4.7 Trigonometriske funksjoner og grafer | Matematikk R2

Grafer til sin, cos og tan og transformasjoner.

55 min

16 oppgaver

GrafAmplitudePeriodeFaseforskyvning

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Motivasjon

Uttrykk på formen $a\sin x + b\cos x$ dukker opp i mange sammenhenger - fra fysikk og teknikk til rene matematikkoppgaver. Slike uttrykk kan virke kompliserte, men de kan alltid skrives om til en ren sinusfunksjon på formen $R\sin(x + \alpha)$ .

Denne omskrivingen gjør det enkelt å:
- Finne maksimums- og minimumsverdier
- Løse likninger
- Tegne grafer
- Analysere periodiske fenomener

Eksempel på problemstilling:

Hvordan finner vi maksimumsverdien til $f(x) = 3\sin x + 4\cos x$ ?

Hvis vi kan skrive $f(x) = R\sin(x + \alpha)$ for passende $R$ og $\alpha$ , vet vi umiddelbart at maksimumsverdien er $R$ !

📜Omskriving til ren sinusform

For alle reelle tall

a

b

(ikke begge lik null) gjelder:

$a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$

der

$R = \sqrt{a^2 + b^2}$

og $\alpha$ er vinkelen bestemt ved:

$\cos\alpha = \frac{a}{R} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{R} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Alternativt: $\displaystyle \tan\alpha = \frac{b}{a}$ (for $a \neq 0$ ), med riktig kvadrant bestemt av fortegnene til $a$ og $b$ .

Utledning av formelen

Vi bruker addisjonsformelen for sinus:

$\sin(x + \alpha) = \sin x \cos\alpha + \cos x \sin\alpha$

Hvis vi ganger med $R$ :

$R\sin(x + \alpha) = R\cos\alpha \cdot \sin x + R\sin\alpha \cdot \cos x$

Sammenligner vi med $a\sin x + b\cos x$ , ser vi at:
- $a = R\cos\alpha$
- $b = R\sin\alpha$

Finne R:

Fra Pytagoras:
$a^2 + b^2 = R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = R^2$

Dermed:
$R = \sqrt{a^2 + b^2}$

Finne α:

Fra relasjonene over:
$\cos\alpha = \frac{a}{R}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{R}$

Dette bestemmer $\alpha$ entydig i intervallet $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 1: Grunnleggende omskriving

Skriv $3\sin x + 4\cos x$ på formen $R\sin(x + \alpha)$ .

Løsning:

Steg 1: Finn R
$R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Steg 2: Finn α
$\cos\alpha = \frac{a}{R} = \frac{3}{5}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{R} = \frac{4}{5}$

Siden både $\cos\alpha$ og $\sin\alpha$ er positive, ligger $\alpha$ i første kvadrant.

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}927 \text{ rad} \approx 53{,}1°$

Svar:
$3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + \alpha)$

der $\displaystyle \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}927$ rad.

Kontroll: Maksimumsverdien til $3\sin x + 4\cos x$ er 5, og minimumsverdien er $-5$ .

📝Oppgave 4.7.1

Skriv $\sin x + \cos x$ på formen $R\sin(x + \alpha)$ . Finn eksakt verdi for $R$ og $\alpha$ .

✏️Eksempel 2: Negativ koeffisient

Skriv $\sin x - \sqrt{3}\cos x$ på formen $R\sin(x + \alpha)$ .

Løsning:

Her er $a = 1$ og $b = -\sqrt{3}$ .

Steg 1: Finn R
$R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Steg 2: Finn α
$\cos\alpha = \frac{1}{2}, \quad \sin\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

Siden $\cos\alpha > 0$ og $\sin\alpha < 0$ , ligger $\alpha$ i fjerde kvadrant.

$\alpha = -\frac{\pi}{3}$

Svar:
$\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

Kontroll:
$\displaystyle 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 2\left[\sin x \cos\frac{\pi}{3} - \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right] = 2\left[\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right] = \sin x - \sqrt{3}\cos x$ ✓

📝Oppgave 4.7.2

Skriv $\sqrt{3}\sin x - \cos x$ på formen $R\sin(x + \alpha)$ . Finn eksakt verdi for $R$ og $\alpha$ .

📜Alternativ form med cosinus

Uttrykket

a\sin x + b\cos x

kan også skrives på formen:

$a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \beta)$

der

$R = \sqrt{a^2 + b^2}$

og $\beta$ er bestemt ved:

$\sin\beta = \frac{a}{R}, \quad \cos\beta = \frac{b}{R}$

Merk: Denne formen er ofte praktisk når vi ønsker å uttrykke resultatet med cosinus i stedet for sinus.

