4.5 Tangenslikninger | Matematikk R2

Løse likninger med tangens.

45 min

14 oppgaver

TangenslikningGenerell løsningPeriode π

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er en tangenslikning?

En tangenslikning er en likning der den ukjente $x$ star i argumentet til en tangensfunksjon.

Eksempler på tangenslikninger:
- $\tan(x) = 1$
- $\tan(2x) = \sqrt{3}$
- $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = -1$

I dette kapitlet skal vi laere hvordan vi loser slike likninger og finner alle losningene.

Tangensfunksjonen

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

📊Grafen til tangensfunksjonen

Studer grafen til $y = \tan(x)$ . Legg merke til periodisiteten og de vertikale asymptotene.

📜Løsning av tan(x) = a

For likningen

\tan(x) = a

der

a

er et reelt tall:

$x = \arctan(a) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Siden tangens har periode $\pi$ , far vi en ny losning for hver $\pi$ vi legger til.

Dette er enklere enn for sinus og cosinus, der vi matte finne to losninger per periode!

✏️Eksempel 1: Enkel tangenslikning

Los likningen $\tan(x) = 1$ .

Vi vet at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

Den generelle losningen er:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

De forste positive losningene:
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$
- $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 1

Los likningen $\tan(x) = 0$ . Gi den generelle losningen.

✏️Eksempel 2: Tangenslikning med sqrt(3)

Los likningen $\tan(x) = \sqrt{3}$ .

Vi vet at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}

(fra den likesidete trekanten).

Den generelle losningen er:
$x = \frac{\pi}{3} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{3} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 2

Los likningen $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Gi den generelle losningen.

Tangenslikninger med negative verdier

Nar $\tan(x) = -a$ (negativ verdi), bruker vi at:
$\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$

Dette betyr at hvis $\tan(\theta) = a$ , så er $\tan(-\theta) = -a$ .

✏️Eksempel 3: Negativ tangensverdi

Los likningen $\tan(x) = -1$ .

Vi vet at

\displaystyle \tan(\frac{\pi}{4}) = 1

, sa

\displaystyle \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1

Alternativt kan vi bruke $\displaystyle \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$ (i andre kvadrant).

Den generelle losningen er:
$x = -\frac{\pi}{4} + n\pi = \frac{3\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Begge uttrykk gir de samme losningene!

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + n\pi$ eller $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$

📝Oppgave 3

Los likningen $\tan(x) = -\sqrt{3}$ . Gi den generelle losningen.

Bruk av kalkulator for arctan

Nar tangensverdien ikke er en "pen" verdi, bruker vi kalkulator:

$x = \arctan(a) + n\pi$

Viktig: Kalkulatoren gir kun en verdi (hovedverdien) i intervallet $\displaystyle (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ . Vi ma legge til $n\pi$ for a fa alle losninger.

✏️Eksempel 4: Bruk av arctan på kalkulator

Los likningen $\tan(x) = 2{,}5$ .

Med kalkulator finner vi:

\arctan(2{,}5) \approx 1{,}19 \text{ rad}

Den generelle losningen er:
$x \approx 1{,}19 + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Løsninger i intervallet $[0, 2\pi]$ :
- $n = 0$ : $x \approx 1{,}19$
- $n = 1$ : $x \approx 1{,}19 + \pi \approx 4{,}33$

Svar: $x \approx 1{,}19 + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4

Los likningen $\tan(x) = 3$ . Finn den generelle losningen og alle losninger i $[0, 2\pi]$ .

📜Løsning av tan(kx + c) = a

For likningen

\tan(kx + c) = a

Fremgangsmate:
1. Sett $u = kx + c$
2. Los $\tan(u) = a$ og fa $u = \arctan(a) + n\pi$
3. Los for $x$ : $kx + c = \arctan(a) + n\pi$
4. $\displaystyle x = \frac{\arctan(a) + n\pi - c}{k}$

Generell formel:
$x = \frac{\arctan(a) - c + n\pi}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}$

✏️Eksempel 5: Tangenslikning med koeffisient foran x

Los likningen $\tan(2x) = 1$ .

