4.1 Radianer og vinkelmål | Matematikk R2

Sammenhengen mellom grader og radianer.

45 min

16 oppgaver

RadianerGraderBuelengdeEnhetssirkelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Hvorfor radianer?

Til nå har du mest sannsynlig brukt grader som vinkelmål. En hel omdreining er $360°$ , en rett vinkel er $90°$ , og så videre. Men i høyere matematikk, spesielt i kalkulus og trigonometri, er det mye mer praktisk å bruke et annet vinkelmål: radianer.

Radianer gjør mange formler enklere og mer elegante. For eksempel blir derivasjon av trigonometriske funksjoner mye penere når vi bruker radianer. I dette kapitlet skal vi lære:

- Hva en radian er
- Hvordan vi regner om mellom grader og radianer
- Viktige vinkler uttrykt i radianer
- Formler for buelengde og sektorareal
- Enhetssirkelen

Radian

s

Intuisjon bak radianer

Tenk deg at du har en sirkel med radius $r$ . Hvis du "ruller ut" en bue langs sirkelen som er nøyaktig like lang som radiusen, så er vinkelen denne buen spenner over nøyaktig 1 radian.

Siden omkretsen til en sirkel er $2\pi r$ , får vi plass til nøyaktig $2\pi$ slike buer rundt hele sirkelen. Derfor er en hel omdreining lik $2\pi$ radianer.

En radian er omtrent $57{,}3°$ (mer presist: $\displaystyle \frac{180°}{\pi} \approx 57{,}2958°$ ).

📜Omregning mellom grader og radianer

Siden

360° = 2\pi

radianer, har vi:

$180° = \pi \text{ radianer}$

Fra grader til radianer:
$v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Fra radianer til grader:
$v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

Huskeregel: For å gå fra grader til radianer, ganger du med

\displaystyle \frac{\pi}{180}

. For å gå motsatt vei, ganger du med

\displaystyle \frac{180}{\pi}

Du kan også tenke på det slik: $\pi$ radianer = $180°$ , så brøken $\displaystyle \frac{\pi}{180}$ gir deg "radianer per grad".

✏️Eksempel 1: Omregning fra grader til radianer

Skriv om disse vinklene fra grader til radianer. Gi eksakt svar.

a) $90°$
b) $45°$
c) $60°$
d) $30°$
e) $120°$

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

a) $\displaystyle 90° = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$

b) $\displaystyle 45° = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

c) $\displaystyle 60° = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$

d) $\displaystyle 30° = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

e) $\displaystyle 120° = 120 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

✏️Eksempel 2: Omregning fra radianer til grader

Skriv om disse vinklene fra radianer til grader.

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
d) $2\pi$
e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4}$

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle v_{\text{grad}} = v_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}$

a) $\displaystyle \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{2} = 90°$

b) $\displaystyle \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{4} = \frac{540}{4} = 135°$

c) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{6} = \frac{900}{6} = 150°$

d) $\displaystyle 2\pi = 2\pi \cdot \frac{180}{\pi} = 2 \cdot 180 = 360°$

e) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{7 \cdot 180}{4} = \frac{1260}{4} = 315°$

Viktige vinkler i radianer

Det er noen vinkler du bør kunne utenat. Disse dukker opp igjen og igjen i matematikk og fysikk.

Grader	Radianer
$0°$	$0$
$30°$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
$45°$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$60°$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
$90°$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$120°$	$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$
$135°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
$150°$	$\displaystyle \frac{5\pi}{6}$
$180°$	$\pi$
$270°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$

Hvordan huske disse?

- $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ tilsvarer $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$
- Nevnerne synker: $6, 4, 3, 2$ mens vinklene i grader øker
- $\pi = 180°$ er en halv omdreining
- $2\pi = 360°$ er en hel omdreining

Vinkler i andre kvadranter kan du finne ved å bruke symmetri. For eksempel er $120° = 180° - 60°$ , så $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ .

📝Oppgave 4.1.1

Skriv om fra grader til radianer. Gi eksakt svar.

180°

270°

150°

225°

315°

540°

📝Oppgave 4.1.2

Skriv om fra radianer til grader.

