4.2 Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner | Matematikk R2

Definisjon av sin, cos og tan for alle vinkler.

50 min

18 oppgaver

EnhetssirkelSinusCosinusTangensEksakte verdier

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Fra rettvinklede trekanter til alle vinkler

I tidligere kurs har du laert aa bruke sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter. Men hva betyr $\sin 150°$ eller $\cos(-45°)$ ? Disse vinklene passer ikke inn i en rettvinklet trekant!

For aa utvide de trigonometriske funksjonene til alle vinkler - positive, negative, og storre enn $90°$ - bruker vi enhetssirkelen.

Enhetssirkelen er et av de viktigste verktøyene i matematikk og fysikk, og gir oss en elegant maate aa forsta trigonometri paa.

Enhetssirkelen

1

Vinkler i enhetssirkelen

Vi maler vinkler fra den positive $x$ -aksen:
- Positive vinkler males mot klokken (mot urviseren)
- Negative vinkler males med klokken

En vinkel $v$ bestemmer et punkt $P$ paa enhetssirkelen ved aa starte fra punktet $(1, 0)$ og bevege seg langs sirkelen.

Sinus, cosinus og tangens for alle vinkler

v

✏️Eksempel 1: Trigonometriske verdier for $0°$, $90°$, $180°$, $270°$

Finn $\sin v$ og $\cos v$ for $v = 0°$ , $90°$ , $180°$ og $270°$ .

Vi finner punktene paa enhetssirkelen:

For $v = 0°$ : Punktet er $(1, 0)$
$\cos 0° = 1, \quad \sin 0° = 0$

For $v = 90°$ : Punktet er $(0, 1)$
$\cos 90° = 0, \quad \sin 90° = 1$

For $v = 180°$ : Punktet er $(-1, 0)$
$\cos 180° = -1, \quad \sin 180° = 0$

For $v = 270°$ : Punktet er $(0, -1)$
$\cos 270° = 0, \quad \sin 270° = -1$

📝Oppgave 1

Finn $\tan v$ for $v = 0°$ , $45°$ , $180°$ og $270°$ . For hvilke vinkler er tangens ikke definert?

Radianer

I R2 bruker vi ofte radianer i stedet for grader. Sammenhengen er:
$180° = \pi \text{ radianer}$

Viktige omregninger:
- $\displaystyle 90° = \frac{\pi}{2}$
- $\displaystyle 60° = \frac{\pi}{3}$
- $\displaystyle 45° = \frac{\pi}{4}$
- $\displaystyle 30° = \frac{\pi}{6}$

Omregningsformler:
$\text{Radianer} = \text{Grader} \cdot \frac{\pi}{180}$
$\text{Grader} = \text{Radianer} \cdot \frac{180}{\pi}$

✏️Eksempel 2: Omregning mellom grader og radianer

a) Gjor om $120°$ til radianer.
b) Gjor om $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianer til grader.

\displaystyle 120° = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}

b) $\displaystyle \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{4} = 225°$

📝Oppgave 2

a) Gjor om $150°$ og $210°$ til radianer.
b) Gjor om $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ og $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$ til grader.

Eksakte verdier for standardvinkler

For visse vinkler kan vi finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens. Disse vinklene er sa viktige at du bor kunne dem utenat.

📜Eksakte verdier i forste kvadrant

Vinkel	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
Radianer	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\sin v$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos v$	$1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$0$
$\tan v$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	udef.

Huskeregel for sinus:

\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}

✏️Eksempel 3: Verifisere verdier fra tabellen

Vis at $\displaystyle \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ved hjelp av en rettvinklet trekant.

I en rettvinklet trekant med to

45°

-vinkler er de to katetene like lange.

La katetene være $1$ . Da er hypotenusen (etter Pytagoras):
$h = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Dermed:
$\sin 45° = \frac{\text{motstaaende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

✏️Eksempel 4: Verdier for $30°$ og $60°$

Forklar hvorfor $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vi starter med en likesidet trekant med sidelengde

2

. Alle vinkler er

60°

Naar vi deler trekanten i to med en høyde, faar vi en rettvinklet trekant med:
- Hypotenus = $2$
- En katet = $1$ (halve grunnlinjen)
- Den andre kateten = $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ (høyden)

For $30°$ -vinkelen:
$\sin 30° = \frac{\text{motstaaende}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}$
$\cos 30° = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

For $60°$ -vinkelen blir det motsatt:
$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}$

📝Oppgave 3

Regn ut uten kalkulator: a) $\sin 30° + \cos 60°$ b) $\sin^2 45° + \cos^2 45°$ c) $\tan 60° \cdot \tan 30°$

Fortegn i de fire kvadrantene

Enhetssirkelen deles inn i fire kvadranter:

- 1. kvadrant: $0° < v < 90°$ (begge koordinater positive)
- 2. kvadrant: $90° < v < 180°$ ( $x < 0$ , $y > 0$ )
- 3. kvadrant: $180° < v < 270°$ (begge koordinater negative)
- 4. kvadrant: $270° < v < 360°$ ( $x > 0$ , $y < 0$ )

📜Fortegn for de trigonometriske funksjonene

Kvadrant	$\cos v$	$\sin v$	$\tan v$
1. ( $0° - 90°$ )	$+$	$+$	$+$
2. ( $90° - 180°$ )	$-$	$+$	$-$
3. ( $180° - 270°$ )	$-$	$-$	$+$
4. ( $270° - 360°$ )	$+$	$-$	$-$

Huskeregel (CAST): Start i 4. kvadrant og gaa mot klokken:
- Cosinus positiv i 4. kvadrant
- Alle positive i 1. kvadrant
- Sinus positiv i 2. kvadrant
- Tangens positiv i 3. kvadrant

✏️Eksempel 5: Bestemme fortegn

Avgjor fortegnet til: a) $\sin 150°$ b) $\cos 200°$ c) $\tan 320°$

a) $\sin 150°$ :

150°

ligger i 2. kvadrant (mellom

90°

180°

).
I 2. kvadrant er

y > 0

, saa

\sin 150° > 0

(positiv).

b) $\cos 200°$ :
$200°$ ligger i 3. kvadrant (mellom $180°$ og $270°$ ).
I 3. kvadrant er $x < 0$ , saa $\cos 200° < 0$ (negativ).

c) $\tan 320°$ :
$320°$ ligger i 4. kvadrant (mellom $270°$ og $360°$ ).
I 4. kvadrant er $x > 0$ og $y < 0$ , saa $\displaystyle \tan 320° = \frac{y}{x} < 0$ (negativ).

📝Oppgave 4

Avgjor fortegnet til: a) $\cos 120°$ b) $\sin 250°$ c) $\tan 100°$ d) $\sin(-30°)$

Referansevinkler

For aa finne eksakte verdier for vinkler utenfor forste kvadrant bruker vi referansevinkler.

Referansevinkel

v_r

✏️Eksempel 6: Finne referansevinkler

Finn referansevinkelen til: a) $135°$ b) $240°$ c) $315°$

a) $135°$ ligger i 2. kvadrant:

v_r = 180° - 135° = 45°

b) $240°$ ligger i 3. kvadrant:
$v_r = 240° - 180° = 60°$

c) $315°$ ligger i 4. kvadrant:
$v_r = 360° - 315° = 45°$

📜Bruk av referansevinkler

De trigonometriske verdiene for en vinkel

v

har samme absoluttverdi som for referansevinkelen

v_r

Fortegnet bestemmes av hvilken kvadrant $v$ ligger i.

✏️Eksempel 7: Eksakte verdier med referansevinkler

Finn eksakt verdi for $\sin 150°$ .

Steg 1:

150°

ligger i 2. kvadrant.

Steg 2: Referansevinkelen er $v_r = 180° - 150° = 30°$ .

Steg 3: $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$

Steg 4: I 2. kvadrant er sinus positiv.

Svar: $\displaystyle \sin 150° = +\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

✏️Eksempel 8: Cosinus i 3. kvadrant

Finn eksakt verdi for $\cos 240°$ .

Steg 1:

240°

ligger i 3. kvadrant.

Steg 2: Referansevinkelen er $v_r = 240° - 180° = 60°$ .

Steg 3: $\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$

Steg 4: I 3. kvadrant er cosinus negativ.

Svar: $\displaystyle \cos 240° = -\frac{1}{2}$

✏️Eksempel 9: Tangens i 4. kvadrant

Finn eksakt verdi for $\tan 315°$ .

Steg 1:

315°

ligger i 4. kvadrant.

Steg 2: Referansevinkelen er $v_r = 360° - 315° = 45°$ .

Steg 3: $\tan 45° = 1$

Steg 4: I 4. kvadrant er tangens negativ (positiv $x$ , negativ $y$ ).

Svar: $\tan 315° = -1$

📝Oppgave 5

Finn eksakt verdi for: a) $\sin 120°$ b) $\cos 225°$ c) $\tan 300°$

📝Oppgave 6

Finn eksakt verdi for: a) $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3}$ b) $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4}$ c) $\displaystyle \tan \frac{5\pi}{6}$

Den pytagoreiske identiteten

En av de viktigste sammenhengene i trigonometri følger direkte fra definisjonen paa enhetssirkelen.

📜Den pytagoreiske identiteten

For alle vinkler

v

gjelder:

$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$

Denne identiteten kalles ogsaa grunnidentiteten i trigonometri.

✏️Eksempel 10: Finne sin naar cos er kjent

Gitt at $\displaystyle \cos v = \frac{3}{5}$ og $v$ ligger i 4. kvadrant. Finn $\sin v$ .

Vi bruker

\sin^2 v + \cos^2 v = 1

$\sin^2 v + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$
$\sin^2 v + \frac{9}{25} = 1$
$\sin^2 v = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\sin v = \pm \frac{4}{5}$

Siden $v$ ligger i 4. kvadrant, er sinus negativ:
$\sin v = -\frac{4}{5}$

✏️Eksempel 11: Finne cos naar sin er kjent

Gitt at $\displaystyle \sin v = \frac{5}{13}$ og $90° < v < 180°$ . Finn $\cos v$ og $\tan v$ .

Finn $\cos v$ :

$\sin^2 v + \cos^2 v = 1$
$\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2 v = 1$
$\frac{25}{169} + \cos^2 v = 1$
$\cos^2 v = \frac{144}{169}$
$\cos v = \pm \frac{12}{13}$

Siden $v$ er i 2. kvadrant, er cosinus negativ:
$\cos v = -\frac{12}{13}$

Finn $\tan v$ :
$\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = -\frac{5}{12}$

📝Oppgave 7

Gitt at $\displaystyle \cos v = -\frac{4}{5}$ og $v$ ligger i 3. kvadrant. Finn $\sin v$ og $\tan v$ .

📝Oppgave 8

Gitt at $\displaystyle \sin v = -\frac{7}{25}$ og $270° < v < 360°$ . Finn $\cos v$ .

✏️Eksempel 12: Negative vinkler

Finn eksakt verdi for $\sin(-60°)$ og $\cos(-60°)$ .

En negativ vinkel gaar med klokken fra

(1, 0)

$-60°$ havner i 4. kvadrant (samme som $300°$ ).

Referansevinkelen er $60°$ .

$\sin(-60°) = -\sin 60° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
(negativ fordi $y < 0$ i 4. kvadrant)

$\cos(-60°) = \cos 60° = \frac{1}{2}$
(positiv fordi $x > 0$ i 4. kvadrant)

Generelt: $\sin(-v) = -\sin v$ og $\cos(-v) = \cos v$

📜Symmetriegenskaper

For negative vinkler:

\sin(-v) = -\sin v \quad \text{(odde funksjon)}

\cos(-v) = \cos v \quad \text{(like funksjon)}

\tan(-v) = -\tan v \quad \text{(odde funksjon)}

For vinkler over $360°$ :
$\sin(v + 360°) = \sin v$
$\cos(v + 360°) = \cos v$
$\tan(v + 180°) = \tan v$

📝Oppgave 9

Finn eksakt verdi for: a) $\sin(-45°)$ b) $\cos(-120°)$ c) $\tan(-30°)$

✏️Eksempel 13: Store vinkler

Finn eksakt verdi for $\sin 420°$ og $\cos 750°$ .

$\sin 420°$ :

420° = 360° + 60°

, saa vi har gatt en hel runde pluss

60°

\sin 420° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\cos 750°$ :
$750° = 2 \cdot 360° + 30° = 720° + 30°$
$\cos 750° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📝Oppgave 10

Finn eksakt verdi for: a) $\cos 405°$ b) $\sin 510°$ c) $\tan 585°$

✏️Eksempel 14: Forenkle uttrykk

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{1 - \cos^2 v}{\sin v}$ for $\sin v \neq 0$ .

Vi bruker at

\sin^2 v + \cos^2 v = 1

, som gir

\sin^2 v = 1 - \cos^2 v

$\frac{1 - \cos^2 v}{\sin v} = \frac{\sin^2 v}{\sin v} = \sin v$

✏️Eksempel 15: Bevise en identitet

Vis at $\displaystyle \tan^2 v + 1 = \frac{1}{\cos^2 v}$ for $\cos v \neq 0$ .

Vi starter med venstre side:

$\tan^2 v + 1 = \frac{\sin^2 v}{\cos^2 v} + 1 = \frac{\sin^2 v + \cos^2 v}{\cos^2 v}$

Ved aa bruke $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$ :

$= \frac{1}{\cos^2 v}$

som er hoyre side. $\square$

📝Oppgave 11

Forenkle: a) $(\sin v + \cos v)^2$ b) $\displaystyle \frac{\sin^2 v}{1 + \cos v}$

✏️Eksempel 16: Finne koordinater paa enhetssirkelen

Finn koordinatene til punktet paa enhetssirkelen som svarer til vinkelen $v = 210°$ .

Punktet har koordinater

(\cos 210°, \sin 210°)

Referansevinkel: $210° - 180° = 30°$

Kvadrant: 3. kvadrant (baade $x$ og $y$ negative)

$\cos 210° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 210° = -\sin 30° = -\frac{1}{2}$

Svar: Punktet er $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$

📝Oppgave 12

Finn koordinatene til punktet paa enhetssirkelen for: a) $v = 135°$ b) $v = 330°$

📝Oppgave 13

Et punkt paa enhetssirkelen har $x$ -koordinat $\displaystyle -\frac{1}{2}$ . Finn alle mulige $y$ -koordinater og tilhorende vinkler $v$ med $0° \leq v < 360°$ .

📝Oppgave 14

Vis at $\displaystyle 1 + \tan^2 v = \frac{1}{\cos^2 v}$ for $\cos v \neq 0$ , og bruk dette til aa finne $\cos v$ naar $\tan v = 2$ og $v$ er i 1. kvadrant.

Oppsummering

Enhetssirkelen:
- Sirkel med radius 1 og sentrum i origo
- Ligning: $x^2 + y^2 = 1$

Definisjoner:
- $\cos v = x$ -koordinaten paa enhetssirkelen
- $\sin v = y$ -koordinaten paa enhetssirkelen
- $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$

Grunnidentiteten: $\sin^2 v + \cos^2 v = 1$

Eksakte verdier: Husk tabellen for $0°$ , $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$

Referansevinkler: Brukes til aa finne verdier utenfor 1. kvadrant

📝Oppgave 15

Regn ut uten kalkulator: $\sin^2 30° + \sin^2 45° + \sin^2 60°$

📝Oppgave 16

Los ligningen $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ for $0° \leq v < 360°$ .

📝Oppgave 17

Los ligningen $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ for $0° \leq v < 360°$ .

📝Oppgave 18

Los ligningen $\tan v = -1$ for $0 \leq v < 2\pi$ .

Vinkel

0°

30°

45°

60°

90°

Radianer

0

\displaystyle \frac{\pi}{6}

\displaystyle \frac{\pi}{4}

\displaystyle \frac{\pi}{3}

\displaystyle \frac{\pi}{2}

\sin v

0

\displaystyle \frac{1}{2}

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

1

\cos v

1

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \frac{1}{2}

0

\tan v

0

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}

1

\sqrt{3}

udef.

Kvadrant

\cos v

\sin v

\tan v

1. (

0° - 90°

)

+

+

+

2. (

90° - 180°

)

-

+

-

3. (

180° - 270°

)

-

-

+

4. (

270° - 360°

)

+

-

-