Steg 1: Sett

u = 2x

\tan(u) = 1

Steg 2: Los for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Steg 3: Tilbake til $x$
$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løsninger i $[0, 2\pi]$ :
$\displaystyle x = \frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}$

📝Oppgave 5

Los likningen $\tan(3x) = \sqrt{3}$ . Finn den generelle losningen.

✏️Eksempel 6: Tangenslikning med faseforskyvning

Los likningen $\displaystyle \tan(x - \frac{\pi}{4}) = 1$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

\tan(u) = 1

Steg 2: Los for $u$
$u = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Steg 3: Tilbake til $x$
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 6

Los likningen $\displaystyle \tan(x + \frac{\pi}{6}) = -1$ . Finn den generelle losningen.

✏️Eksempel 7: Kombinert transformasjon

Los likningen $\displaystyle \tan(2x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

\tan(u) = \sqrt{3}

Steg 2: Los for $u$
$u = \frac{\pi}{3} + n\pi$

Steg 3: Tilbake til $x$
$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + n\pi$
$2x = n\pi$
$x = \frac{n\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{n\pi}{2}$ , der $n \in \mathbb{Z}$

Løsninger i $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$

📝Oppgave 7

Los likningen $\displaystyle \tan(2x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{3}$ . Finn alle losninger i $[0, \pi]$ .

Definisjonsmengde for tangens

Tangensfunksjonen er ikke definert nar cosinus er null:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \text{ er udefinert nar } \cos(x) = 0$

Dette skjer for:
$x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Nar du loser tangenslikninger, ma du alltid sjekke at losningene ikke faller på disse punktene!

✏️Eksempel 8: Sjekk av definisjonsmengde

Los likningen $\displaystyle \tan(x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ .

Denne likningen har ingen losning!

$\displaystyle \tan(\frac{\pi}{2})$ er udefinert, sa vi kan ikke ha en likning der tangens skal være lik denne verdien.

Ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ har tangensfunksjonen en vertikal asymptote.

📝Oppgave 8

Forklar hvorfor likningen $\displaystyle \tan(2x) = \tan(\frac{\pi}{2})$ ikke har noen losning.

Sammenligning med sinus- og cosinuslikninger

Egenskap	Sinus/Cosinus	Tangens
Periode	$2\pi$	$\pi$
Løsninger per periode	2 (vanligvis)	1
Generell losning	$x = \alpha + 2n\pi$ og $x = \pi - \alpha + 2n\pi$	$x = \alpha + n\pi$
Verdimengde	$[-1, 1]$	$\mathbb{R}$
Definisjonsmengde	$\mathbb{R}$	$\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$

Fordel med tangenslikninger: Vi far bare en "type" losning, ikke to som for sinus og cosinus!

✏️Eksempel 9: Sammenligning av losningsmetoder

Sammenlign losningene av:
a) $\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
b) $\tan(x) = 1$

a) Sinuslikning:

\displaystyle \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løsninger: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$ (2 losninger)

b) Tangenslikning:
$\tan(x) = 1$

Løsning: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ (2 losninger)

Merk: Begge har 2 losninger i $[0, 2\pi]$ , men tangenslikningen har enklere generell form!

📝Oppgave 9

Finn alle losninger i $[0, 2\pi]$ for: a) $\displaystyle \cos(x) = \frac{1}{2}$ b) $\displaystyle \tan(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Sammenlign antall losninger.

Likninger som kan omformes til tangenslikninger

Noen likninger som inneholder sinus og cosinus kan omformes til tangenslikninger:

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = a \quad \Rightarrow \quad \tan(x) = a$

Dette er nyttig nar vi har braker med sinus og cosinus.

✏️Eksempel 10: Omforming til tangenslikning

Los likningen $\sin(x) = \cos(x)$ .

Metode: Del på

\cos(x)

(forutsatt at

\cos(x) \neq 0

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1$
$\tan(x) = 1$

Løsning: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Sjekk: Er $\displaystyle \cos(\frac{\pi}{4} + n\pi) = 0$ ? Nei, sa losningene er gyldige.

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ , der $n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 10

Los likningen $\sin(x) = \sqrt{3}\cos(x)$ .

✏️Eksempel 11: Mer kompleks omforming

Los likningen $2\sin(x) + 3\cos(x) = 0$ .