Valg av form:

- Bruk $R\sin(x + \alpha)$ når oppgaven spør etter sinusform
- Bruk $R\cos(x - \beta)$ når oppgaven spør etter cosinusform
- Begge formene gir samme $R = \sqrt{a^2 + b^2}$
- Sammenhengen er: $\displaystyle \sin(x + \alpha) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x - \alpha\right) = \cos\left(x - \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right)$

✏️Eksempel 3: Finne maksimums- og minimumsverdier

Finn største og minste verdi av $f(x) = 5\sin x + 12\cos x$ , og bestem for hvilke $x$ -verdier disse oppnås.

Løsning:

Steg 1: Omskriv til ren sinusform

$R = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

$\displaystyle \cos\alpha = \frac{5}{13}$ , $\displaystyle \sin\alpha = \frac{12}{13}$

$\displaystyle \alpha = \arctan\left(\frac{12}{5}\right) \approx 1{,}176$ rad

Altså: $f(x) = 13\sin(x + \alpha)$

Steg 2: Finn ekstremverdiene

Siden $-1 \leq \sin(x + \alpha) \leq 1$ , har vi:
- Maksimum: $f_{\text{maks}} = 13 \cdot 1 = 13$
- Minimum: $f_{\text{min}} = 13 \cdot (-1) = -13$

Steg 3: Finn x-verdiene

Maksimum når $\sin(x + \alpha) = 1$ , dvs. $\displaystyle x + \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi k \approx 0{,}395 + 2\pi k$

Minimum når $\sin(x + \alpha) = -1$ , dvs. $\displaystyle x + \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{2} - \alpha + 2\pi k \approx -2{,}747 + 2\pi k$

📝Oppgave 4.7.3

Finn største og minste verdi av $g(x) = 8\sin x + 6\cos x$ .

✏️Eksempel 4: Løse likning ved omskriving

Løs likningen $\sin x + \cos x = 1$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Løsning:

Steg 1: Omskriv venstre side

Fra Eksempel 1 vet vi (eller finner):
$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Steg 2: Løs den nye likningen

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Steg 3: Finn løsningene

$\displaystyle \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ gir $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$ eller $\displaystyle \theta = \frac{3\pi}{4}$ (i $[0, 2\pi)$ )

Med $\displaystyle \theta = x + \frac{\pi}{4}$ :

Løsning 1: $\displaystyle x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 0$

Løsning 2: $\displaystyle x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$

Svar: $x = 0$ eller $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$

Kontroll:
- $\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$ ✓
- $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$ ✓

📝Oppgave 4.7.4

Løs likningen $\sin x - \cos x = 1$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 5: Generelt argument

Skriv $2\sin(3x) + 2\cos(3x)$ på formen $R\sin(3x + \alpha)$ .

Løsning:

Tenk på $3x$ som én variabel. Vi har $a = 2$ og $b = 2$ .

Finn R:
$R = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Finn α:
$\cos\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$

Svar:
$2\sin(3x) + 2\cos(3x) = 2\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$

Merk: Perioden til denne funksjonen er $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ (fra $3x$ ), og amplituden er $2\sqrt{2}$ .

📝Oppgave 4.7.5

Skriv $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x)$ på formen $R\sin(2x + \alpha)$ .

Oppsummering: Fremgangsmåte

For å skrive $a\sin x + b\cos x$ på formen $R\sin(x + \alpha)$ :

Steg 1: Beregn $R = \sqrt{a^2 + b^2}$

Steg 2: Finn $\alpha$ ved å løse:
$\cos\alpha = \frac{a}{R}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{R}$

Steg 3: Bestem riktig kvadrant for $\alpha$ ut fra fortegnene til $a$ og $b$ :

$a$	$b$	Kvadrant	$\alpha$
$+$	$+$	I	$\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
$-$	$+$	II	$\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$
$-$	$-$	III	$\displaystyle \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$
$+$	$-$	IV	$\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (eller $\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ )

Steg 4: Skriv svaret:

a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)

📝Oppgave 4.7.6

Skriv hvert uttrykk på formen $R\sin(x + \alpha)$ :

a) $4\sin x + 3\cos x$
b) $-\sin x + \cos x$
c) $-\sin x - \cos x$

4\sin x + 3\cos x

-\sin x + \cos x

-\sin x - \cos x

Anvendelse: Superposisjon av bølger

I fysikk oppstår uttrykk på formen $a\sin x + b\cos x$ når vi legger sammen to bølger med samme frekvens men forskjellig fase.

