $\displaystyle g(x) = 2\cos\left(\frac{x}{3}\right)$
- Amplitude: $|A| = |2| = 2$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi$

c) $h(x) = -4\sin(\pi x)$
- Amplitude: $|A| = |-4| = 4$
- Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$

Merk: Det negative fortegnet i c) speiler grafen om $x$-aksen, men påvirker ikke amplituden.

a) $\displaystyle f(x) = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Her er $B = 1$ og $\displaystyle C = -\frac{\pi}{4}$.

Faseforskyvning: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{-\frac{\pi}{4}}{1} = \frac{\pi}{4}$

Grafen er forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ til høyre.

b) $g(x) = \cos(2x + \pi)$

Her er $B = 2$ og $C = \pi$.

Faseforskyvning: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{\pi}{2}$

Grafen er forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ til venstre.

c) $\displaystyle h(x) = 3\sin\left(4x - \frac{\pi}{2}\right)$

Her er $B = 4$ og $\displaystyle C = -\frac{\pi}{2}$.

Faseforskyvning: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{-\frac{\pi}{2}}{4} = \frac{\pi}{8}$

Grafen er forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{8}$ til høyre.

Vi identifiserer parametrene: $A = 2$, $B = 3$, $\displaystyle C = -\frac{\pi}{2}$, $D = 1$.

a) Amplitude: $|A| = |2| = 2$

b) Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \frac{2\pi}{3}$

c) Faseforskyvning: $\displaystyle -\frac{C}{B} = -\frac{-\frac{\pi}{2}}{3} = \frac{\pi}{6}$

Grafen er forskjøvet $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ til høyre.

d) Vertikalt skift: $D = 1$

Grafen er forskjøvet 1 enhet opp.

e) Maksimum og minimum:
- Maksverdi: $D + |A| = 1 + 2 = 3$
- Minverdi: $D - |A| = 1 - 2 = -1$

Steg 1: Finn amplitude og vertikalt skift

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{\text{maks} - \text{min}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Vertikalt skift: $\displaystyle D = \frac{\text{maks} + \text{min}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Steg 2: Finn $B$ fra perioden

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = 4 \Rightarrow |B| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

Vi velger $\displaystyle B = \frac{\pi}{2}$.

Steg 3: Finn faseforskyvning

Sinusfunksjonen har normalt maksimum ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2B} = \frac{\pi}{2 \cdot \frac{\pi}{2}} = 1$.

Vår graf har maksimum ved $x = 1$, som stemmer!

Dette betyr $C = 0$ (ingen ekstra faseforskyvning).

Steg 4: Bestem fortegnet til $A$

Siden grafen har et maksimum (ikke minimum) ved $x = 1$, bruker vi $A = 2$ (positiv).

Svar: $\displaystyle f(x) = 2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) + 3$

Steg 1: Amplitude og vertikalt skift

$\displaystyle |A| = \frac{10 - 2}{2} = 4$

$\displaystyle D = \frac{10 + 2}{2} = 6$

Steg 2: Finn $B$

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{|B|} = \pi \Rightarrow |B| = 2$

Steg 3: Finn faseforskyvning

For $A\sin(Bx + C) + D$ med $A > 0$, krysser grafen likevektslinjen med positiv stigning når $Bx + C = 0$, altså når $\displaystyle x = -\frac{C}{B}$.

Vi har at dette skjer ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$:

$\displaystyle -\frac{C}{B} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow -\frac{C}{2} = \frac{\pi}{6} \Rightarrow C = -\frac{\pi}{3}$

Svar: $\displaystyle f(x) = 4\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 6$

Verifisering: Maksimum oppstår når $\displaystyle 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$, dvs. $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12}$.
Da er $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{12}\right) = 4 \cdot 1 + 6 = 10$ ✓

a) Sett opp funksjonen:

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{10 - 2}{2} = 4$ meter

Likevektslinje: $\displaystyle D = \frac{10 + 2}{2} = 6$ meter

Periode: $T = 12$ timer, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Høyvann ved $t = 6$ (kl. 06:00). Cosinus har maksimum ved 0, så vi bruker:

$$h(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) + 6$$

eller:

$$h(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}t - \pi\right) + 6$$

b) Vanndybden kl. 09:00 ($t = 9$):

$\displaystyle h(9) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(9 - 6)\right) + 6 = 4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 6 = 4 \cdot 0 + 6 = 6$ meter

c) Når er $h(t) = 8$?

$\displaystyle 4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) + 6 = 8$

$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}(t - 6)\right) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{\pi}{6}(t - 6) = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$t - 6 = \pm 2 + 12n$

$t = 4$ eller $t = 8$ (for $n = 0$)

Første gang etter midnatt: $t = 4$, altså kl. 04:00.

a) Sett opp modellen:

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{19 - (-5)}{2} = 12$

Likevekt: $\displaystyle D = \frac{19 + (-5)}{2} = 7$

Periode: 12 måneder, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

Minimum i januar ($t = 0$) og maksimum i juli ($t = 6$).

Med cosinus og negativt $A$ (starter i minimum):

$$T(t) = -12\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7$$

b) April ($t = 3$):

$\displaystyle T(3) = -12\cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot 3\right) + 7 = -12\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 7 = -12 \cdot 0 + 7 = 7°C$

c) Når er $T(t) > 15°C$?