Metode: Flytt og del på

\cos(x)

$2\sin(x) = -3\cos(x)$
$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\frac{3}{2}$
$\tan(x) = -\frac{3}{2}$

Med kalkulator: $\displaystyle \arctan(-\frac{3}{2}) \approx -0{,}98$ rad

Løsning: $x \approx -0{,}98 + n\pi$

I $[0, 2\pi]$ : $x \approx 2{,}16$ og $x \approx 5{,}30$

Svar: $x \approx -0{,}98 + n\pi$ eller $x \approx 2{,}16 + n\pi$

📝Oppgave 11

Los likningen $3\sin(x) - 4\cos(x) = 0$ . Finn alle losninger i $[0, 2\pi]$ .

Praktiske anvendelser

Tangenslikninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger:

- Helningsvinkler: $\displaystyle \tan(\theta) = \frac{\text{motstaaende}}{\text{hosliggende}}$
- Vinkler i fysikk: Bevegelse i skratt plan, prosjektilbevegelse
- Optikk: Brewsters vinkel for polarisering
- Navigasjon: Beregning av kursvinkler

✏️Eksempel 12: Helningsvinkel

En vei har en stigning på 15 %. Finn helningsvinkelen.

15 % stigning betyr at veien stiger 15 meter per 100 meter horisontalt.

$\tan(\theta) = \frac{15}{100} = 0{,}15$

$\theta = \arctan(0{,}15) \approx 8{,}5°$

Svar: Helningsvinkelen er ca. $8{,}5°$ .

📝Oppgave 12

En trapp har trinn som er 17 cm hoye og 28 cm dype. Finn helningsvinkelen til trappen.

✏️Eksempel 13: Prosjektilbevegelse

En ball kastes med utgangshastighet $v_0 = 20$ m/s. Ved hvilken vinkel $\theta$ fra horisontalplanet na ballen en maksimal horisontal rekkevidde på 30 m?

Formelen for horisontal rekkevidde er: $\displaystyle R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$

Med

R = 30

v_0 = 20

m/s og

g = 10

m/s²:

$30 = \frac{20^2 \sin(2\theta)}{10}$
$30 = \frac{400 \sin(2\theta)}{10}$
$30 = 40 \sin(2\theta)$
$\sin(2\theta) = 0{,}75$

$2\theta = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6°$ eller $2\theta \approx 131{,}4°$

$\theta \approx 24{,}3°$ eller $\theta \approx 65{,}7°$

Svar: Ballen kan kastes med vinkel ca. $24{,}3°$ eller $65{,}7°$ .

📝Oppgave 13

Et tarn er 50 m hoyt. Fra toppen av tarnet ser man et punkt på bakken med synkvinkel $30°$ . Hvor langt fra tarnets fot ligger punktet?

✏️Eksempel 14: Periodisk losning i praksis

En pendel svinger slik at vinkelen

\theta

(i radianer) fra vertikalen er gitt ved:

\theta(t) = 0{,}1 \sin(2t)

Finn alle tidspunkter $t > 0$ der $\tan(\theta) = 0{,}05$ .

For sma vinkler er

\tan(\theta) \approx \theta

(i radianer).

Sa vi loser omtrent: $0{,}1 \sin(2t) = 0{,}05$

$\sin(2t) = 0{,}5$
$2t = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad 2t = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

$t = \frac{\pi}{12} + n\pi \quad \text{eller} \quad t = \frac{5\pi}{12} + n\pi$

De forste positive tidspunktene:
$t \approx 0{,}26$ s, $t \approx 1{,}31$ s, $t \approx 3{,}40$ s, ...

Svar: $\displaystyle t = \frac{\pi}{12} + n\pi$ eller $\displaystyle t = \frac{5\pi}{12} + n\pi$ , der $n \geq 0$

Sammendrag: Tangenslikninger

\tan(x) = a \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(a) + n\pi

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Egenskap

Sinus/Cosinus

Tangens

Periode

2\pi

\pi

Løsninger per periode

2 (vanligvis)

Generell losning

x = \alpha + 2n\pi

x = \pi - \alpha + 2n\pi

x = \alpha + n\pi

Verdimengde

[-1, 1]

\mathbb{R}

Definisjonsmengde

\mathbb{R}

\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi