4.6 Trigonometriske formler | Matematikk R2

Addisjonsformler og andre identiteter.

60 min

18 oppgaver

AddisjonsformlerDobbeltvinkelformlerIdentiteter

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Trigonometriske formler

I dette kapittelet skal vi utforske de viktigste trigonometriske formlene. Disse formlene lar oss uttrykke trigonometriske funksjoner av summer, differanser og multipler av vinkler. De er essensielle verktøy for å forenkle uttrykk, løse likninger og bevise identiteter.

Vi starter med addisjonsformlene, som er fundamentet for alle de andre formlene vi skal se på. Fra addisjonsformlene utleder vi dobbeltvinkelformler, halvvinkelformler, produktformler og sumformler.

Addisjonsformlene

Addisjonsformlene uttrykker $\sin$ og $\cos$ av en sum eller differanse av to vinkler. Disse formlene er grunnleggende i trigonometrien og har mange anvendelser.

📜Addisjonsformlene

For alle vinkler

u

v

gjelder:

Sinus:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

Cosinus:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Bevis for addisjonsformlene for cosinus

Vi beviser først

\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v

ved hjelp av enhetssirkelen.

Geometrisk bevis:

Betrakt enhetssirkelen med sentrum i origo. La punktene være:
- $P_1 = (\cos u, \sin u)$ svarende til vinkelen $u$
- $P_2 = (\cos v, \sin v)$ svarende til vinkelen $v$
- $P_3 = (\cos(u-v), \sin(u-v))$ svarende til vinkelen $u-v$
- $P_4 = (1, 0)$ svarende til vinkelen $0$

Avstanden mellom $P_1$ og $P_2$ er lik avstanden mellom $P_3$ og $P_4$ (begge buer har lengde $|u-v|$ ).

Avstand mellom $P_1$ og $P_2$ :
$d_1^2 = (\cos u - \cos v)^2 + (\sin u - \sin v)^2$
$= \cos^2 u - 2\cos u \cos v + \cos^2 v + \sin^2 u - 2\sin u \sin v + \sin^2 v$
$= (\cos^2 u + \sin^2 u) + (\cos^2 v + \sin^2 v) - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v)$
$= 2 - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v)$

Avstand mellom $P_3$ og $P_4$ :
$d_2^2 = (\cos(u-v) - 1)^2 + (\sin(u-v))^2$
$= \cos^2(u-v) - 2\cos(u-v) + 1 + \sin^2(u-v)$
$= 1 - 2\cos(u-v) + 1 = 2 - 2\cos(u-v)$

Siden $d_1 = d_2$ :
$2 - 2(\cos u \cos v + \sin u \sin v) = 2 - 2\cos(u-v)$
$\cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Utledning av de andre formlene:

For $\cos(u + v)$ : Sett inn $-v$ for $v$ :
$\cos(u + v) = \cos(u - (-v)) = \cos u \cos(-v) + \sin u \sin(-v)$
$= \cos u \cos v - \sin u \sin v$

For $\sin(u + v)$ : Bruk at $\displaystyle \sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ :
$\sin(u + v) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (u + v)\right) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2} - u\right) - v\right)$
$= \cos\left(\frac{\pi}{2} - u\right)\cos v + \sin\left(\frac{\pi}{2} - u\right)\sin v$
$= \sin u \cos v + \cos u \sin v$

For $\sin(u - v)$ : Sett inn $-v$ for $v$ i formelen for $\sin(u+v)$ :
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

∎

✏️Eksempel 1: Eksakt verdi med addisjonsformel

Finn den eksakte verdien av $\sin 75°$ uten kalkulator.

Løsning:

Vi skriver $75° = 45° + 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$
$= \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

✏️Eksempel 2: Eksakt verdi av cosinus

Finn den eksakte verdien av $\cos 15°$ .

Løsning:

Vi skriver $15° = 45° - 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\cos 15° = \cos(45° - 30°)$
$= \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Merk: $\cos 15° = \sin 75°$ , som stemmer med at $\sin(90° - \theta) = \cos \theta$ .

📝Oppgave 1

Finn de eksakte verdiene ved hjelp av addisjonsformlene.

\sin 105°

\cos 75°

\sin 15°

✏️Eksempel 3: Addisjonsformel med ukjente vinkler

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ der $u$ er i første kvadrant, og $\displaystyle \cos v = \frac{12}{13}$ der $v$ er i første kvadrant. Finn $\sin(u + v)$ .

Løsning:

Først finner vi de manglende verdiene ved hjelp av Pytagoras' identitet $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ .

For vinkel $u$ :
$\cos^2 u = 1 - \sin^2 u = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\cos u = \frac{4}{5} \quad \text{(positiv siden } u \text{ er i 1. kvadrant)}$

For vinkel $v$ :
$\sin^2 v = 1 - \cos^2 v = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$
$\sin v = \frac{5}{13} \quad \text{(positiv siden } v \text{ er i 1. kvadrant)}$

Addisjonsformelen:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$= \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13}$
$= \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$

📝Oppgave 2

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{5}{13}$ og $\displaystyle \cos v = \frac{3}{5}$ , der begge vinklene er i første kvadrant.

Finn $\cos u$ og $\sin v$

Finn $\sin(u + v)$

Finn $\cos(u - v)$

Addisjonsformel for tangens

Vi kan utlede en addisjonsformel for tangens fra formlene for sinus og cosinus.

📜Addisjonsformlene for tangens

For vinkler

u

v

der tangensverdiene er definert:

$\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

$\tan(u - v) = \frac{\tan u - \tan v}{1 + \tan u \tan v}$

Utledning av tangensformelen

Vi bruker at

\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

$\tan(u + v) = \frac{\sin(u + v)}{\cos(u + v)}$
$= \frac{\sin u \cos v + \cos u \sin v}{\cos u \cos v - \sin u \sin v}$

Vi deler teller og nevner med $\cos u \cos v$ :

$= \frac{\frac{\sin u \cos v}{\cos u \cos v} + \frac{\cos u \sin v}{\cos u \cos v}}{\frac{\cos u \cos v}{\cos u \cos v} - \frac{\sin u \sin v}{\cos u \cos v}}$

$= \frac{\frac{\sin u}{\cos u} + \frac{\sin v}{\cos v}}{1 - \frac{\sin u}{\cos u} \cdot \frac{\sin v}{\cos v}}$

$= \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

∎

✏️Eksempel 4: Tangensaddisjon

Finn $\tan 75°$ uten kalkulator.

Løsning:

Vi bruker $75° = 45° + 30°$ :

$\tan 75° = \tan(45° + 30°) = \frac{\tan 45° + \tan 30°}{1 - \tan 45° \tan 30°}$

Vi vet at $\tan 45° = 1$ og $\displaystyle \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\tan 75° = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Vi rasjonaliserer nevneren:
$= \frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}$

Dobbeltvinkelformlene

Dobbeltvinkelformlene er spesialtilfeller av addisjonsformlene der $v = u$ . De uttrykker trigonometriske funksjoner av $2u$ ved hjelp av funksjoner av $u$ .

📜Dobbeltvinkelformlene

For alle vinkler

u

gjelder:

Sinus:
$\sin 2u = 2 \sin u \cos u$

Cosinus: (tre ekvivalente former)
$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u$
$\cos 2u = 2\cos^2 u - 1$
$\cos 2u = 1 - 2\sin^2 u$

Tangens:
$\tan 2u = \frac{2 \tan u}{1 - \tan^2 u}$

Utledning av dobbeltvinkelformlene

Sinus:
Fra

\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v

, sett

v = u

\sin 2u = \sin(u + u) = \sin u \cos u + \cos u \sin u = 2 \sin u \cos u

Cosinus:
Fra $\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$ , sett $v = u$ :
$\cos 2u = \cos u \cos u - \sin u \sin u = \cos^2 u - \sin^2 u$

De andre formene fås ved å bruke $\sin^2 u + \cos^2 u = 1$ :
$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = \cos^2 u - (1 - \cos^2 u) = 2\cos^2 u - 1$
$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = (1 - \sin^2 u) - \sin^2 u = 1 - 2\sin^2 u$

Tangens:
Fra tangensaddisjon med $v = u$ :
$\tan 2u = \frac{\tan u + \tan u}{1 - \tan u \cdot \tan u} = \frac{2\tan u}{1 - \tan^2 u}$

∎

✏️Eksempel 5: Bruke dobbeltvinkelformler

Gitt at $\displaystyle \cos u = \frac{3}{5}$ der $u$ er i første kvadrant. Finn $\sin 2u$ , $\cos 2u$ og $\tan 2u$ .

Løsning:

Først finner vi $\sin u$ :
$\sin^2 u = 1 - \cos^2 u = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\sin u = \frac{4}{5} \quad \text{(positiv i 1. kvadrant)}$

$\sin 2u$ :
$\sin 2u = 2 \sin u \cos u = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2u$ :
$\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

$\tan 2u$ :
$\tan 2u = \frac{\sin 2u}{\cos 2u} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$

Alternativ utregning av $\tan 2u$ :
$\tan u = \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$
$\tan 2u = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{24}{7}$

📝Oppgave 3

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{5}{13}$ der $u$ er i første kvadrant.