$\displaystyle -12\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) + 7 > 15$

$\displaystyle -12\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 8$

$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) < -\frac{2}{3}$

$\displaystyle \cos^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right) \approx 2{,}30$ radianer

$\displaystyle \frac{\pi}{6}t > 2{,}30$ eller $\displaystyle \frac{\pi}{6}t < -2{,}30 + 2\pi$

$t > 4{,}4$ eller $t < 7{,}6$

Altså er temperaturen over $15°C$ fra midten av mai til midten av august (ca. $t = 4{,}4$ til $t = 7{,}6$).

a) Funksjonsuttrykket:

Med $f = 440$ Hz får vi:

$$p(t) = A\sin(2\pi \cdot 440 \cdot t) = A\sin(880\pi t)$$

(der $A$ er amplituden som avhenger av lydstyrken)

b) Perioden:

$\displaystyle T = \frac{1}{f} = \frac{1}{440}$ sekunder $\approx 2{,}27$ millisekunder

Alternativt: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{B} = \frac{2\pi}{880\pi} = \frac{1}{440}$ s

c) A5 med $f = 880$ Hz:

Ny periode: $\displaystyle T = \frac{1}{880}$ s $\approx 1{,}14$ ms

Perioden halveres når frekvensen dobles. Dette stemmer med formelen $\displaystyle T = \frac{1}{f}$.

a) Amplitude og periode:

Amplitude: $|A| = 15$ cm

Periode: $\displaystyle T = \frac{2\pi}{2} = \pi$ sekunder $\approx 3{,}14$ s

b) Maksimalt utslag:

Maksimalt utslag er amplituden: $15$ cm (oppnås når $\cos(2t) = 1$)

c) Farten:

$\displaystyle v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}[15\cos(2t)] = 15 \cdot (-\sin(2t)) \cdot 2 = -30\sin(2t)$

Den maksimale farten oppnås når $|\sin(2t)| = 1$:

$$|v|_{\text{maks}} = 30 \text{ cm/s}$$

Merk: Maksimal fart oppnås når $x = 0$ (i likevektsposisjonen), og farten er null når utslaget er maksimalt.

a) Sett opp funksjonen:

- Laveste punkt: 2 m (minimumsverdi)
- Høyeste punkt: $2 + 2 \cdot 20 = 42$ m (maksimumsverdi)
- Amplitude: $|A| = 20$ m
- Likevektshøyde: $\displaystyle D = \frac{42 + 2}{2} = 22$ m
- Periode: $T = 3$ min, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{3}$

Siden passasjeren starter i laveste punkt, bruker vi cosinus med negativt fortegn:

$$h(t) = -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) + 22$$

b) Høyde etter 1 minutt:

$\displaystyle h(1) = -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + 22 = -20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 22 = 10 + 22 = 32$ m

c) Når er $h(t) = 30$ m?

$\displaystyle -20\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) + 22 = 30$

$\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right) = -\frac{8}{20} = -0{,}4$

$\displaystyle \frac{2\pi}{3}t = \cos^{-1}(-0{,}4) \approx 1{,}982$

$\displaystyle t = \frac{3 \cdot 1{,}982}{2\pi} \approx 0{,}95$ minutter $\approx 57$ sekunder

a) Spenningen:

$U(t) = 230\sqrt{2} \sin(2\pi \cdot 50 \cdot t) = 230\sqrt{2} \sin(100\pi t)$

b) Perioden:

$\displaystyle T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0{,}02$ sekunder = 20 millisekunder

c) Antall nullpunkter per sekund:

I løpet av én periode ($T = 0{,}02$ s) passerer sinusfunksjonen gjennom null to ganger (én gang på vei opp, én gang på vei ned).

På ett sekund har vi $\displaystyle \frac{1}{0{,}02} = 50$ perioder.

Antall nullpunkter per sekund: $50 \cdot 2 = 100$

a) Sett opp modellen:

Amplitude: $\displaystyle |A| = \frac{19 - 6}{2} = 6{,}5$ timer

Likevekt: $\displaystyle D = \frac{19 + 6}{2} = 12{,}5$ timer

Periode: 365 dager, så $\displaystyle B = \frac{2\pi}{365}$

Maksimum ved sommersolverv, ca. dag 172 (21. juni).

$$L(d) = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12{,}5$$

b) 1. mai (dag 121):

$\displaystyle L(121) = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(121 - 172)\right) + 12{,}5$

$\displaystyle = 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi \cdot (-51)}{365}\right) + 12{,}5$

$= 6{,}5\cos(-0{,}878) + 12{,}5$

$= 6{,}5 \cdot 0{,}639 + 12{,}5 \approx 16{,}7$ timer

c) Når er $L(d) > 16$?

$\displaystyle 6{,}5\cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) + 12{,}5 > 16$

$\displaystyle \cos\left(\frac{2\pi}{365}(d - 172)\right) > \frac{3{,}5}{6{,}5} \approx 0{,}538$

$\displaystyle \frac{2\pi}{365}(d - 172) < \cos^{-1}(0{,}538) \approx 1{,}00$

$\displaystyle |d - 172| < \frac{365 \cdot 1{,}00}{2\pi} \approx 58$

Altså $114 < d < 230$, som tilsvarer ca. 24. april til 18. august.