\displaystyle \frac{\pi}{3}

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

\displaystyle \frac{5\pi}{4}

\displaystyle \frac{11\pi}{6}

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

5\pi

✏️Eksempel 3: Desimaltall til eksakt form

Skriv $1{,}5\pi$ radianer i grader, og skriv $72°$ i radianer på eksakt form.

Løsning:

$1{,}5\pi$ til grader:
$1{,}5\pi = \frac{3\pi}{2}$
$\frac{3\pi}{2} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{2} = \frac{540}{2} = 270°$

$72°$ til radianer:
$72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{72\pi}{180}$

Vi forkorter med $\gcd(72, 180) = 36$ :
$\frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$

Så $\displaystyle 72° = \frac{2\pi}{5}$ radianer.

Buelengde

Når vi har definert radianer som $\displaystyle v = \frac{s}{r}$ , kan vi enkelt løse denne for buelengden $s$ .

📜Formel for buelengde

Buelengden

s

i en sirkelbue med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianer) er gitt ved:

$s = r \cdot v$

Dersom vinkelen er oppgitt i grader, må vi først regne om til radianer:

$s = r \cdot v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180}$

Legg merke til hvor enkel formelen $s = rv$ er når vinkelen er i radianer. Dette er en av grunnene til at radianer er så nyttige i matematikken.

✏️Eksempel 4: Buelengde med radian

En sirkelbue har radius $r = 8$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{3\pi}{4}$ radianer. Finn buelengden.

Løsning:

Vi bruker formelen $s = r \cdot v$ :

$s = 8 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} = 6\pi \text{ cm}$

Som desimaltall: $s \approx 18{,}85$ cm

✏️Eksempel 5: Buelengde med grader

En sirkelbue har radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 72°$ . Finn buelengden.

Løsning:

Metode 1: Regn om til radianer først
$v = 72° = 72 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{5} \text{ radianer}$

$s = r \cdot v = 10 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi \text{ cm}$

Metode 2: Bruk formelen direkte
$s = \frac{\pi r v_{\text{grad}}}{180} = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 72}{180} = \frac{720\pi}{180} = 4\pi \text{ cm}$

Som desimaltall: $s \approx 12{,}57$ cm

✏️Eksempel 6: Finne vinkelen

En sirkelbue har radius $r = 5$ cm og buelengde $s = 10$ cm. Finn sentralvinkelen i radianer og i grader.

Løsning:

Vi løser $s = rv$ for $v$ :
$v = \frac{s}{r} = \frac{10}{5} = 2 \text{ radianer}$

Omregning til grader:
$v = 2 \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114{,}6°$

📝Oppgave 4.1.3

Finn buelengden $s$ i hver sirkel. Gi eksakt svar.

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}

r = 9

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{6}

r = 12

cm,

\displaystyle v = \frac{5\pi}{4}

📝Oppgave 4.1.4

Finn buelengden $s$ når vinkelen er oppgitt i grader.

r = 5

cm,

v = 90°

r = 8

cm,

v = 45°

r = 3

cm,

v = 120°

r = 10

cm,

v = 36°

Sektorareal

En sirkelsektor er den "kakestykke-formede" delen av en sirkel som begrenses av to radier og en sirkelbue.

📜Formel for sektorareal

Arealet

A

av en sirkelsektor med radius

r

og sentralvinkel

v

(i radianer) er:

$A = \frac{1}{2}r^2 v$

Dersom vinkelen er i grader:

$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360}$

Alternativ formel: Siden $s = rv$ , kan vi også skrive:

$A = \frac{1}{2}rs$

der $s$ er buelengden.

Utledning av sektorarealformelen

En hel sirkel har areal

\pi r^2

og sentralvinkel

2\pi

radianer.

En sektor med vinkel $v$ utgjør andelen $\displaystyle \frac{v}{2\pi}$ av hele sirkelen.

Derfor er sektorarealet:
$A = \frac{v}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{v \cdot \pi r^2}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2 v$

∎

✏️Eksempel 7: Sektorareal med radian

Finn arealet av en sirkelsektor med radius $r = 6$ cm og sentralvinkel $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ .

Løsning:

Vi bruker formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ :

$A = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 18 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi \text{ cm}^2$

Som desimaltall: $A \approx 18{,}85$ cm $^2$

✏️Eksempel 8: Sektorareal med grader

Finn arealet av en sirkelsektor med radius $r = 10$ cm og sentralvinkel $v = 45°$ .

Løsning:

Metode 1: Regn om til radianer
$v = 45° = \frac{\pi}{4}$

$A = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{100\pi}{8} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Metode 2: Bruk graderformelen
$A = \frac{\pi r^2 v_{\text{grad}}}{360} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 45}{360} = \frac{4500\pi}{360} = \frac{25\pi}{2} \text{ cm}^2$

Som desimaltall: $A \approx 39{,}27$ cm $^2$

✏️Eksempel 9: Fra areal til vinkel

En sirkelsektor har radius $r = 8$ cm og areal $A = 16\pi$ cm $^2$ . Finn sentralvinkelen i radianer.

Løsning:

Vi løser $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2 v$ for $v$ :

$16\pi = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot v$
$16\pi = 32v$
$v = \frac{16\pi}{32} = \frac{\pi}{2}$

Sentralvinkelen er $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ radianer (= $90°$ ).

📝Oppgave 4.1.5

Finn arealet av sirkelsektoren. Gi eksakt svar.

r = 4

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{2}

r = 6

cm,

\displaystyle v = \frac{\pi}{4}

r = 5

cm,

\displaystyle v = \frac{2\pi}{5}

r = 3

cm,

v = \pi

📝Oppgave 4.1.6

Finn arealet av sirkelsektoren når vinkelen er i grader.

r = 8

cm,

v = 60°

r = 12

cm,

v = 30°

r = 9

cm,

v = 40°

📝Oppgave 4.1.7

Finn den ukjente størrelsen.

Radius: $r = 10$ cm, Areal: $A = 25\pi$ cm $^2$ . Finn vinkelen $v$ i radianer.

Radius: $r = ?$ , Vinkel: $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$ , Areal: $A = 6\pi$ cm $^2$ . Finn $r$ .

Buelengde: $s = 4\pi$ cm, Radius: $r = 8$ cm. Finn arealet av sektoren.

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er en sirkel med sentrum i origo og radius 1. Den er et uvurderlig verktøy for å forstå trigonometriske funksjoner.

Enhetssirkelen

x^2 + y^2 = 1

Hvordan bruke enhetssirkelen

Tenk deg at du starter i punktet $(1, 0)$ på $x$ -aksen og beveger deg mot klokken langs sirkelen. Etter å ha beveget deg en buelengde på $v$ (der $v$ er vinkelen i radianer), befinner du deg i punktet $(\cos v, \sin v)$ .

Siden omkretsen til enhetssirkelen er $2\pi$ , tilsvarer dette at en hel omdreining er $2\pi$ radianer.

Viktige punkter på enhetssirkelen:

Vinkel	Punkt	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$(1, 0)$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$(0, 1)$	$0$	$1$
$\pi$	$(-1, 0)$	$-1$	$0$
$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$(0, -1)$	$0$	$-1$
$2\pi$	$(1, 0)$	$1$	$0$

✏️Eksempel 10: Punkter på enhetssirkelen

Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen som tilsvarer vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{4}$ .

Løsning:

Vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ tilsvarer $45°$ . Punktet ligger på linja $y = x$ (siden vinkelen er midt mellom $x$ -aksen og $y$ -aksen).

Punktet må tilfredsstille $x^2 + y^2 = 1$ og $x = y$ :
$x^2 + x^2 = 1$
$2x^2 = 1$
$x^2 = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Siden vi er i første kvadrant, er både $x$ og $y$ positive.

Punktet er $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

Dette betyr at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

✏️Eksempel 11: Trigonometriske verdier fra enhetssirkelen

Bruk enhetssirkelen til å finne $\displaystyle \cos\frac{2\pi}{3}$ og $\displaystyle \sin\frac{2\pi}{3}$ .

Løsning:

Vinkelen $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ radianer = $120°$ ligger i andre kvadrant.

Vi kan skrive $\displaystyle \frac{2\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3}$ , så dette er vinkelen $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ( $60°$ ) speilet om $y$ -aksen.

Fra tabeller eller trekanter vet vi at $\displaystyle \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ved speiling om $y$ -aksen endrer $x$ -koordinaten fortegn, mens $y$ -koordinaten beholder fortegnet:

$\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$
$\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

📜Viktige trigonometriske verdier

For standardvinklene har vi følgende eksakte verdier:

Vinkel	$\cos v$	$\sin v$
$0$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$0$	$1$

For vinkler i andre kvadranter, bruk symmetri:
-

\cos(\pi - v) = -\cos v

\sin(\pi - v) = \sin v

\cos(\pi + v) = -\cos v

\sin(\pi + v) = -\sin v

\cos(2\pi - v) = \cos v

\sin(2\pi - v) = -\sin v

Huskeregel for sinus og cosinus:

For vinklene $\displaystyle 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ :

Sinus-verdiene er: $\displaystyle \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$

Det vil si: $\displaystyle 0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1$

Cosinus-verdiene er de samme, men i omvendt rekkefølge: $\displaystyle 1, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, 0$

✏️Eksempel 12: Vinkler utenfor første kvadrant

Finn eksakt verdi av:
a) $\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6}$
b) $\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4}$
c) $\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3}$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ (andre kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

b) $\displaystyle \frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ (fjerde kvadrant)

$\displaystyle \cos\frac{7\pi}{4} = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\displaystyle \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$ (tredje kvadrant)

$\displaystyle \sin\frac{4\pi}{3} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

✏️Eksempel 13: Buelengde på enhetssirkelen

På enhetssirkelen starter vi i punktet $(1, 0)$ og beveger oss en buelengde på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ mot klokken. Hvor ender vi?

Løsning:

På enhetssirkelen er radius $r = 1$ , så buelengden er lik vinkelen i radianer.

Å bevege seg en buelengde på $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ tilsvarer å rotere vinkelen $\displaystyle v = \frac{2\pi}{3}$ .

Vi ender i punktet $\displaystyle (\cos\frac{2\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{3})$ .

Fra eksempel 11 vet vi at dette er $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Kalkulator og vinkelmodus

Pass på at kalkulatoren din er satt til riktig modus:

- RAD (radianer) for oppgaver med radianer
- DEG (grader) for oppgaver med grader

En vanlig feil er å beregne $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}$ og få $0{,}027...$ i stedet for $1$ . Dette skjer når kalkulatoren er i gradermodus og tolker $\displaystyle \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$ som grader.

Sjekk alltid at $\displaystyle \sin\frac{\pi}{2} = 1$ for å verifisere at du er i radianmodus.

📝Oppgave 4.1.8

Finn eksakt verdi av følgende trigonometriske uttrykk.

\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}

\cos\pi

\displaystyle \sin\frac{3\pi}{2}

📝Oppgave 4.1.9

Finn eksakt verdi av følgende. Bruk symmetri i enhetssirkelen.

\displaystyle \cos\frac{3\pi}{4}

\displaystyle \sin\frac{5\pi}{4}

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{6}

\displaystyle \sin\frac{7\pi}{6}

📝Oppgave 4.1.10

Finn koordinatene til punktet på enhetssirkelen.

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{\pi}{3}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{6}$

Vinkelen $\displaystyle v = \frac{5\pi}{3}$

✏️Eksempel 14: Praktisk anvendelse - hjul

Et hjul med radius 30 cm roterer med vinkelhastighet $\omega = 2$ rad/s.
a) Hvor langt beveger et punkt på kanten av hjulet seg på 5 sekunder?
b) Hvor mange hele omdreininger gjør hjulet på 10 sekunder?

Løsning:

a) På 5 sekunder roterer hjulet vinkelen:
$v = \omega \cdot t = 2 \cdot 5 = 10 \text{ radianer}$

Buelengden (distansen punktet beveger seg) er:
$s = r \cdot v = 30 \cdot 10 = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m}$

b) På 10 sekunder roterer hjulet:
$v = 2 \cdot 10 = 20 \text{ radianer}$

Antall hele omdreininger:
$n = \frac{v}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} = \frac{10}{\pi} \approx 3{,}18$

Hjulet gjør 3 hele omdreininger.

✏️Eksempel 15: Kombinert oppgave

En sirkelsektor har buelengde $s = 12$ cm og areal $A = 36$ cm $^2$ . Finn radius og sentralvinkel.

Løsning:

Vi har to likninger:
- $s = rv$ , altså $12 = rv$
- $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ , altså $\displaystyle 36 = \frac{1}{2}r^2v$

Fra den alternative arealformelen $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$ :
$36 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot 12 = 6r$
$r = 6 \text{ cm}$

Nå kan vi finne vinkelen fra $s = rv$ :
$12 = 6v$
$v = 2 \text{ radianer}$

Svar: Radius er 6 cm og sentralvinkelen er 2 radianer (ca. $114{,}6°$ ).

📝Oppgave 4.1.11

Kombinerte oppgaver med buelengde og sektorareal.

En sektor har buelengde $s = 8$ cm og areal $A = 24$ cm $^2$ . Finn $r$ og $v$ .

En sektor har buelengde $s = 10$ cm og radius $r = 4$ cm. Finn arealet.

En sektor har areal $A = 50$ cm $^2$ og vinkel $v = 2$ rad. Finn radius og buelengde.

📝Oppgave 4.1.12

Praktiske anvendelser.

En pendel med lengde 50 cm svinger gjennom en vinkel på $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ rad. Hvor lang er banen pendelspissen beskriver?

Et pariserhjul med radius 40 m roterer $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$ radianer. Hvor langt har en passasjer beveget seg langs kanten?

En pizzabit har form som en sirkelsektor med radius 15 cm og vinkel $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ . Finn arealet av pizzabiten.

📝Oppgave 4.1.13

Regn ut uten kalkulator.

\displaystyle \sin^2\frac{\pi}{4} + \cos^2\frac{\pi}{4}

\displaystyle 2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}

\displaystyle \cos^2\frac{\pi}{3} - \sin^2\frac{\pi}{3}

\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}

📝Oppgave 4.1.14

Utfordrende oppgaver.

Vis at $1$ radian $\approx 57{,}3°$ ved å beregne $\displaystyle \frac{180}{\pi}$ .

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi)$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi)$ slik at $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

📝Oppgave 4.1.15

Tekstoppgaver med radianer.

Jordas radius ved ekvator er ca. 6378 km. Hvor lang er en breddegradslinje ved ekvator som dekker $15°$ ?

En CD-plate har indre radius 2{,}3 cm og ytre radius 5{,}8 cm. Finn arealet av "ringen" av musikk mellom disse radiene for en sektor på $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

Radianer:
- En radian er vinkelen som tilsvarer en bue med lengde lik radiusen
- $180° = \pi$ radianer, $360° = 2\pi$ radianer
- Omregning: $\displaystyle v_{\text{rad}} = v_{\text{grad}} \cdot \frac{\pi}{180}$

Buelengde og sektorareal:
- Buelengde: $s = rv$ (når $v$ er i radianer)
- Sektorareal: $\displaystyle A = \frac{1}{2}r^2v$ eller $\displaystyle A = \frac{1}{2}rs$

Enhetssirkelen:
- Sirkel med radius 1 og sentrum i origo
- Punktet for vinkel $v$ er $(\cos v, \sin v)$
- Viktige verdier bør pugges for standardvinklene

Viktige vinkler å huske:

$\displaystyle \frac{\pi}{6} = 30°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 45°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3} = 60°$ , $\displaystyle \frac{\pi}{2} = 90°$ , $\pi = 180°$ , $2\pi = 360°$

Oppgaver

Lett5 oppgaver

4.1.1

4.1.2

4.1.3

4.1.5

4.1.8

Medium6 oppgaver

4.1.4

4.1.6

4.1.7

4.1.9

4.1.10

4.1.13

Vanskelig4 oppgaver

4.1.11

4.1.12

4.1.14

4.1.15