Finn $\cos u$

Finn $\sin 2u$

Finn $\cos 2u$

Finn $\tan 2u$

✏️Eksempel 6: Forenkle med dobbeltvinkelformel

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}$ .

Løsning:

Vi bruker dobbeltvinkelformlene:
- $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
- $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$

$\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)}$
$= \frac{2 \sin x \cos x}{2\cos^2 x}$
$= \frac{\sin x}{\cos x}$
$= \tan x$

📝Oppgave 4

Forenkle uttrykkene.

\displaystyle \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x}

\sin x \cos x

\cos^2 x - \sin^2 x

Halvvinkelformlene

Halvvinkelformlene uttrykker trigonometriske funksjoner av $\displaystyle \frac{u}{2}$ ved hjelp av funksjoner av $u$ . De utledes fra dobbeltvinkelformlene ved å løse for $\displaystyle \sin^2 \frac{u}{2}$ og $\displaystyle \cos^2 \frac{u}{2}$ .

📜Halvvinkelformlene

For alle vinkler

u

gjelder:

$\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$

$\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$

$\tan \frac{u}{2} = \frac{\sin u}{1 + \cos u} = \frac{1 - \cos u}{\sin u}$

Eller med kvadratrot:
$\sin \frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos u}{2}}$
$\cos \frac{u}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos u}{2}}$

Fortegnet bestemmes av hvilken kvadrant $\displaystyle \frac{u}{2}$ ligger i.

Utledning av halvvinkelformlene

Vi starter med dobbeltvinkelformelen

\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta

La $2\theta = u$ , slik at $\displaystyle \theta = \frac{u}{2}$ :
$\cos u = 1 - 2\sin^2 \frac{u}{2}$
$2\sin^2 \frac{u}{2} = 1 - \cos u$
$\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$

Tilsvarende fra $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ :
$\cos u = 2\cos^2 \frac{u}{2} - 1$
$2\cos^2 \frac{u}{2} = 1 + \cos u$
$\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$

For tangensformelen:
$\tan \frac{u}{2} = \frac{\sin \frac{u}{2}}{\cos \frac{u}{2}} = \frac{\sin \frac{u}{2}}{\cos \frac{u}{2}} \cdot \frac{2\cos \frac{u}{2}}{2\cos \frac{u}{2}}$
$= \frac{2\sin \frac{u}{2} \cos \frac{u}{2}}{2\cos^2 \frac{u}{2}} = \frac{\sin u}{1 + \cos u}$

∎

✏️Eksempel 7: Halvvinkelformel

Finn den eksakte verdien av $\cos 22{,}5°$ .

Løsning:

Vi bruker halvvinkelformelen med $u = 45°$ , slik at $\displaystyle \frac{u}{2} = 22{,}5°$ :

$\cos^2 22{,}5° = \frac{1 + \cos 45°}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$

$= \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Siden $22{,}5°$ er i første kvadrant, er $\cos 22{,}5° > 0$ :

$\cos 22{,}5° = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

✏️Eksempel 8: Halvvinkel med gitt verdi

Gitt at $\displaystyle \cos u = \frac{4}{5}$ der $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$ . Finn $\displaystyle \sin \frac{u}{2}$ og $\displaystyle \cos \frac{u}{2}$ .

Løsning:

Siden $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$ , har vi $\displaystyle 0 < \frac{u}{2} < \frac{\pi}{4}$ , som betyr at $\displaystyle \frac{u}{2}$ er i første kvadrant. Dermed er både $\displaystyle \sin \frac{u}{2}$ og $\displaystyle \cos \frac{u}{2}$ positive.

$\displaystyle \sin \frac{u}{2}$ :
$\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$
$\sin \frac{u}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

$\displaystyle \cos \frac{u}{2}$ :
$\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$
$\cos \frac{u}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

📝Oppgave 5

Bruk halvvinkelformlene.

Finn $\sin 15°$ ved å bruke halvvinkelformelen med $u = 30°$

Gitt $\displaystyle \cos u = \frac{7}{25}$ der $\displaystyle 0 < u < \frac{\pi}{2}$ , finn $\displaystyle \cos \frac{u}{2}$

Gitt $\displaystyle \sin u = \frac{24}{25}$ og $\displaystyle \cos u = \frac{7}{25}$ , finn $\displaystyle \tan \frac{u}{2}$

Produktformlene

Produktformlene lar oss skrive om produkter av trigonometriske funksjoner til summer. Dette er nyttig for integrasjon og forenkling av uttrykk.