Eksempel: To lydbølger med samme frekvens:
- Bølge 1: $y_1 = A_1\sin(\omega t)$
- Bølge 2: $\displaystyle y_2 = A_2\cos(\omega t) = A_2\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$

Den resulterende bølgen er:
$y = y_1 + y_2 = A_1\sin(\omega t) + A_2\cos(\omega t) = R\sin(\omega t + \alpha)$

der $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ er den resulterende amplituden.

Dette kalles superposisjon og er grunnleggende i studiet av bølger, lyd, og elektromagnetisme.

✏️Eksempel 6: Superposisjon av bølger

To lydbølger med samme frekvens beskrives ved:

y_1 = 3\sin(440t)

y_2 = 4\cos(440t)

der $t$ er tid i sekunder. Finn et uttrykk for den resulterende bølgen $y = y_1 + y_2$ .

Løsning:

$y = 3\sin(440t) + 4\cos(440t)$

Vi bruker omskrivingsformelen med $a = 3$ , $b = 4$ :

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

$\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0{,}927 \text{ rad}$

Svar:
$y = 5\sin(440t + 0{,}927)$

Tolkning:
- Den resulterende bølgen har amplitude 5 (større enn hver enkelt bølge!)
- Frekvensen er uendret ( $\omega = 440$ , som gir $\displaystyle f = \frac{440}{2\pi} \approx 70$ Hz)
- Bølgen er faseforskjøvet med ca. 0,927 radianer

📝Oppgave 4.7.7

En elektrisk krets har spenning $V(t) = 12\sin(100\pi t) + 5\cos(100\pi t)$ volt.

a) Skriv $V(t)$ på formen $R\sin(100\pi t + \alpha)$ .
b) Hva er maksimalspenningen?
c) Hva er frekvensen til vekselspenningen?

Omskriv til ren sinusform

Finn maksimalspenningen

Finn frekvensen

📜Spesialtilfelle: Like koeffisienter

Når

a = b = A

(like koeffisienter), får vi et viktig spesialtilfelle:

$A\sin x + A\cos x = A\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Bevis:
- $R = \sqrt{A^2 + A^2} = A\sqrt{2}$
- $\displaystyle \cos\alpha = \sin\alpha = \frac{A}{A\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4}$

Dette er nyttig å huske som en "snarvei" for oppgaver der koeffisientene er like.

📝Oppgave 4.7.8

(Utfordring) Vis at

$A\sin(Bx) + A\cos(Bx) = A\sqrt{2}\sin\left(Bx + \frac{\pi}{4}\right)$

Hint: Bruk addisjonsformelen for sinus.

📝Oppgave 4.7.9

Løs ulikheten $\sin x + \cos x > 1$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 4.7.10

En funksjon er gitt ved $f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ .

a) Skriv $f(x)$ på formen $R\sin(x + \alpha)$ .
b) Tegn grafen til $f$ for $x \in [0, 2\pi]$ .
c) Løs likningen $f(x) = \sqrt{3}$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Omskriv til ren sinusform

Tegn grafen

Løs $f(x) = \sqrt{3}$

Oppsummering

Hovedformel:
$a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \alpha)$

der $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ og $\alpha$ finnes fra $\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{R}$ , $\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{R}$ .

Viktige anvendelser:
1. Ekstremverdier: Maks = $R$ , min = $-R$
2. Løse likninger: Omskriv, løs enkel sinuslikning
3. Bølger/fysikk: Superposisjon av bølger
4. Grafer: Én sinuskurve er enklere å analysere enn en sum

Spesialtilfelle:
$A\sin x + A\cos x = A\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Løsning:

Steg 1: Omskriv venstre side

Fra Eksempel 1 vet vi (eller finner):
$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

Steg 2: Løs den nye likningen

$\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Steg 3: Finn løsningene

$\displaystyle \sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ gir $\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$ eller $\displaystyle \theta = \frac{3\pi}{4}$ (i $[0, 2\pi)$ )

Med $\displaystyle \theta = x + \frac{\pi}{4}$ :

Løsning 1: $\displaystyle x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 0$

Løsning 2: $\displaystyle x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}$

Svar: $x = 0$ eller $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$

Kontroll:
- $\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$ ✓
- $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$ ✓

a

b

Kvadrant

\alpha

+

+

\displaystyle 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}

-

+

\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi

-

-

III

\displaystyle \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}

+

-

\displaystyle \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi

(eller

\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0

)