📜Produktformlene

For alle vinkler

u

v

gjelder:

$\sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$

$\cos u \cos v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) + \cos(u + v)]$

$\sin u \sin v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) - \cos(u + v)]$

Utledning av produktformlene

Vi starter med addisjonsformlene:

\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v

\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v

Adderer vi disse to likningene:
$\sin(u + v) + \sin(u - v) = 2 \sin u \cos v$
$\sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$

For cosinus-produktet bruker vi:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Adderer vi disse:
$\cos(u + v) + \cos(u - v) = 2 \cos u \cos v$
$\cos u \cos v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) + \cos(u + v)]$

Subtraherer vi i stedet:
$\cos(u - v) - \cos(u + v) = 2 \sin u \sin v$
$\sin u \sin v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) - \cos(u + v)]$

∎

✏️Eksempel 9: Produktformel

Skriv om $\sin 5x \cos 3x$ som en sum.

Løsning:

Vi bruker produktformelen $\displaystyle \sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$ med $u = 5x$ og $v = 3x$ :

$\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}[\sin(5x + 3x) + \sin(5x - 3x)]$
$= \frac{1}{2}[\sin 8x + \sin 2x]$
$= \frac{1}{2}\sin 8x + \frac{1}{2}\sin 2x$

✏️Eksempel 10: Produkt av cosinus

Skriv om $\cos 4x \cos 2x$ som en sum.

Løsning:

Vi bruker produktformelen $\displaystyle \cos u \cos v = \frac{1}{2}[\cos(u - v) + \cos(u + v)]$ med $u = 4x$ og $v = 2x$ :

$\cos 4x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(4x - 2x) + \cos(4x + 2x)]$
$= \frac{1}{2}[\cos 2x + \cos 6x]$
$= \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\cos 6x$

📝Oppgave 6

Skriv om produktene som summer.

\sin 3x \cos x

\cos 5x \cos 2x

\sin 4x \sin 2x

Sumformlene (sum-til-produkt)

Sumformlene er det motsatte av produktformlene. De lar oss skrive om summer og differanser av trigonometriske funksjoner til produkter.

📜Sumformlene (sum-til-produkt)

For alle vinkler

A

B

gjelder:

$\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2}$

$\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}$

$\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2}$

$\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}$

Utledning av sumformlene

Vi utleder sumformlene fra produktformlene ved substitusjon.

La $u + v = A$ og $u - v = B$ . Da er:
$u = \frac{A + B}{2}, \quad v = \frac{A - B}{2}$

Fra produktformelen $\displaystyle \sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u + v) + \sin(u - v)]$ :
$2\sin u \cos v = \sin(u + v) + \sin(u - v)$
$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2}$

For differansen bruker vi $\sin(u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$ og $\sin(u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$ :
$\sin(u + v) - \sin(u - v) = 2\cos u \sin v$
$\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

Tilsvarende utledes de to cosinusformlene fra produktformlene for cosinus.

∎

✏️Eksempel 11: Sumformel

Skriv om $\sin 5x + \sin 3x$ som et produkt.

Løsning:

Vi bruker sumformelen $\displaystyle \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A + B}{2} \cos\frac{A - B}{2}$ med $A = 5x$ og $B = 3x$ :

$\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin\frac{5x + 3x}{2} \cos\frac{5x - 3x}{2}$
$= 2 \sin 4x \cos x$

✏️Eksempel 12: Differanse av cosinus

Skriv om $\cos 2x - \cos 6x$ som et produkt.

Løsning:

Vi bruker sumformelen $\displaystyle \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A + B}{2} \sin\frac{A - B}{2}$ med $A = 2x$ og $B = 6x$ :

$\cos 2x - \cos 6x = -2 \sin\frac{2x + 6x}{2} \sin\frac{2x - 6x}{2}$
$= -2 \sin 4x \sin(-2x)$
$= -2 \sin 4x \cdot (-\sin 2x)$
$= 2 \sin 4x \sin 2x$

📝Oppgave 7

Skriv om summene som produkter.

\sin 7x + \sin x

\cos 5x + \cos 3x

\sin 6x - \sin 2x

\cos x - \cos 5x

Anvendelser og forenkling

De trigonometriske formlene har mange anvendelser. Her ser vi på hvordan de brukes til å forenkle uttrykk og bevise identiteter.

✏️Eksempel 13: Bevis av identitet

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \cot x$ .

Løsning:

Vi bruker dobbeltvinkelformlene $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ og $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ :

$\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)}$
$= \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x}$
$= \frac{\cos x}{\sin x}$
$= \cot x$

Dermed er identiteten bevist.

✏️Eksempel 14: Forenkle sammensatt uttrykk

Forenkle $\cos^4 x - \sin^4 x$ .

Løsning:

Vi faktoriserer ved hjelp av konjugatsetningen:
$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x)^2 - (\sin^2 x)^2$
$= (\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x - \sin^2 x)$

Vi bruker Pytagoras-identiteten $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ og dobbeltvinkelformelen $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ :

$= 1 \cdot \cos 2x = \cos 2x$

📝Oppgave 8

Vis at identitetene stemmer.

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x

\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x

✏️Eksempel 15: Løse likning med dobbeltvinkel

Løs likningen $\sin 2x = \cos x$ for $0 \leq x < 2\pi$ .

Løsning:

Vi bruker $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ :
$2\sin x \cos x = \cos x$
$2\sin x \cos x - \cos x = 0$
$\cos x(2\sin x - 1) = 0$

Tilfelle 1: $\cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} \text{ eller } x = \frac{3\pi}{2}$

Tilfelle 2: $\displaystyle 2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$x = \frac{\pi}{6} \text{ eller } x = \frac{5\pi}{6}$

Løsninger: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

✏️Eksempel 16: Identitet med sumformler

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \tan 2x$ .

Løsning:

Vi bruker sumformlene:
- $\displaystyle \sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x \cos x$
- $\displaystyle \cos 3x + \cos x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos 2x \cos x$

Dermed:
$\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x} = \frac{2\sin 2x \cos x}{2\cos 2x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tan 2x$

📝Oppgave 9

Løs likningene for $0 \leq x < 2\pi$ .

\cos 2x = \sin x

\sin 2x + \sin x = 0

\cos 2x + \cos x = 0

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært:

Addisjonsformlene:
- $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
- $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$
- $\displaystyle \tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

Dobbeltvinkelformlene:
- $\sin 2u = 2\sin u \cos u$
- $\cos 2u = \cos^2 u - \sin^2 u = 2\cos^2 u - 1 = 1 - 2\sin^2 u$

Halvvinkelformlene:
- $\displaystyle \sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}$
- $\displaystyle \cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}$

Produktformlene:
- Produkt til sum: f.eks. $\displaystyle \sin u \cos v = \frac{1}{2}[\sin(u+v) + \sin(u-v)]$

Sumformlene:
- Sum til produkt: f.eks. $\displaystyle \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

Disse formlene er essensielle verktøy for å forenkle trigonometriske uttrykk, løse likninger og bevise identiteter.

Strategi for å velge riktig formel:

1. Beregne eksakte verdier: Bruk addisjonsformlene til å dele opp ukjente vinkler i kjente (30°, 45°, 60°)
2. Forenkle uttrykk: Dobbeltvinkelformlene er ofte nyttige for å redusere potenser
3. Integrasjon: Produktformlene gjør produkter om til summer, som er lettere å integrere
4. Faktorisering: Sumformlene gjør summer om til produkter, nyttig for å løse likninger

Blandede oppgaver

Her er flere oppgaver som krever bruk av ulike formler fra kapitlet.

📝Oppgave 10

Finn de eksakte verdiene.

\sin 165°

\cos 195°

\tan 105°

📝Oppgave 11

Forenkle uttrykkene så mye som mulig.

\sin^2 x \cos^2 x

1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x

\displaystyle \frac{\sin 4x}{\sin x}

for

\sin x \neq 0

📝Oppgave 12

Vis at identitetene stemmer.

\displaystyle \tan x + \cot x = \frac{2}{\sin 2x}

\displaystyle \frac{1 + \tan^2 x}{1 - \tan^2 x} = \frac{1}{\cos 2x}

\sin 4x = 4\sin x \cos x \cos 2x

📝Oppgave 13

Løs likningene for $0 \leq x < 2\pi$ .

\sin x + \sin 3x = 0

\cos x - \cos 3x = \sin 2x

\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0

📝Oppgave 14

Utfordringsoppgaver.

Vis at $\displaystyle \sin 20° \sin 40° \sin 80° = \frac{\sqrt{3}}{8}$

Finn $\tan 20° + \tan 40° + \tan 80°$ uttrykt med $\tan 60°$